Cho hàm số $f\left(x\right)=-x^3+3m{x}^2-12x+3$ với m là tham số thực. Số giá trị nguyên của m để $f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0$ với $\forall x\in ℝ$  là

Đáp án đúng là B.

Lời giải

Ta có  

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=-x^3+3m{x}^2-12x+3\\ \Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=-3x^2+6mx-12.\end{array}$

$f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0$ với $\forall x\in ℝ$

$\iff -3x^2+6mx-12\le 0$ với $\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff {\Delta }^{\text{'}}\le 0\\ \iff 9m^2-36\le 0\\ \iff -2\le m\le 2.\end{array}$

Do m là số nguyên nên $m\in \left\{-2;-1;0;1;2\right\}$.

Vậy có 5 giá trị nguyên của m.

*Phương pháp giải:

Bước 1: Tính $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x;m\right)=a{x}^2+bx+c.$

Bước 2: Hàm số đơn điệu trên $\left(x_1;x_2\right)\iff y^{\text{'}}=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ a\ne 0\end{array}\right.\left(*\right)$

Bước3: Kết luận

*Lý thuyết

- Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói:

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x₁; x₂ thuộc K mà x₁ nhỏ hơn x₂ thì f(x₁) nhỏ hơn f(x₂), tức là

x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) < f(x₂).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x₁; x₂ thuộc K mà x₁ nhỏ hơn x₂ thì f(x₁) lớn hơn f(x₂), tức là

x₁ < x₂ $\Rightarrow$f(x₁) > f(x₂).

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) f(x) đồng biến trên K$\iff \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>\text{}0;$ $\hspace{0.17em}\forall x_1;x_2\in K;(x_1\ne x_2)$

f(x) nghịch biến trên K$\iff \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}<\text{\hspace{0.17em}}0;$$\hspace{0.17em}\forall x_1;x_2\in K;(x_1\ne x_2)$

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

- Định lí:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

- Chú ý:

Nếu f’(x) = 0 với $\forall x\in \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}K$ thì f(x) không đổi trên K.

- Chú ý:

Ta có định lí mở rộng sau đây:

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0\right);\forall x\in K$

Và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.

Xem thêm

Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (mới 2 + Bài Tập) – Toán 12 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (có đáp án 2) - Toán 12