Chứng minh rằng: \(\lim {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^n} = 0\).

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R.

C₁ là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{2}\).

C₂ là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{4}\), ...

C_n là đường gồm 2ⁿ nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{{{2^n}}},...\)(Hình 4).

Gọi P_n là độ dài của C_n­, S_n là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C_n và đoạn thẳng AB.

a) Tính p_n, S_n.

b) Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S_n).

Chứng minh rằng:

a) lim 0 = 0;

b) \(\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0\).

Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.

a) Tính diện tích S_n của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n;

b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{5n + 1}}{{2n}}\);

b) \(\lim \frac{{6{n^2} + 8n + 1}}{{5{n^2} + 3}}\);

c) \(\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 5n + 3} }}{{6n + 2}}\);

d) \(\lim \left( {2 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right)\);

e) \(\lim \frac{{{3^n} + {2^n}}}{{{{4.3}^n}}}\);

g) \(\lim \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{{3^n}}}\).

Cho hai dãy số (u_n), (v_n) với u_n = 3 + \(\frac{1}{n}\), v_n = 5 – \(\frac{2}{{{n^2}}}\). Tính các giới hạn sau:

a) limu_n, limv_n;

b) lim(u_n + v_n), lim(u_n – v_n), lim(u_n.v_n), lim\(\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\).

a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u_n­), với \({u_1} = \frac{2}{3},q = - \frac{1}{4}\).

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số.

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{8{n^2} + n}}{{{n^2}}}\);

b) \(\lim \frac{{\sqrt {4 + {n^2}} }}{n}\).

Cho cấp số nhân (u_n), với u₁ = 1 và công bội \(q = \frac{1}{2}\).

a) Hãy so sánh |q| với 1.

b) Tính S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n. Từ đó, hãy tính limS_n.

Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân ra thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã).

(Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXB GD Việt Nam, 2021).

Gọi u_n là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát u_n của dãy số (u_n).

b) Chứng minh rằng (u_n) có giới hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn bé lại bé hơn 10^{– 6} g.