Cho tam giác ABC và ba điểm M, N, P thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$, $4\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=0$ ,$-\overrightarrow{PC}+2\overrightarrow{PA}=0$  . Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.

Lời giải

Ta có: $4\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$  ⇔  $4\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$(1)

 $-\overrightarrow{PC}+2\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{0}$ (2)

Lấy (1) + (2) ta được: $4\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NP}+2\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{0}$

⇔ $4\overrightarrow{NB}+2\overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{PN}$

⇔  $2\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{PA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PN}$

⇔ $\frac{1}{2}\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MA}+2\left(\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MB}\right)$

⇔ $\frac{1}{2}\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PM}+2\overrightarrow{NM}+\left(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right)$

⇔ $\frac{1}{2}\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PM}+2\overrightarrow{NM}$  (vì $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ )

⇔ $\frac{1}{2}\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PM}+2\overrightarrow{NP}+2\overrightarrow{PM}$

⇔ $\frac{1}{2}\overrightarrow{PN}=3\overrightarrow{PM}-2\overrightarrow{PN}$

⇔ $\frac{5}{2}\overrightarrow{PN}=3\overrightarrow{PM}$

⇔ $\frac{5}{6}\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PM}$

Vậy M, N, P thẳng hàng.

*Phương pháp giải:

Ta sử dụng tính chất của 2 vectơ có cùng phương để có thể chứng minh có đường thẳng đi qua cả 3 điểm (tức là 3 điểm thẳng hàng)

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Ba điểm thẳng hàng là 3 điểm cùng nằm trên một đường thẳng

2. Mối quan hệ

3 điểm thẳng hàng thì 3 điểm đó phân biệt và cùng nằm trên một đường thẳng.

Chỉ có duy nhất 1 và chỉ một đường thẳng đi qua 3 điểm bất kì

3. Các phương pháp

Phương pháp 1: Áp dụng tính chất góc bẹt

Chọn một điểm D bất kì: nếu ∠ABD + ∠DBC = 180 độ thì ba điểm A, B, C đã cho thẳng hàng

Phương pháp 2: Sử dụng tiên đề Ơ-cơ-lit

Cho 3 điểm A, B, C và 1 đường thẳng a. Nếu AB // a và AC // a thì ta có thể khẳng định ba điểm A; B; C thẳng hàng. (dựa trên cơ sở tiên đề Ơ-cơ-lít trong chương trình Toán lớp 7)

Phương pháp 3: Sử dụng tính chất 2 đường thẳng vuông góc

Nếu đoạn thẳng AB ⊥ a; đoạn thẳng AC ⊥ a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

(Cơ sở lý thuyết của phương pháp này: Chỉ có 1 và chỉ 1 một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước)

Hoặc sử dụng tính chất A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng .(nằm trong chương trình toán học lớp 7)

Phương pháp 4: Sử dụng tính duy nhất tia phân giác

Nếu 2 tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy thì ta có thể khẳng định 3 điểm O, A, B thẳng hàng

Cơ sở lý thuyết phương pháp trên: Một góc chỉ có một và chỉ một đường phân giác

* Hoặc : Hai tia OA và OB nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, ta có ∠xOA = ∠xOB thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.

Phương pháp 5: Sử dụng tính chất đường trung trực

Nếu K là trung điểm của đoạn thẳng BD, điểm K’ là giao điểm của 2 đoạn thẳng BD và AC. Nếu điểm K’ là trung điểm BD và K’ trùng K. Từ đó ta có thể kết luận 3 điểm A, K, C thẳng hàng.

(Cơ sở lý thuyết của phương pháp này: Mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất 1 trung điểm)

Phương pháp 6: Sử dụng tính chất các đường đồng quy

Chứng minh 3 điểm thuộc các đường đồng quy của tam giác.

Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp vectơ

Ta sử dụng tính chất của 2 vectơ có cùng phương để có thể chứng minh có đường thẳng đi qua cả 3 điểm (tức là 3 điểm thẳng hàng)

Xem thêm

Các cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng 

TOP 16 câu Trắc nghiệm Ba điểm thẳng hàng. Ba điểm không thẳng có đáp án - Toán lớp 6 Chân trời sáng tạo