Câu hỏi:
17/06/2026 526
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y = 2 + 3|cosx|;
b) y = \(2\sqrt {\sin x} \) + 1;
c) y = 3 cos2 x + 4 cos2x;
d) y = sin x + cos x.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y = 2 + 3|cosx|;
b) y = \(2\sqrt {\sin x} \) + 1;
c) y = 3 cos2 x + 4 cos2x;
d) y = sin x + cos x.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Vì 0 ≤ |cos x| ≤ 1 nên 0 ≤ 3|cos x| ≤ 3, do đó 2 ≤ 2 + 3|cos x| ≤ 5 với mọi x ∈ ℝ.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi
|cos x| = 1 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi
cos x = 0 ⇔ x = \(\frac{\pi }{2}\) + kπ (k ∈ ℤ).
b) Điều kiện sin x ≥ 0. Vì 0 ≤ \(\sqrt {\sin x} \) ≤ 1 nên 0 ≤ 2\(\sqrt {\sin x} \) ≤ 2,
do đó 1 ≤ 2\(\sqrt {\sin x} \) + 1 ≤ 3 với mọi x thoả mãn 0 ≤ sin x ≤ 1.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi sin x = 1 hay \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sin x = 0 hay x = kπ (k ∈ ℤ).
c) Ta có y = 3 cos2 x + 4 cos2x \( = 3.\frac{{1 + \cos 2x}}{2} + 4\cos 2x\)\( = \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2}\cos 2x\).
Vì – 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên \( - \frac{{11}}{2} \le \frac{{11}}{2}\cos 2x \le \frac{{11}}{2}\),
do đó \( - 4 = \frac{3}{2} - \frac{{11}}{2} \le \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2}\cos 2x \le \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2} = 7\) với mọi x ∈ ℝ.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7, đạt được khi
cos 2x = 1 ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 4, đạt được khi
cos 2x = – 1 ⇔ 2x = π + k2π ⇔ x = \(\frac{\pi }{2}\) + kπ (k ∈ ℤ).
d) Ta có y = sin x + cos x = \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\).
Vì \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\) nên \( - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \), với mọi x ∈ ℝ.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt 2 \), đạt được khi \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\)
\[ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] hay \[x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \sqrt 2 \), đạt được khi \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\)
\[ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] hay \[x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Lời giải
a) Vì 0 ≤ |cos x| ≤ 1 nên 0 ≤ 3|cos x| ≤ 3, do đó 2 ≤ 2 + 3|cos x| ≤ 5 với mọi x ∈ ℝ.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi
|cos x| = 1 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi
cos x = 0 ⇔ x = \(\frac{\pi }{2}\) + kπ (k ∈ ℤ).
b) Điều kiện sin x ≥ 0. Vì 0 ≤ \(\sqrt {\sin x} \) ≤ 1 nên 0 ≤ 2\(\sqrt {\sin x} \) ≤ 2,
do đó 1 ≤ 2\(\sqrt {\sin x} \) + 1 ≤ 3 với mọi x thoả mãn 0 ≤ sin x ≤ 1.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi sin x = 1 hay \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sin x = 0 hay x = kπ (k ∈ ℤ).
c) Ta có y = 3 cos2 x + 4 cos2x \( = 3.\frac{{1 + \cos 2x}}{2} + 4\cos 2x\)\( = \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2}\cos 2x\).
Vì – 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên \( - \frac{{11}}{2} \le \frac{{11}}{2}\cos 2x \le \frac{{11}}{2}\),
do đó \( - 4 = \frac{3}{2} - \frac{{11}}{2} \le \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2}\cos 2x \le \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2} = 7\) với mọi x ∈ ℝ.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7, đạt được khi
cos 2x = 1 ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 4, đạt được khi
cos 2x = – 1 ⇔ 2x = π + k2π ⇔ x = \(\frac{\pi }{2}\) + kπ (k ∈ ℤ).
d) Ta có y = sin x + cos x = \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\).
Vì \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\) nên \( - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \), với mọi x ∈ ℝ.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt 2 \), đạt được khi \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\)
\[ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] hay \[x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \sqrt 2 \), đạt được khi \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\)
\[ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] hay \[x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Từ đồ thị hàm số y = sin x, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn \(\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};\,\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) sao cho:
a) sin x = 0; b) sin x > 0.
Từ đồ thị hàm số y = sin x, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn \(\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};\,\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) sao cho:
a) sin x = 0; b) sin x > 0.
Câu 2:
Từ đồ thị hàm số y = cos x, hãy vẽ các đồ thị hàm số sau:
a) y = – cos x;
b) y = |cos x|;
c) y = cos x + 1;
d) \(y = \cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\).
Từ đồ thị hàm số y = cos x, hãy vẽ các đồ thị hàm số sau:
a) y = – cos x;
b) y = |cos x|;
c) y = cos x + 1;
d) \(y = \cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\).
Câu 3:
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y = cot 3x;
b) \[y = \sqrt {1 - \cos 4x} \];
c) \(y = \frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}\);
d) \(y = \sqrt {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \sin 2x}}} \).
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y = cot 3x;
b) \[y = \sqrt {1 - \cos 4x} \];
c) \(y = \frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}\);
d) \(y = \sqrt {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \sin 2x}}} \).
Câu 4:
Hằng ngày, Mặt Trời chiếu sáng, bóng của một toà chung cư cao 40 m in trên mặt đất, độ dài bóng của toà nhà này được tính bằng công thức
\(S\left( t \right) = 40\left| {\cot \frac{\pi }{{12}}t} \right|\),
ở đó S được tính bằng mét, còn t là số giờ tính từ 6 giờ sáng.
a) Tìm độ dài bóng của toà nhà tại các thời điểm 8 giờ sáng, 12 giờ trưa, 2 giờ chiều và 5 giờ 45 phút chiều.
b) Tại thời điểm nào thì độ dài bóng của toà nhà bằng chiều cao toà nhà?
c) Bóng toà nhà sẽ như thế nào khi thời gian tiến dần đến 6 giờ tối?
Hằng ngày, Mặt Trời chiếu sáng, bóng của một toà chung cư cao 40 m in trên mặt đất, độ dài bóng của toà nhà này được tính bằng công thức
\(S\left( t \right) = 40\left| {\cot \frac{\pi }{{12}}t} \right|\),
ở đó S được tính bằng mét, còn t là số giờ tính từ 6 giờ sáng.
a) Tìm độ dài bóng của toà nhà tại các thời điểm 8 giờ sáng, 12 giờ trưa, 2 giờ chiều và 5 giờ 45 phút chiều.
b) Tại thời điểm nào thì độ dài bóng của toà nhà bằng chiều cao toà nhà?
c) Bóng toà nhà sẽ như thế nào khi thời gian tiến dần đến 6 giờ tối?
Câu 5:
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{\cos 2x}}{{{x^3}}}\);
b) y = x – sin 3x;
c) \(y = \sqrt {1 + \cos x} \);
d) \(y = 1 + \cos x\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - 2x} \right)\).
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{\cos 2x}}{{{x^3}}}\);
b) y = x – sin 3x;
c) \(y = \sqrt {1 + \cos x} \);
d) \(y = 1 + \cos x\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - 2x} \right)\).
Câu 6:
Một con lắc lò xo dao động điều hoà quanh
vị trí cân bằng theo phương trình y = 25 sin 4πt ở đó y được tính bằng centimét còn thời gian t được tính bằng giây.
a) Tìm chu kì dao động của con lắc lò xo.
b) Tìm tần số dao động của con lắc, tức là số lần dao động trong một giây.
c) Tìm khoảng cách giữa điểm cao nhất và thấp nhất của con lắc.
Một con lắc lò xo dao động điều hoà quanh
vị trí cân bằng theo phương trình y = 25 sin 4πt ở đó y được tính bằng centimét còn thời gian t được tính bằng giây.
a) Tìm chu kì dao động của con lắc lò xo.
b) Tìm tần số dao động của con lắc, tức là số lần dao động trong một giây.
c) Tìm khoảng cách giữa điểm cao nhất và thấp nhất của con lắc.
Câu 7:
Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:
a) y = A sin(ωx + φ) với A > 0;
b) y = A tan(ωx + φ) với A > 0;
c) y = 3 sin 2x + 3cos 2x;
d) \(y = 3\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\).
Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:
a) y = A sin(ωx + φ) với A > 0;
b) y = A tan(ωx + φ) với A > 0;
c) y = 3 sin 2x + 3cos 2x;
d) \(y = 3\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\).
Câu 8:
Từ đồ thị hàm số y = sin x, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn \(\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};\,\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) sao cho:
a) sin x = 0; b) sin x > 0.
Từ đồ thị hàm số y = sin x, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn \(\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};\,\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) sao cho:
a) sin x = 0; b) sin x > 0.
Câu 9:
Với giá trị nào của x, mỗi đẳng thức sau đúng?
a) tan x cot x = 1;
b) 1 + tan2 x = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\);
c) 1 + cot2 x = \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\);
d) tan x + cot x = \(\frac{2}{{\sin 2x}}\).
Với giá trị nào của x, mỗi đẳng thức sau đúng?
a) tan x cot x = 1;
b) 1 + tan2 x = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\);
c) 1 + cot2 x = \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\);
d) tan x + cot x = \(\frac{2}{{\sin 2x}}\).
