Câu hỏi:
17/06/2026 479
Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA1 ⊥ BC, từ A1 kẻ A1A2 ⊥ AC, sau đó lại kẻ A2A3 ⊥ BC. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn AA1A2A3... Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và α.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
Tam giác AA1B vuông tại A1 có AB = h và \(\widehat B = \alpha \).
Do đó, AA1 = AB sinB = h sin α.
Ta có: \(\widehat B + \widehat {BA{A_1}} = 90^\circ \) và \[\widehat {{A_1}A{A_2}} + \widehat {BA{A_1}} = 90^\circ \], suy ra \[\widehat {{A_1}A{A_2}} = \widehat B = \alpha \].
Tam giác AA1A2 vuông tại A2 nên A1A2 = AA1 sin\[\widehat {{A_1}A{A_2}}\] = h sin α . sin α = h sin2 α.
Vì AB ⊥ AC và A1A2 ⊥ AC nên AB // A1A2, suy ra \(\widehat {{A_2}{A_1}{A_3}} = \widehat B = \alpha \) (2 góc đồng vị).
Tam giác A1A2A3 vuông tại A3 nên A2A3 = A1A2 . sin\(\widehat {{A_2}{A_1}{A_3}}\) = h sin2 α . sin α = h sin3 α.
Vì AA1 ⊥ BC và A2A3 ⊥ BC nên AA1 // A2A3, suy ra \(\widehat {{A_3}{A_2}{A_4}} = \widehat {{A_1}A{A_2}} = \alpha \).
Tam giác A2A3A4 vuông tại A4 nên A3A4 = A2A3 . sin\(\widehat {{A_3}{A_2}{A_4}}\) = h sin3 α . sin α = h sin4 α.
Cứ tiếp tục như vậy, ta xác định được An – 1An = h sinn α.
Ta có: AA1A2A3... = AA1 + A1A2 + A2A3 + ... + An – 1An + ...
= h sin α + h sin2 α + h sin3 α + ... + h sinn α + ...
Vì góc B là góc nhọn nên sin B = sin α < 1, do đó |sin α| < 1.
Khi đó, độ dài của đường gấp khúc vô hạn AA1A2A3... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = h sin α và công bội q = sin α.
Do đó, AA1A2A3... = \(\frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{h\sin \alpha }}{{1 - \sin \alpha }}\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một bệnh nhân hằng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.
Câu 2:
Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:
a) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\);
b) \({v_n} = \sqrt {2{n^2} + 1} - n\).
Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:
a) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\);
b) \({v_n} = \sqrt {2{n^2} + 1} - n\).
Câu 3:
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)\).
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)\).
Câu 4:
Cho hai dãy số không âm (un) và (vn) với \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 3\). Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n} + 2{v_n}} \).
Cho hai dãy số không âm (un) và (vn) với \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 3\). Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n} + 2{v_n}} \).
Câu 5:
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:
a) 1,(12) = 1,121212...;
b) 3,(102) = 3,102102102...
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:
a) 1,(12) = 1,121212...;
b) 3,(102) = 3,102102102...
Câu 6:
Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi u1, u2, ..., un, ... lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.
a) Tính tổng Sn = u1 + u2 + ... + un.
b) Tìm S = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n}\).
Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi u1, u2, ..., un, ... lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.
a) Tính tổng Sn = u1 + u2 + ... + un.
b) Tìm S = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n}\).
Câu 7:
Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử un là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn là 0.
Câu 8:
Cho dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\).
a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.
b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01?
Cho dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\).
a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.
b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01?
Câu 9:
Chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}} = 0\).
Câu 10:
Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu là a = 100 (km).
a) Tính thời gian t1, t2, ..., tn, ... tương ứng để Achilles đi từ A1 đến A2, từ A2 đến A3, ... từ An đến An + 1, ...
b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường A1A2, A2A3, ..., AnAn + 1, ..., tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa.
c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?
Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu là a = 100 (km).
a) Tính thời gian t1, t2, ..., tn, ... tương ứng để Achilles đi từ A1 đến A2, từ A2 đến A3, ... từ An đến An + 1, ...
b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường A1A2, A2A3, ..., AnAn + 1, ..., tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa.
c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?
Câu 11:
Cho dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{{{3.2}^n} - 1}}{{{2^n}}}\). Chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 3\).
Câu 12:
Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi.
a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn un sau chu kì thứ n.
b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000?
Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi.
a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn un sau chu kì thứ n.
b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000?
Câu 13:
Cho dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\). Xét dãy số (vn) xác định bởi vn = un – 1.
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\).
Cho dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\). Xét dãy số (vn) xác định bởi vn = un – 1.
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\).
Câu 14:
Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {2{n^2} + 1} }}{{n + 1}}\).
Câu 15:
Cho hai dãy số (un) và (vn) với \({u_n} = 2 + \frac{1}{n},\,\,{v_n} = 3 - \frac{2}{n}\).
Tính và so sánh: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\).
Cho hai dãy số (un) và (vn) với \({u_n} = 2 + \frac{1}{n},\,\,{v_n} = 3 - \frac{2}{n}\).
Tính và so sánh: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\).
