Câu hỏi:
17/06/2026 180
Cho dãy số (un) biết u1 = 1, u2 = 2, un + 1 = 2un – un – 1 + 2 với n ≥ 2.
Tìm công thức của vn, un tính theo n.
Cho dãy số (un) biết u1 = 1, u2 = 2, un + 1 = 2un – un – 1 + 2 với n ≥ 2.
Tìm công thức của vn, un tính theo n.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Từ kết quả câu b, ta có: vn = v1 + (n – 1)d = 1 + (n – 1) . 2 = – 1 + 2n.
Lại có: v1 = u2 – u1
v2 = u3 – u2
...
vn – 2 = un – 1 – un – 2
vn – 1 = un – un – 1
Cộng theo từng vế của n − 1 đẳng thức trên, ta có:
v1 + v2 + ... + vn – 2 + vn – 1 = – u1 + un
\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {{v_1} + {v_{n - 1}}} \right)\left( {n - 1} \right)}}{2} = - 1 + {u_n}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left[ {1 + \left( { - 1 + 2\left( {n - 1} \right)} \right)} \right]\left( {n - 1} \right)}}{2} = - 1 + {u_n}\)
⇔ (n – 1)2 = un – 1
⇔ un = 1 + (n – 1)2.
Vậy un = 1 + (n – 1)2 và vn = – 1 + 2n với mọi n ∈ ℕ*.
Từ kết quả câu b, ta có: vn = v1 + (n – 1)d = 1 + (n – 1) . 2 = – 1 + 2n.
Lại có: v1 = u2 – u1
v2 = u3 – u2
...
vn – 2 = un – 1 – un – 2
vn – 1 = un – un – 1
Cộng theo từng vế của n − 1 đẳng thức trên, ta có:
v1 + v2 + ... + vn – 2 + vn – 1 = – u1 + un
\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {{v_1} + {v_{n - 1}}} \right)\left( {n - 1} \right)}}{2} = - 1 + {u_n}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left[ {1 + \left( { - 1 + 2\left( {n - 1} \right)} \right)} \right]\left( {n - 1} \right)}}{2} = - 1 + {u_n}\)
⇔ (n – 1)2 = un – 1
⇔ un = 1 + (n – 1)2.
Vậy un = 1 + (n – 1)2 và vn = – 1 + 2n với mọi n ∈ ℕ*.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tổng 1 + 11 + 101 + 1001 + ...... + 100...01 (12 số hạng) bằng:
A. \(\frac{{{{10}^{11}} + 107}}{9}\).
B. \(\frac{{{{10}^{12}} + 98}}{9}\).
C. \(\frac{{{{10}^{12}} + 107}}{9}\).
D. \(\frac{{{{10}^{11}} + 98}}{9}\).
Tổng 1 + 11 + 101 + 1001 + ...... + 100...01 (12 số hạng) bằng:
A. \(\frac{{{{10}^{11}} + 107}}{9}\).
B. \(\frac{{{{10}^{12}} + 98}}{9}\).
C. \(\frac{{{{10}^{12}} + 107}}{9}\).
D. \(\frac{{{{10}^{11}} + 98}}{9}\).
Câu 2:
Cho dãy số (un) có tổng n số hạng đầu là \({S_n} = \frac{{n\left( { - 1 - 5n} \right)}}{2}\) với n ∈ ℕ*.
Tính u1, u2 và u3.
Cho dãy số (un) có tổng n số hạng đầu là \({S_n} = \frac{{n\left( { - 1 - 5n} \right)}}{2}\) với n ∈ ℕ*.
Tính u1, u2 và u3.
Câu 3:
Cho dãy số (un) biết u1 = 1, u2 = 2, un + 1 = 2un – un – 1 + 2 với n ≥ 2.
Đặt vn = un + 1 – un với n ∈ ℕ*. Chứng minh rằng dãy số (vn) là cấp số cộng.
Cho dãy số (un) biết u1 = 1, u2 = 2, un + 1 = 2un – un – 1 + 2 với n ≥ 2.
Đặt vn = un + 1 – un với n ∈ ℕ*. Chứng minh rằng dãy số (vn) là cấp số cộng.Câu 4:
Cho dãy số (un) biết un = 5n – n. Số hạng un + 1 là:
A. 5n + 1 – n – 1.
B. 5n + 1 – n + 1.
C. 5n – n + 1.
D. 5n – n – 1.
Cho dãy số (un) biết un = 5n – n. Số hạng un + 1 là:
A. 5n + 1 – n – 1.
B. 5n + 1 – n + 1.
C. 5n – n + 1.
D. 5n – n – 1.
Câu 5:
Cho dãy số (un) có tổng n số hạng đầu là \({S_n} = \frac{{n\left( { - 1 - 5n} \right)}}{2}\) với n ∈ ℕ*.
Chứng minh rằng dãy số (un) là một cấp số cộng.
Cho dãy số (un) có tổng n số hạng đầu là \({S_n} = \frac{{n\left( { - 1 - 5n} \right)}}{2}\) với n ∈ ℕ*.
Chứng minh rằng dãy số (un) là một cấp số cộng.
Câu 6:
Trong các dãy số (un) với số hạng tổng quát sau, dãy số tăng là:
A. \({u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}\).
B. \({u_n} = \frac{3}{n}\).
C. un = 2n.
D. un = (– 2)n.
Trong các dãy số (un) với số hạng tổng quát sau, dãy số tăng là:
A. \({u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}\).
B. \({u_n} = \frac{3}{n}\).
C. un = 2n.
D. un = (– 2)n.
Câu 7:
Cho dãy số (un) biết u1 = 2, \({u_n} = \frac{1}{3}\left( {{u_{n - \,1}} + 1} \right)\) với n ≥ 2. Số hạng u4 bằng:
A. u4 = 1.
B. \({u_4} = \frac{2}{3}\).
C. \({u_4} = \frac{{14}}{{27}}\).
D. \({u_4} = \frac{5}{9}\).
Cho dãy số (un) biết u1 = 2, \({u_n} = \frac{1}{3}\left( {{u_{n - \,1}} + 1} \right)\) với n ≥ 2. Số hạng u4 bằng:
A. u4 = 1.
B. \({u_4} = \frac{2}{3}\).
C. \({u_4} = \frac{{14}}{{27}}\).
D. \({u_4} = \frac{5}{9}\).
Câu 8:
Cho cấp số nhân (un) có tất cả các số hạng đều không âm và u2 = 6, u4 = 24. Tổng 10 số hạng đầu của (un) là:
A. 3(1 – 210).
B. 3(29 – 1).
C. 3(210 – 1).
D. 3(1 – 29).
Cho cấp số nhân (un) có tất cả các số hạng đều không âm và u2 = 6, u4 = 24. Tổng 10 số hạng đầu của (un) là:
A. 3(1 – 210).
B. 3(29 – 1).
C. 3(210 – 1).
D. 3(1 – 29).
Câu 9:
Một công ty mua một chiếc máy với giá 1 tỉ 200 triệu đồng. Công ty nhận thấy, trong vòng 5 năm đầu, tốc độ khấu hao là 25%/năm (tức là sau mỗi một năm, giá trị còn lại của chiếc máy bằng 75% giá trị của năm trước đó).
Viết công thức tính giá trị của chiếc máy đó sau 1 năm, 2 năm.
Một công ty mua một chiếc máy với giá 1 tỉ 200 triệu đồng. Công ty nhận thấy, trong vòng 5 năm đầu, tốc độ khấu hao là 25%/năm (tức là sau mỗi một năm, giá trị còn lại của chiếc máy bằng 75% giá trị của năm trước đó).
Viết công thức tính giá trị của chiếc máy đó sau 1 năm, 2 năm.
Câu 10:
Cho dãy số (un) biết \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\).
Chứng minh rằng un + 6 = un với mọi n ≥ 1.
Cho dãy số (un) biết \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\).
Chứng minh rằng un + 6 = un với mọi n ≥ 1.
Câu 11:
Cho dãy số (un) biết \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\).
Tính tổng 27 số hạng đầu của dãy số.
Cho dãy số (un) biết \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\).
Tính tổng 27 số hạng đầu của dãy số.
Câu 12:
Trong các dãy số (un) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số nhân?
A. \({u_n} = \frac{1}{{{5^n}}}\).
B. \({u_n} = 1 + \frac{1}{{5n}}\).
C. \({u_n} = \frac{1}{{{5^n}}} + 1\).
D. \({u_n} = \frac{1}{{{n^2}}}\).
Trong các dãy số (un) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số nhân?
A. \({u_n} = \frac{1}{{{5^n}}}\).
B. \({u_n} = 1 + \frac{1}{{5n}}\).
C. \({u_n} = \frac{1}{{{5^n}}} + 1\).
D. \({u_n} = \frac{1}{{{n^2}}}\).
Câu 13:
Một công ty mua một chiếc máy với giá 1 tỉ 200 triệu đồng. Công ty nhận thấy, trong vòng 5 năm đầu, tốc độ khấu hao là 25%/năm (tức là sau mỗi một năm, giá trị còn lại của chiếc máy bằng 75% giá trị của năm trước đó).
Sau 5 năm, giá trị của chiếc máy đó còn khoảng bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Sau 5 năm, giá trị của chiếc máy đó còn khoảng bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Câu 14:
Một hình vuông có diện tích bằng 1 đơn vị diện tích. Chia hình vuông đó thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Với mỗi hình vuông nhỏ chưa được tô màu, lại chia thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Cứ như thế, quá trình trên được lặp lại.
Dự đoán công thức tính tổng diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ n.
Một hình vuông có diện tích bằng 1 đơn vị diện tích. Chia hình vuông đó thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Với mỗi hình vuông nhỏ chưa được tô màu, lại chia thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Cứ như thế, quá trình trên được lặp lại.
Dự đoán công thức tính tổng diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ n.
Câu 15:
Cho dãy số (un) có tổng n số hạng đầu là \({S_n} = \frac{{n\left( { - 1 - 5n} \right)}}{2}\) với n ∈ ℕ*.
Tìm công thức của số hạng tổng quát un.
Cho dãy số (un) có tổng n số hạng đầu là \({S_n} = \frac{{n\left( { - 1 - 5n} \right)}}{2}\) với n ∈ ℕ*.
Tìm công thức của số hạng tổng quát un.
