Câu hỏi:
17/06/2026 299
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SCD.
a) Chứng minh rằng GK // (ABCD).
b) Mặt phẳng chứa đường thẳng GK và song song với mặt phẳng (ABCD) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, E, F. Chứng minh rằng tứ giác MNEF là hình bình hành.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SCD.
a) Chứng minh rằng GK // (ABCD).
b) Mặt phẳng chứa đường thẳng GK và song song với mặt phẳng (ABCD) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, E, F. Chứng minh rằng tứ giác MNEF là hình bình hành.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
a) Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AD và CD.
Vì G, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SCD nên theo tính chất trọng tâm trong tam giác ta có S, G, H thẳng hàng, S, K, I thẳng hàng và \(\frac{{SG}}{{SH}} = \frac{1}{3};\,\,\frac{{SK}}{{SI}} = \frac{1}{3}\).
Xét tam giác SHI có \(\frac{{SG}}{{SH}} = \frac{{SK}}{{SI}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\), suy ra GK // HI (định lí Thalés).
Vì H thuộc AD nên H thuộc mặt phẳng (ABCD), vì I thuộc CD nên I thuộc mặt phẳng (ABCD). Do đó, mặt phẳng (ABCD) chứa đường thẳng HI.
Đường thẳng GK song song với đường thẳng HI và đường thẳng HI nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên GK // (ABCD).
b) Trong mặt phẳng (SAD), từ G kẻ đường thẳng song song với AD, cắt SA, SD lần lượt tại M và F, suy ra MF // AD nên MF // (ABCD).
Trong mặt phẳng (SCD), nối F với K, đường thẳng FK cắt SC tại E.
Trong mặt phẳng (SBC), từ E kẻ đường thẳng song song với BC, cắt SB tại N.
Xét tam giác SHD có GF // HD (do MF // AD), theo định lí Thalés suy ra \(\frac{{SF}}{{SD}} = \frac{{SG}}{{SH}} = \frac{1}{3}\).
Xét tam giác SDI có \(\frac{{SF}}{{SD}} = \frac{{SK}}{{SI}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\), do đó FK // DI hay EF // DC, suy ra EF // (ABCD).
Vì MF // CD, NE // BC, AD // BC nên MF // NE, suy ra bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.
Mặt phẳng (MNEF) chứa hai đường thẳng cắt nhau MF và EF cùng song song với mặt phẳng (ABCD). Do đó, hai mặt phẳng (MNEF) và (ABCD) song song với nhau.
Vì G thuộc MF nên G thuộc mặt phẳng (MNEF), vì K thuộc EF nên K thuộc mặt phẳng (MNEF).
Vậy mặt phẳng chứa đường thẳng GK và song song với mặt phẳng (ABCD) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, E, F là mặt phẳng (MNEF).
Xét tam giác SAD có MF // AD nên \(\frac{{MF}}{{AD}} = \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{1}{3}\).
Xét tam giác SCD có EF // CD nên \(\frac{{SE}}{{SC}} = \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{1}{3}\).
Xét tam giác SBC có NE // BC nên \(\frac{{NE}}{{BC}} = \frac{{SE}}{{SC}} = \frac{1}{3}\).
Do đó, \(\frac{{MF}}{{AD}} = \frac{{NE}}{{BC}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\), mà AD = BC (do ABCD là hình bình hành) nên MF = NE.
Xét tứ giác MNEF có MF = NE và MF // NE nên tứ giác MNEF là hình bình hành.
Lời giải:
a) Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AD và CD.
Vì G, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SCD nên theo tính chất trọng tâm trong tam giác ta có S, G, H thẳng hàng, S, K, I thẳng hàng và \(\frac{{SG}}{{SH}} = \frac{1}{3};\,\,\frac{{SK}}{{SI}} = \frac{1}{3}\).
Xét tam giác SHI có \(\frac{{SG}}{{SH}} = \frac{{SK}}{{SI}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\), suy ra GK // HI (định lí Thalés).
Vì H thuộc AD nên H thuộc mặt phẳng (ABCD), vì I thuộc CD nên I thuộc mặt phẳng (ABCD). Do đó, mặt phẳng (ABCD) chứa đường thẳng HI.
Đường thẳng GK song song với đường thẳng HI và đường thẳng HI nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên GK // (ABCD).
b) Trong mặt phẳng (SAD), từ G kẻ đường thẳng song song với AD, cắt SA, SD lần lượt tại M và F, suy ra MF // AD nên MF // (ABCD).
Trong mặt phẳng (SCD), nối F với K, đường thẳng FK cắt SC tại E.
Trong mặt phẳng (SBC), từ E kẻ đường thẳng song song với BC, cắt SB tại N.
Xét tam giác SHD có GF // HD (do MF // AD), theo định lí Thalés suy ra \(\frac{{SF}}{{SD}} = \frac{{SG}}{{SH}} = \frac{1}{3}\).
Xét tam giác SDI có \(\frac{{SF}}{{SD}} = \frac{{SK}}{{SI}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\), do đó FK // DI hay EF // DC, suy ra EF // (ABCD).
Vì MF // CD, NE // BC, AD // BC nên MF // NE, suy ra bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.
Mặt phẳng (MNEF) chứa hai đường thẳng cắt nhau MF và EF cùng song song với mặt phẳng (ABCD). Do đó, hai mặt phẳng (MNEF) và (ABCD) song song với nhau.
Vì G thuộc MF nên G thuộc mặt phẳng (MNEF), vì K thuộc EF nên K thuộc mặt phẳng (MNEF).
Vậy mặt phẳng chứa đường thẳng GK và song song với mặt phẳng (ABCD) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, E, F là mặt phẳng (MNEF).
Xét tam giác SAD có MF // AD nên \(\frac{{MF}}{{AD}} = \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{1}{3}\).
Xét tam giác SCD có EF // CD nên \(\frac{{SE}}{{SC}} = \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{1}{3}\).
Xét tam giác SBC có NE // BC nên \(\frac{{NE}}{{BC}} = \frac{{SE}}{{SC}} = \frac{1}{3}\).
Do đó, \(\frac{{MF}}{{AD}} = \frac{{NE}}{{BC}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\), mà AD = BC (do ABCD là hình bình hành) nên MF = NE.
Xét tứ giác MNEF có MF = NE và MF // NE nên tứ giác MNEF là hình bình hành.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B'C'. Hình chiếu của ∆B'DM qua phép chiếu song song trên (A'B'C'D') theo phương chiếu AA' là
A. ∆B'A'M'.
B. ∆C'D'M'.
C. ∆DMM'.
D. ∆B'D'M'.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B'C'. Hình chiếu của ∆B'DM qua phép chiếu song song trên (A'B'C'D') theo phương chiếu AA' là
A. ∆B'A'M'.
B. ∆C'D'M'.
C. ∆DMM'.
D. ∆B'D'M'.
Câu 2:
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AA'.
a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B'C.
b) Gọi K là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B'C. Tính tỉ số \(\frac{{KB'}}{{KC}}\).
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AA'.
a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B'C.
b) Gọi K là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B'C. Tính tỉ số \(\frac{{KB'}}{{KC}}\).
Câu 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD; K là giao điểm của mặt phẳng (AMN) và đường thẳng SC. Tỉ số \(\frac{{SK}}{{SC}}\) bằng
A. \(\frac{1}{2}\).
B. \(\frac{1}{3}\).
C. \(\frac{1}{4}\).
D. \(\frac{2}{3}\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD; K là giao điểm của mặt phẳng (AMN) và đường thẳng SC. Tỉ số \(\frac{{SK}}{{SC}}\) bằng
A. \(\frac{1}{2}\).
B. \(\frac{1}{3}\).
C. \(\frac{1}{4}\).
D. \(\frac{2}{3}\).
Câu 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC và cạnh AB lần lượt lấy điểm M và N sao cho CM = 2SM và BN = 2AN.
a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (ABM) với đường thẳng SD. Tính tỉ số \(\frac{{SK}}{{SD}}\).
b) Chứng minh rằng MN // (SAD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC và cạnh AB lần lượt lấy điểm M và N sao cho CM = 2SM và BN = 2AN.
a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (ABM) với đường thẳng SD. Tính tỉ số \(\frac{{SK}}{{SD}}\).
b) Chứng minh rằng MN // (SAD).
Câu 5:
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Mặt phẳng (AB'D') song song với mặt phẳng
A. (ABCD).
B. (BCC'B').
C. (BDA').
D. (BDC').
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Mặt phẳng (AB'D') song song với mặt phẳng
A. (ABCD).
B. (BCC'B').
C. (BDA').
D. (BDC').
Câu 6:
Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 3AM. Mặt phẳng (P) đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC.
a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (P) với đường thẳng CD.
b) Tính tỉ số \(\frac{{KC}}{{CD}}\).
Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 3AM. Mặt phẳng (P) đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC.
a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (P) với đường thẳng CD.
b) Tính tỉ số \(\frac{{KC}}{{CD}}\).
Câu 7:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB // CD và AB < CD. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng sau:
a) (SAD) và (SBC);
b) (SAB) và (SCD);
c) (SAC) và (SBD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB // CD và AB < CD. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng sau:
a) (SAD) và (SBC);
b) (SAB) và (SCD);
c) (SAC) và (SBD).
Câu 8:
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD, A'B'. Chứng minh rằng:
a) BD // B'D', (A'BD) // (CB'D') và MN // (BDD'B');
b) Đường thẳng AC' đi qua trọng tâm G của tam giác A'BD.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD, A'B'. Chứng minh rằng:
a) BD // B'D', (A'BD) // (CB'D') và MN // (BDD'B');
b) Đường thẳng AC' đi qua trọng tâm G của tam giác A'BD.
Câu 9:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Đường thẳng SB song song với mặt phẳng
A. (CDM).
B. (ACM).
C. (ADM).
D. (ACD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Đường thẳng SB song song với mặt phẳng
A. (CDM).
B. (ACM).
C. (ADM).
D. (ACD).
Câu 10:
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng a và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường thẳng b. Vị trí tương đối của hai đường thẳng a và b là
A. chéo nhau.
B. cắt nhau.
C. song song.
D. trùng nhau.
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng a và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường thẳng b. Vị trí tương đối của hai đường thẳng a và b là
A. chéo nhau.
B. cắt nhau.
C. song song.
D. trùng nhau.
Câu 11:
Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song với nhau. Đường thẳng a cắt các mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C sao cho \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{2}{3}\) và đường thẳng b cắt các mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt tại A', B', C'. Tỉ số \(\frac{{A'B'}}{{B'C'}}\) bằng
A. \(\frac{2}{3}\).
B. \(\frac{1}{2}\).
C. \(\frac{3}{2}\).
D. \(\frac{2}{5}\).
Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song với nhau. Đường thẳng a cắt các mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C sao cho \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{2}{3}\) và đường thẳng b cắt các mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt tại A', B', C'. Tỉ số \(\frac{{A'B'}}{{B'C'}}\) bằng
A. \(\frac{2}{3}\).
B. \(\frac{1}{2}\).
C. \(\frac{3}{2}\).
D. \(\frac{2}{5}\).
