Cho tam giác ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thỏa mãn các đẳng thức sau:

a) $2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

b) $2\overrightarrow{J\mathrm{A}}+\overrightarrow{JC}-\overrightarrow{JB}=\overrightarrow{CA}$

c) $\overrightarrow{\mathrm{K}\mathrm{A}}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=2\overrightarrow{BC}$

d) $3\overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{A}}+2\overrightarrow{LC}-\overrightarrow{LB}=\overrightarrow{0}$

Lời giải

a) Ta có $2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

Suy ra I thuộc đoạn thẳng BC sao cho $\frac{IB}{IC}=\frac{3}{2}$

b) Ta có $2\overrightarrow{J\mathrm{A}}+\overrightarrow{JC}-\overrightarrow{JB}=\overrightarrow{CA}$

$\iff 2\overrightarrow{J\mathrm{A}}+\overrightarrow{JC}-\overrightarrow{JB}=\overrightarrow{JA}-\overrightarrow{JC}$

$\iff \overrightarrow{J\mathrm{A}}+2\overrightarrow{JC}-\overrightarrow{JB}=\overrightarrow{0}$

$\iff 2\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{AB}$

Suy ra JC // AB, JC = $\frac{1}{2}$AB

Vậy điểm I thuộc đường thẳng qua C song song với AB sao cho JC = $\frac{1}{2}$AB.

c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{K}\mathrm{A}}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=2\overrightarrow{BC}$

$\iff \overrightarrow{\mathrm{K}\mathrm{G}}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{KG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{KG}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{BC}$

$\iff 3\overrightarrow{\mathrm{K}\mathrm{G}}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})=2\overrightarrow{BC}$

$\iff 3\overrightarrow{\mathrm{K}\mathrm{G}}=2\overrightarrow{BC}$

$\iff \overrightarrow{\mathrm{K}\mathrm{G}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$

Vậy K cách G một khoảng bằng $\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$.

d) $3\overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{A}}+2\overrightarrow{LC}-\overrightarrow{LB}=\overrightarrow{0}$

$\iff (2\overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{A}}+2\overrightarrow{LC})+(\overrightarrow{LA}-\overrightarrow{LB})=\overrightarrow{0}$

$\iff 2(\overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{A}}+\overrightarrow{LC})=\overrightarrow{AB}$

Gọi M là trung điểm của AC

Suy ra $2(\overrightarrow{\mathrm{L}\mathrm{M}}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{LM}+\overrightarrow{MC})=\overrightarrow{AB}$

$\iff 4\overrightarrow{LM}=\overrightarrow{AB}$

$\iff \overrightarrow{LM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$

Vậy K cách G một khoảng bằng $\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$.

*Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm của vectc trong không gian

• Với ba điểm A, B, C trong không gian, ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc ba điểm);

*Lý thuyết:

1. Khái niệm vectơ trong không gian

• Vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Chú ý:

Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B thì ta có một vectơ, kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$ , đọc là “vectơ AB”.

Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ, vectơ còn được kí hiệu là $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}, \overrightarrow{u }, \overrightarrow{v},$...

• Các khái niệm có liên quan đến vectơ trong không gian như: giá của vectơ, độ dài của vectơ, vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ – không, hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau, … được phát biểu tương tự như trong mặt phẳng.

Chú ý:

Cho điểm O và vectơ $\overrightarrow{a}$ . Khi đó, tồn tại duy nhất điểm M trong không gian sao cho $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{a}$ .

Để xác định điểm M, ta làm như sau (xem hình dưới):

• Phép lấy tổng hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

• Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, chẳng hạn: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với vectơ – không. Do đó, ta cũng định nghĩa được tổng của ba vectơ trong không gian.

• Khi thực hiện phép cộng vectơ trong không gian, ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vectơ trong mặt phẳng.

Đối với vectơ trong không gian, ta cũng có các quy tắc sau:

• Với ba điểm A, B, C trong không gian, ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc ba điểm);

• Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành).

• Nếu ABCD.A'B'C'D' là hình hộp thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA\text{'}}=\overrightarrow{AC\text{'}}$ (quy tắc hình hộp).

Xem thêm

Lý thuyết Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian – Toán lớp 12 Cánh diều 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Vectơ trong không gian (có đáp án ) – Toán 11