Cho hình chóp ngũ giác đều có tổng diện tích tất cả các mặt là S=4. Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp ngũ giác đều đã cho có dạng $\max V=\frac{a\sqrt{10}}{b\sqrt{\tan {36}^0}},$ trong đó $a,b\in \mathbb{N}*,\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Hãy tính T=a+b

Đáp án đúng là : B

- T=a+b = 17.

→ B đúng.A,C,D sai.

Gọi hình chóp ngũ giác đều đã cho là S.ABCDE có O là tâm của đáy ABCDE,I là trung điểm cạnh CD.

$\Rightarrow SO\perp \left(ABCDE\right)$ và $OI\perp CD\Rightarrow CD\perp \left(SOI\right).$

Lại có: $\widehat{COI}=\frac{1}{2}\widehat{COD}={36}^0\Rightarrow IC=OI.\tan {36}^0$

Dễ thấy: $S_{\Delta SCD}+S_{\Delta OCD}=\frac{1}{5}S=\frac{4}{5}\Rightarrow \frac{1}{2}SI.CD+\frac{1}{2}OI.CD=\frac{4}{5}\Rightarrow SI.IC+OI.IC=\frac{4}{5}$

$\Rightarrow SI.OI.\tan {36}^0+O{I}^2.\tan {36}^0=\frac{4}{5}\Rightarrow SI=\frac{4}{5.IO.\tan {36}^0}-OI$

$\Rightarrow SO=\sqrt{S{I}^2-O{I}^2}=\sqrt{{\left(\frac{4}{5.OI.\tan {36}^0}-OI\right)}^2-O{I}^2}=\sqrt{\frac{16}{25.O{I}^2.{\tan }^2{36}^0}-\frac{8}{5\tan {36}^0}}$

Thể tích khối chóp S.ABCDE là: $V=\frac{1}{3}SO.S_{ABCDE}=\frac{1}{3}SO.5S_{\Delta COD}=\frac{5}{3}SO.\frac{1}{2}OI.CD$

$=\frac{5}{3}SO.OI.IC=\frac{4}{2}\sqrt{\frac{16}{25.O{I}^2.{\tan }^2{36}^0}-\frac{8}{5\tan {36}^0}}.O{I}^2.\tan {36}^0$

$$\begin{gathered} =\frac{10\sqrt{2}}{3\sqrt{5\tan {36}^0}}\sqrt{\left(\frac{2}{5}-O{I}^2.\tan {36}^0\right).O{I}^2.\tan {36}^0}\le \frac{10\sqrt{2}}{3\sqrt{5\tan {36}^0}}. \\ \frac{\frac{2}{5}-O{I}^2.\tan {36}^0+O{I}^2.\tan {36}^0}{2} \end{gathered}$$

$=\frac{10\sqrt{2}}{3\sqrt{5}\tan {36}^0}.\frac{1}{5}=\frac{2\sqrt{10}}{15\sqrt{\tan {36}^0}}$

Vậy: $a=2;b=15\Rightarrow T=a+b=17.$

* Mở rộng:

Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Người ta chứng minh được rằng: có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một số dương duy nhất V(H) thỏa mãn các tính chất sau:

a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H) = 1.

b) Nếu hai khối đa diện (H1) và (H2) bằng nhau thì V(H1) = V(H2).

c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) thì:

V(H) = V(H1) + V(H2).

Số dương V(H) nói trên được gọi là thể tích của khối đa diện (H). Số đó cũng được gọi là thể tích của hình đa diện giới hạn khối đa diện (H).

Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.

- Định lí : Thể tích của khối hình chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.

II. Thể tích của khối lăng trụ.

Định lí: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V = B.h

III. Thể tích khối chóp.

Định lí. Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là: $V=\frac{1}{3}B.h$.

Xem thêm các bài viết liên quan,chi tiết khác:

Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Mục lục Giải Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện