Cho hàm số y = $\frac{x-m^2}{x+8}$ với m là tham số thực. Giả sử $m_0$ là giá trị dương của tham số m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;3] bằng -3. Giá trị $m_0$ thuộc khoảng nào trong các khoảng cho dưới đây?

* Lời giải:

Tập xác định

Ta có

suy ra hàm số đã cho đồng biến trên đoạn [0;3].

Do đó 

 

Theo yêu cầu bài toán ta có:

* Phương pháp giải:

Tìm tập xác định (TXĐ)

Tính đạo hàm y'

Tìm nghiệm của phương trình y' = 0

Tìm các điểm mà y' không xác định

Lập bảng biến thiên

Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Tính đơn điệu của hàm số

* Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K.

- Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1, x2 thuộc K mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).

- Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x1, x2 thuộc K mà x1 < x2 thì f(x1) > f(x2).

- Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên K thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải (Hình 1a).

- Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên K thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải (Hình 1b).

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x), ta thấy:

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞).

- Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 1).

* Tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

- Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f(x) đồng biến trên K.

- Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên K.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = x3 – 3x. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?

Hướng dẫn giải

Có y' = 3x2 – 3.

Có y' < 0 $\iff$ −1 < x < 1.

Do đó hàm số nghịch biến trên (−1; 1).

Chú ý: Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà chưa cho khoảng K, ta hiểu xét tính đơn điệu của hàm số đó trên tập xác định của nó.

* Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x)

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) của hàm số. Tìm các điểm x thuộc D mà tại đó đạo hàm f'(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

Bước 3: Xét dấu f'(x) và lập bảng biến thiên.

Bước 4: Nếu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của hàm số y = 2x2 – x4.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có y' = 4x – 4x3; y' = 0 $\iff$ x = −1 hoặc x = 0 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (0; 1), nghịch biến trên các khoảng (−1; 0) và (1; +∞).

Chú ý:

a) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K, f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K.

b) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K, f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K.

c) Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì hàm số không đổi trên K.

2. Cực trị của hàm số

* Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D và x0 ∈ D.

- Nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 và (a; b) $\subset$ D sao cho f(x) < f(x0) với mọi x $\in$ (a; b)\{x0} thì x0 được gọi là một điểm cực đại, f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số y = f(x), kí hiệu yCĐ.

- Nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 và (a; b) $\subset$ D sao cho f(x) > f(x0) với mọi x $\in$ (a; b)\{x0}, thì x0 được gọi là một điểm cực tiểu, f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số y = f(x), kí hiệu yCT.

Chú ý:

a) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (còn gọi là cực trị) của hàm số.

b) Nếu x0 là một điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của hàm số y = f(x) thì ta cũng nói hàm số y = f(x) đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) tại x0.

c) Hàm số có thể đạt cực đại và cực tiểu tại nhiều điểm trên D.

d) Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số y = f(x) thì điểm M(x0; f(x0)) là một điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x).

Ví dụ 4. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn [−2; 2] và có đồ thị như hình vẽ. Tìm điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y = f(x).

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

- Điểm cực đại của đồ thị hàm số là (−1; 2).

- Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (1; −2).

* Cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a; x0) và (x0; b). Khi đó:

- Nếu f'(x) < 0 với mọi x $\in$ (a; x0) và f'(x) > 0 với mọi x $\in$ (x0; b) thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm x0;

- Nếu f'(x) > 0 với mọi x $\in$ (a; x0) và f'(x) < 0 với mọi x $\in$ (x0; b) thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm x0.

Ví dụ 5. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Hãy tìm cực trị của hàm số y = f(x).

Hướng dẫn giải

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yCT = 1.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = 5.

* Các bước tìm cực trị của hàm số y = f(x)

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) của hàm số. Tìm các điểm x thuộc D mà tại đó đạo hàm f'(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 4: Từ bảng biến thiên kết luận về cực trị của hàm số.

Ví dụ 6. Tìm cực trị của hàm số y = x3 + 4x2 – 3x + 7.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = ℝ.

Có y' = 3x2 + 8x – 3; y' = 0 $\iff$ x = −3 hoặc $x=\frac{1}{3}$

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = −3 và yCĐ = 25.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{1}{3}$ và $y_{CT}=\frac{175}{27}$

Chú ý:

a) Nếu f'(x0) = 0 và f'(x) không đổi dấu khi x qua điểm x0 thì hàm số không có cực trị tại x0.

b) Nếu f'(x) không đổi dấu trên khoảng K thì f(x) không có cực trị trên khoảng đó.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Tính đơn điệu của hàm số