Câu hỏi:
17/06/2026 133
Cho dãy số (un) biết u1 = 1, \({u_n} = \frac{1}{3}{u_{n - \,1}} + 1\) với n ∈ ℕ*, n ≥ 2. Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}\) với n ∈ ℕ*.
Tìm công thức số hạng tổng quát của (vn), (un).
Cho dãy số (un) biết u1 = 1, \({u_n} = \frac{1}{3}{u_{n - \,1}} + 1\) với n ∈ ℕ*, n ≥ 2. Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}\) với n ∈ ℕ*.
Tìm công thức số hạng tổng quát của (vn), (un).
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \({v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = - \frac{1}{2}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}}\).
Từ \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}\), suy ra \({u_n} = {v_n} + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{{{{2.3}^{n - 1}}}} = \frac{{{{3.3}^{n - 1}} - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}} = \frac{{{3^n} - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}}\).
Ta có: \({v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = - \frac{1}{2}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}}\).
Từ \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}\), suy ra \({u_n} = {v_n} + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{{{{2.3}^{n - 1}}}} = \frac{{{{3.3}^{n - 1}} - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}} = \frac{{{3^n} - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}}\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un), biết:
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_6} = 244\\{u_2}.{u_5} = 243;\end{array} \right.\)
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un), biết:
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_6} = 244\\{u_2}.{u_5} = 243;\end{array} \right.\)
Câu 2:
Anh Dũng kí hợp đồng lao động trong 10 năm với phương án trả lương như sau: Năm thứ nhất, tiền lương của anh Dũng là 120 triệu đồng. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương của anh Dũng được tăng lên 10%. Tính tổng số tiền lương anh Dũng lĩnh được trong 10 năm đầu đi làm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị triệu đồng).
Anh Dũng kí hợp đồng lao động trong 10 năm với phương án trả lương như sau: Năm thứ nhất, tiền lương của anh Dũng là 120 triệu đồng. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương của anh Dũng được tăng lên 10%. Tính tổng số tiền lương anh Dũng lĩnh được trong 10 năm đầu đi làm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị triệu đồng).
Câu 3:
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un), biết:
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 13\\{u_4} + {u_5} + {u_6} = 351.\end{array} \right.\)
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un), biết:
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 13\\{u_4} + {u_5} + {u_6} = 351.\end{array} \right.\)
Câu 4:
Cho dãy số (un) biết u1 = 1, \({u_n} = \frac{1}{3}{u_{n - \,1}} + 1\) với n ∈ ℕ*, n ≥ 2. Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}\) với n ∈ ℕ*.
Tính tổng S = u1 + u2 + u3 + ... + u10.
Cho dãy số (un) biết u1 = 1, \({u_n} = \frac{1}{3}{u_{n - \,1}} + 1\) với n ∈ ℕ*, n ≥ 2. Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}\) với n ∈ ℕ*.
Tính tổng S = u1 + u2 + u3 + ... + u10.
Câu 5:
Cho cấp số nhân (un) biết u1 = – 1, q = 3.
Tính tổng \(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} + \frac{1}{{{u_5}}}\).
Cho cấp số nhân (un) biết u1 = – 1, q = 3.
Tính tổng \(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} + \frac{1}{{{u_5}}}\).
Câu 6:
Cho (un) là cấp số nhân có u1 + u5 = 51 và u2 + u6 = 102.
Tính u10.
Cho (un) là cấp số nhân có u1 + u5 = 51 và u2 + u6 = 102.
Tính u10.
Câu 7:
Cho (un) là cấp số nhân có \({u_1} = \frac{1}{3}\); u8 = 729.
Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân đó là:
A. \(\frac{{1 - {3^8}}}{2}\).
B. \(\frac{{{3^8} - 1}}{6}\).
C. \(\frac{{{3^8} - 1}}{2}\).
D. \(\frac{{1 - {3^8}}}{6}\).
Cho (un) là cấp số nhân có \({u_1} = \frac{1}{3}\); u8 = 729.
Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân đó là:
A. \(\frac{{1 - {3^8}}}{2}\).
B. \(\frac{{{3^8} - 1}}{6}\).
C. \(\frac{{{3^8} - 1}}{2}\).
D. \(\frac{{1 - {3^8}}}{6}\).
Câu 8:
Ba số phân biệt tạo thành một cấp số nhân có tổng bằng 78; đồng thời chúng là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ chín của một cấp số cộng. Tìm ba số đó.
Ba số phân biệt tạo thành một cấp số nhân có tổng bằng 78; đồng thời chúng là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ chín của một cấp số cộng. Tìm ba số đó.
Câu 9:
Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 1. Gọi C2 là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông C1; C3 là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông C2; ... Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta được dãy các hình vuông C1; C2; C3; ...; Cn; ... Diện tích của hình vuông C2023 là:
A. \(\frac{1}{{{2^{2022}}}}\).
B. \(\frac{1}{{{2^{2023}}}}\).
C. \(\frac{1}{{{2^{1011}}}}\).
D. \(\frac{1}{{{2^{1012}}}}\).
Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 1. Gọi C2 là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông C1; C3 là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông C2; ... Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta được dãy các hình vuông C1; C2; C3; ...; Cn; ... Diện tích của hình vuông C2023 là:
A. \(\frac{1}{{{2^{2022}}}}\).
B. \(\frac{1}{{{2^{2023}}}}\).
C. \(\frac{1}{{{2^{1011}}}}\).
D. \(\frac{1}{{{2^{1012}}}}\).
Câu 10:
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un), biết:
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 16\\{u_2} + {u_4} = 40;\end{array} \right.\)
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un), biết:
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 16\\{u_2} + {u_4} = 40;\end{array} \right.\)
Câu 11:
Cho cấp số nhân (un), biết u2 . u6 = 64. Giá trị của u3 . u5 là
A. – 8.
B. – 64.
C. 64.
D. 8.
Cho cấp số nhân (un), biết u2 . u6 = 64. Giá trị của u3 . u5 là
A. – 8.
B. – 64.
C. 64.
D. 8.
Câu 12:
Cho ba số \(\frac{2}{{b - a}},\,\,\frac{1}{b},\,\frac{2}{{b - c}}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Cho ba số \(\frac{2}{{b - a}},\,\,\frac{1}{b},\,\frac{2}{{b - c}}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Câu 13:
Tìm x để ba số 2x – 3; x; 2x + 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
Tìm x để ba số 2x – 3; x; 2x + 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
Câu 14:
Cho dãy số (un) biết u1 = 1, \({u_n} = \frac{1}{3}{u_{n - \,1}} + 1\) với n ∈ ℕ*, n ≥ 2. Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}\) với n ∈ ℕ*.
Chứng minh rằng dãy số (vn) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.
Cho dãy số (un) biết u1 = 1, \({u_n} = \frac{1}{3}{u_{n - \,1}} + 1\) với n ∈ ℕ*, n ≥ 2. Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}\) với n ∈ ℕ*.
Chứng minh rằng dãy số (vn) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.
