Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}\right)={45}^0.$

B. $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\right)={45}^0$ và $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=a^2.$

C. $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=a^2\sqrt{2}.$

D. $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}=-a^2.$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2;1), B(-2;5) và C(-5;2).

a) Tìm tọa độ của các vecto $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}.$

b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Trong mặt phẳng tọa độ, vecto nào sau đây có độ dài bằng 1?

A. $\overrightarrow{a}\left(1;1\right)$

B. $\overrightarrow{b}\left(1;-1\right)$

C. $\overrightarrow{c}\left(2;\frac{1}{2}\right)$

D. $\overrightarrow{d}\left(\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)$

Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng S15⁰E với vận tốc có độ lớn bằng 20km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng 3km/h.

Góc giữa vecto $\overrightarrow{a}\left(1;-1\right)$ và vecto $\overrightarrow{b}\left(-2;0\right)$ có số đo bằng:

A. 90⁰.

B. 0⁰.

C. 135⁰.

D. 45⁰.

Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho MB = 3MC.

a) Tìm mối liên hệ giữa hai vecto $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC}$.

b) Biểu thị vecto $\overrightarrow{AM}$ theo hai vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}.$

Cho ba vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{u}$ với $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1$ và $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$. Xét một hệ trục Oxy với hệ vecto đơn vị $\overrightarrow{i}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{j}=\overrightarrow{b}$. Chứng minh rằng:

a) Vecto $\overrightarrow{u}$ có tọa độ là $\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{a},\overrightarrow{u}.\overrightarrow{b}\right).$ 

b) $\overrightarrow{u}=\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{a}\right).\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{b}\right).\overrightarrow{b}.$

Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vecto nào sau đây có cùng phương?

A. $\overrightarrow{u}\left(2;3\right)$ và $\overrightarrow{v}\left(\frac{1}{2};6\right)$.

B. $\overrightarrow{a}\left(\sqrt{2};6\right)$ và $\overrightarrow{b}\left(1;3\sqrt{2}\right)$.

C. $\overrightarrow{i}\left(0;1\right)$ và $\overrightarrow{j}\left(1;0\right)$.

D. $\overrightarrow{c}\left(1;3\right)$ và $\overrightarrow{d}\left(2;-6\right)$.

Cho vecto $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{\left|\overrightarrow{a}\right|}.\overrightarrow{a}$ (hay còn được viết là $\frac{\overrightarrow{a}}{\left|\overrightarrow{a}\right|}$) là một vecto đơn vị cùng hướng với $\overrightarrow{a}$.

Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vecto nào sau đâu vuông góc với nhau?

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}\right).$

B. ${\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2.{\overrightarrow{b}}^2.$

C. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\sin \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right).$

D. $\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}.$