Một khối nón làm bằng chất liệu không thấm nước, có khối lượng riêng lớn hơn khối lượng riêng của nước, có đường kính đáy bằng a và chiều cao 12, được đặt trong và trên đáy của một cái cốc hình trụ bán kính đáy a như hình vẽ, sao cho đáy của khối nón tiếp xúc với đáy của cốc hình trụ. Đổ nước vào cốc hình trụ đến khi mực nước đạt đến độ cao 12 thì lấy khối nón ra. Hãy tính độ cao của nước trong cốc sau khi đã lấy khối nón ra.

Biết rằng phương trình ${\log }_2^2\left(2x\right)-5{\log }_{2}x=0$  có hai nghiệm phân biệt $x_1$   và $x_2$ . Tính$x_1.x_2$

Gọi $F\left(x\right)$  là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{e^{2x}-6}{e^x}$ , biết $F\left(0\right)=7$ . Tính tổng các nghiệm của phương trình $F\left(x\right)=5$ .

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  liên tục trên $ℝ$  và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f\left(\left|\frac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}\right|\right)=f\left(m^2+4m+4\right)$  có nghiệm?

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left(x+2a\right)\left(x+2b-a\right)\left(ax+1\right)$ . Có bao nhiêu cặp số thực $\left(a;b\right)$  để hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, BC và E là điểm thuộc tia đối DB sao cho $\frac{BD}{BE}=k$ . Biết rằng mặt phẳng $\left(MNE\right)$ chia khối tứ diện thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh B có thể tích là $\frac{11\sqrt{2}{a}^3}{294}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại có hình parabol nhu hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Tính thể tích phần không gian bên trong trại.

Cho một đa giác đều $\left(H\right)$  có 15 đỉnh. Người ta lập một tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của $\left(H\right)$ . Tính số tứ giác được lập thành mà không có cạnh nào là cạnh của $\left(H\right)$ .

Tìm các giá trị của tham số thực m để số phức $z=\left(m^2-1\right)+\left(m+1\right)i$  là số thuần ảo.

Cho hàm số $y=\left|\frac{1}{4}{x}^4-x^3+x^2+m\right|$ . Tính tổng tất cả các số nguyên m để $\underset{\left[-1;2\right]}{\max }y\le 11$ .

Cho khối trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng $\sqrt{3}a$ . Thể tích của khối trụ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right)$  có phương trình là $x-z-3=0$ . Tính góc giữa $\left(P\right)$  và mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ .

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x^2}$  là

Cho hàm số đa thức $f\left(x\right)=m{x}^5+n{x}^4+p{x}^3+q{x}^2+hx+r$ ,$\left(m,n,p,q,h,r\in ℝ\right)$ . Đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$  cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ lần lượt là –1; $\frac{3}{2}$ ;$\frac{5}{2}$ ;$\frac{11}{3}$ . Số điểm cực trị của hàm số $g\left(x\right)=\left|f\left(x\right)-\left(m+n+p+q+h+r\right)\right|$  là

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=-\frac{x^3}{3}+m{x}^2-2mx+1$  có hai điểm cực trị.

Cho hàm số $f\left(x\right)$  liên tục trên $ℝ$  và có đồ thị $f^{\text{'}}\left(x\right)$  như hình vẽ bên dưới

Bất phương trình ${\log }_5\left[f\left(x\right)+m+2\right]+f\left(x\right)>4-m$  nghiệm đúng với mọi $x\in \left(-1;4\right)$  khi và chỉ khi