Cho đa thức f(x) thỏa mãn : (x- 2).f(x-1) = ($x^2-9$).f(x+1). Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất 3 nghiệm.

Lời giải

${\displaystyle (x-2).f(x-1)=(x^2-9).f(x+1)\left(1\right)}$

Thay ${\displaystyle x=2}$ vào ${\displaystyle \left(1\right)}$ có:

${\displaystyle (2-2).f(2-1)=(2^2-9).f(2+1)}$

${\displaystyle \Rightarrow 0.f\left(1\right)=(4-9).f\left(3\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow 0=-5f\left(3\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow f\left(3\right)=0}$

${\displaystyle \Rightarrow x=3}$ là ${\displaystyle 1}$ nghiệm của ${\displaystyle f\left(x\right)\left(2\right)}$

Thay ${\displaystyle x=3}$ vào ${\displaystyle \left(1\right)}$ có:

${\displaystyle (3-2).f(3-1)=(3^2-9).f(3+1)}$

${\displaystyle \Rightarrow 1.f\left(2\right)=(9-9).f\left(4\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow f\left(2\right)=0.f\left(4\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow f\left(2\right)=0}$

${\displaystyle \Rightarrow x=2}$ là ${\displaystyle 1}$ nghiệm của ${\displaystyle f\left(x\right)\left(3\right)}$

Thay ${\displaystyle x=-3}$ vào ${\displaystyle \left(1\right)}$ có:

${\displaystyle (-3-2).f(-3-1)=[{(-3)}^2-9].f(-3+1)}$

${\displaystyle \Rightarrow -5f(-4)=(9-9).f(-2)}$

${\displaystyle \Rightarrow -5f(-4)=0.f(-2)}$

${\displaystyle \Rightarrow -5f(-4)=0}$

${\displaystyle \Rightarrow f(-4)=0}$

${\displaystyle \Rightarrow x=-4}$ là ${\displaystyle 1}$ nghiệm của ${\displaystyle f\left(x\right)\left(4\right)}$

Từ ${\displaystyle \left(2\right),\left(3\right),\left(4\right)}$

Vậy đa thức ${\displaystyle f\left(x\right)}$ có ít nhất ${\displaystyle 3}$ nghiệm

*Phương pháp giải:

Thay lần lượt ba nghiệm của phương trình vào tìm được nghiệm

*Lý thuyết:

1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát: $\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}\right.$ ($a_1,b_1$ không đồng thời bằng 0, $a_2,b_2$ không đồng thời bằng 0).

- Nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là cặp số (x; y) sao cho x và y đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ.

2. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

- Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát: $\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2\\ a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_3\end{array}\right.$( trong đó $a_1,b_1,c_1$ không đồng thời bằng 0,$a_2,b_2,c_2$ không đồng thời bằng 0 và $a_3,b_3,c_3$ không đồng thời bằng 0).

- Nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là bộ ba số (x; y; z) sao cho x, y và z đồng thời là nghiệm của cả ba phương trình của hệ.

3. Phương pháp giải

- Muốn giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn ta thường dùng:

+ Phương pháp thế: Rút một ẩn theo ẩn còn lại trong một phương trình của hệ và thế vào phương trình còn lại, thu được hệ mới mà trong đó có một phương trình một ẩn. Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ.

+ Phương pháp cộng đại số: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong các phương trình bằng nhau hoặc đối nhau. Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0. Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

- Tổng quát: Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để quy về giải hệ phương trình có ít ẩn số hơn.

Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số hay phương pháp thế giống như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải (có đáp án ) - Toán 8 

Công thức giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn chi tiết nhất