Cho hình thang cân ABCD có AB//CD và AB < CD , biết AD = BC

a) chứng minh AB = BC

b) chứng minh DB là tia phân giác ADC

Lời giải

Ta có: - ${\displaystyle AD=BC}$ (gi given)

- ${\displaystyle AB}$//${\displaystyle CD}$ (gi given)

- Tam giác ${\displaystyle ABD}$ và tam giác ${\displaystyle BCD}$ cân tại ${\displaystyle A}$ và ${\displaystyle B}$ (vì hình thang cân)

Do đó, ta có hai tam giác ${\displaystyle ABD}$ và ${\displaystyle BCD}$ đồng dạng (theo điều kiện đồng dạng ${\displaystyle \forall A}$). Vậy, theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có: ${\displaystyle \frac{AB}{BD}}$=${\displaystyle \frac{BC}{CD}}$. Do ${\displaystyle AB}$//${\displaystyle CD}$, ta cũng có ${\displaystyle \frac{AB}{BD}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{CD}{DB}}$.

Từ hai phương trình trên, suy ra: ${\displaystyle \frac{BC}{CD}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{CD}{DB}}$ .

${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle BC\times DB}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle C{D}^2}$.

Vì ${\displaystyle AB<CD}$, nên ta có: ${\displaystyle BC\times DB}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle C{D}^2}$. Từ đó, suy ra: ${\displaystyle AB<CD}$.

Như vậy, ta có: ${\displaystyle AB<CD}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle BC}$.

Vì ${\displaystyle AB<BC}$ và ${\displaystyle AB=BC}$ (theo tính chất của hình thang cân), nên ta kết luận rằng ${\displaystyle AB=BC}$.

b)

Gọi ${\displaystyle P}$ là giao điểm của ${\displaystyle DB}$ và ${\displaystyle AC}$.

Ta có:- Vì hình thang ${\displaystyle ABCD}$ là hình thang cân, nên tứ giác ${\displaystyle ABCD}$ là tứ giác cân.

${\displaystyle -}$ Ta có ${\displaystyle AD=BC}$ (vì hình thang cân).

${\displaystyle -}$ ${\displaystyle AB}$ // ${\displaystyle CD}$ (vì hình thang cân).

${\displaystyle -}$ Do đó, ta có hai tam giác ${\displaystyle ABC}$ và ${\displaystyle DAB}$ là tam giác đồng dạng (theo định lí góc đồng dạng).

Từ đó, ta có góc ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle =}$ góc ${\displaystyle DAB}$ (vì góc giữa hai dạng tam giác đồng dạng là bằng nhau).

${\displaystyle -}$ Ta có ${\displaystyle AB}$ // ${\displaystyle CD}$ (dựa vào điều kiện của hình thang cân).

${\displaystyle -}$ Vậy, ta có góc ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle =}$ góc ${\displaystyle ADC}$ (góc đồng tranh).

${\displaystyle -}$ Suy ra, góc ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle =}$ góc ${\displaystyle DAB}$ ${\displaystyle =}$ góc ${\displaystyle ADC}$.

${\displaystyle \Rightarrow }$ Góc ${\displaystyle PDB}$ ${\displaystyle =}$ góc......

*Phương pháp giải:

a) Chứng minh ${\displaystyle AB=BC}$ :Vì hình thang cân ${\displaystyle ABCD}$ có ${\displaystyle AB}$//${\displaystyle CD}$ và ${\displaystyle AD=BC}$, ta xét tam giác ${\displaystyle ABD}$ và tam giác ${\displaystyle BCD}$.

b)  Để chứng minh BD  là tia phân giác của gócADC , ta cần chứng minh BD chia góc  ADC thành hai góc bằng nhau.

*Lý thuyết:

1. Tia phân giác là gì?

Tia phân giác của một góc là tia nằm trong góc và tạo với hai cạnh của góc đó hai góc bằng nhau.

2. Vẽ tia phân giác của một góc

Cho góc xOy. Để vẽ tia phân giác của góc xOy ta có các cách sau:

Cách 1: Vẽ tia phân giác của một góc bằng thước thẳng và compa.

Bước 1: Trên tia Ox lấy điểm A bất kì (A khác O). Vẽ một phần đường tròn tâm O bán kính OA, cắt tia Oy tại điểm B.

Bước 2: Vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính AO.

Bước 3: Vẽ một phần đường tròn tâm B bán kính AO, cắt phần đường tròn tâm A bán kính AO tại điểm C nằm trong góc xOy.

Bước 4: Vẽ tia OC, ta được tia phân giác của góc xOy.

Cách 2: Dùng thước hai lề

Bước 1: Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với một trong hai cạnh của góc xOy; dùng bút, vạch một vạch thẳng theo cạnh kia của thước.

Bước 2: Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh còn lại của góc xOy; dùng bút, vạch một vạch thẳng theo cạnh kia của thước.

Bước 3: Hai nét vạch ở bước 1 và bước 2 cắt nhau tại điểm K nằm trong góc xOy. Vẽ tia OK, ta được tia này là tia phân giác của góc xOy.

3. Định lí tia phân giác

* Định lý thuận:

Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

* Định lí đảo:

- Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

- Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.

Xem thêm

Lý thuyết Tia phân giác của một góc và cách giải các dạng bài tập (chính xác nhất) 

TOP 15 câu Trắc nghiệm Tia phân giác của một góc (Cánh diều ) có đáp án - Toán 7