Cho hai đường thẳng $d_1: \left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1+t\\ z=3\end{array}\right. và d_2: \left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2\\ z=-2+t\end{array}\right.$. Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right): 3x + 5y – z – 2 = 0$ và đường thẳng $d:\hspace{0.17em}\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (α) là mặt phẳng qua $G(1;2;3)$ và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A,B, C (khác gốc O) sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó mặt phẳng (α) có phương trình:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có $A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).$ Tam giác ABC có diện tích bằng

 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d_1:\hspace{0.17em}\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1-2t\\ z=1+t\end{array}, d_2\right.:\hspace{0.17em}\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=1-2t\\ z=1+t\end{array}\right.$

Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm$M(1;1;1); N(2;3;4); P(7;7;5).$ Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có $A(-1;2;4), B(3;0;-2), C( 1;3;7).$Gọi D là chân đường phân giác trong của góc. Tìm tọa độ điểm D?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\hspace{0.17em}\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+}{1}$ và $d_2:\hspace{0.17em}\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=1+t\\ z=3\end{array}\right.$. Phương trình đường thẳng vuông góc với $\left(P\right):\hspace{0.17em}7x+y-4z=0$ và cắt hai đường thẳng d1; d2 là:

Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu $\left(S\right):\hspace{0.17em}{x}^2+y^2+z^2+2x-4y-6z+5=0$, biết tiếp diện song song với mặt phẳng $\left(P\right): x + 2y - 2z - 1 = 0.$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left(P\right):\hspace{0.17em}x+my+\left(m-1\right)z+2=0, \left(Q\right):\hspace{0.17em}2x-y+3z-4=0$. Giá trị số thực m để hai mặt phẳng (P); (Q) vuông góc

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng $d_1: \frac{x-2}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}{1}$ và $d_2:\hspace{0.17em}\frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{1}$. Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1;2;3) vuông góc với d1 và cắt d2 là:

Cho $\overrightarrow{u}=\left(1;1;1\right) và \overrightarrow{v}=\left(0;1;m\right)$. Để góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ có số đo bằng 45° thì m bằng

 Phương trình mặt cầu có tâm I(-1;2;-3), bán kính R = 3 là:

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $A(1;0;-2)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}\left(1;-1;2\right)$.

Hai đường thẳng $d:\hspace{0.17em}\left\{\begin{array}{l}x=-1+12t\\ y=2+6t\\ z=3+3t\end{array}\right. và d\text{'}:\hspace{0.17em}\left\{\begin{array}{l}x=7+8t\\ y=6+4t\\ z=5+2t\end{array}\right.$ có vị trí tương đối là:.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\hspace{0.17em}\left\{\begin{array}{l}x=t-2\\ y=2+3t\\ z=1+t\end{array}\right.$. Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{\alpha }_d}$ có tọa độ là: