Cho α là góc nhọn, sinα = 1/2.Tính cosα;tanα;cotα

Lời giải

Cho α là góc nhọn, sinα = 1/2. Tính cosα; tanα; cotα

Ta có: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

*Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác cơ bản

$$\begin{gathered} 1. \tan \left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)} \\ 2.cot\left(x\right)=\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)} \\ 3. {\sin }^2\left(x\right)+{\cos }^2\left(x\right)=1 \\ 4. \tan \left(x\right).cot\left(x\right)=1 (x\ne k\frac{\mathrm{\pi }}{2}, k\in Z) \\ 5. 1+{\tan }^2\left(x\right)= \frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)} (x\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }, \mathrm{k}\in \mathrm{Z}) \\ 6. 1+{\cot }^2\left(\mathrm{x}\right)= \frac{1}{{\sin }^2\left(\mathrm{x}\right)} (\mathrm{x}\ne \mathrm{k\pi }, \mathrm{k}\in \mathrm{Z}) \end{gathered}$$

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$$\begin{gathered} 1. \tan \left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)} \\ 2.cot\left(x\right)=\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)} \\ 3. {\sin }^2\left(x\right)+{\cos }^2\left(x\right)=1 \\ 4. \tan \left(x\right).cot\left(x\right)=1 (x\ne k\frac{\mathrm{\pi }}{2}, k\in Z) \\ 5. 1+{\tan }^2\left(x\right)= \frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)} (x\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }, \mathrm{k}\in \mathrm{Z}) \\ 6. 1+{\cot }^2\left(\mathrm{x}\right)= \frac{1}{{\sin }^2\left(\mathrm{x}\right)} (\mathrm{x}\ne \mathrm{k\pi }, \mathrm{k}\in \mathrm{Z}) \end{gathered}$$

2. Công thức cộng lượng giác

$$\begin{gathered} \cos \left(x+y\right)=\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)-\sin \left(x\right)\sin \left(y\right) \\ \cos \left(x-y\right)=\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)+\sin \left(x\right)\sin \left(y\right) \\ \sin \left(x+y\right)=\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)+\sin \left(y\right)\cos \left(x\right) \\ \sin \left(x-y\right)=\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)-\sin \left(y\right)\cos \left(x\right) \\ \tan \left(x+y\right)=\frac{\tan \left(x\right)+\tan \left(y\right)}{1-\tan \left(x\right)\tan \left(y\right)} \\ \tan \left(x-y\right)=\frac{\tan \left(x\right)-\tan \left(y\right)}{1+\tan \left(x\right)\tan \left(y\right)} \end{gathered}$$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$$\begin{gathered} {\cos }^2\left(x\right)-{\sin }^2\left(x\right)= 2{\cos }^2\left(x\right)-1=1-2{\sin }^2\left(x\right) \\ \sin \left(2x\right)=2\sin \left(x\right)\cos \left(x\right) \\ \tan \left(2x\right)=\frac{\tan \left(x\right)}{1-{\tan }^2\left(x\right)} \end{gathered}$$

Công thức nhân ba

$$\begin{gathered} \sin \left(3x\right)=3\sin \left(x\right)-4{\sin }^3\left(x\right) \\ \cos \left(3x\right)=4{\cos }^3\left(x\right)-3\cos \left(x\right) \end{gathered}$$

Công thức nhân bốn

$8{\cos }^4\left(a\right)-8{\cos }^2\left(a\right)+1=8{\sin }^4\left(a\right)-8{\sin }^2\left(a\right)+1$

5. Công thức hạ bậc

Thực ra những công thức này đều được biến đổi ra từ công thức lượng giác cơ bản

Ví dụ như: sin²a=1 - cos²a = 1 - $\frac{\cos \left(2a\right)+1}{2}$ = $\frac{1-\cos \left(2a\right)}{2}$.

$$\begin{gathered} \frac{1-\cos \left(2x\right)}{2} \\ {\tan }^2\left(x\right)=\frac{1-\cos \left(2x\right)}{1+\cos \left(2x\right)} \end{gathered}$$

6. Công thức biến đổi tổng thành tích

$$\begin{gathered} 1. \cos \left(a\right)+\cos \left(b\right)=2\cos \left(\frac{a+b}{2}\right).\cos \left(\frac{a-b}{2}\right) \\ 2. \cos \left(a\right)-\cos \left(b\right)=-2\sin \left(\frac{a+b}{2}\right).\sin \left(\frac{a-b}{2}\right) \\ 3. \sin \left(a\right)+\sin \left(b\right)=2\sin \left(\frac{a+b}{2}\right).\cos \left(\frac{a-b}{2}\right) \\ 4. \sin \left(a\right)-\sin \left(b\right)=2\cos \left(\frac{a+b}{2}\right).\sin \left(\frac{a-b}{2}\right) \\ 5. \tan \left(a\right)+\tan \left(b\right)=\frac{\sin \left(a+b\right)}{\cos \left(a\right).\cos \left(b\right)} \\ 6. \tan \left(a\right)-\tan \left(b\right)=\frac{\sin \left(a-b\right)}{\cos \left(a\right).\cos \left(b\right)} \\ 7. \sin \left(a\right)+\cos \left(a\right)=\sqrt{2}\sin \left(a+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\sqrt{2}\cos \left(a-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right) \\ 8. \sin \left(a\right)-\cos \left(a\right)=\sqrt{2}\sin \left(a-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=-\sqrt{2}\cos \left(a+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right) \\ 9. \tan \left(a\right)+cot\left(a\right)=\frac{2}{\sin \left(2a\right)} \\ 10. cot\left(a\right)-\tan \left(a\right)=2cot\left(2a\right) \\ 11. {\sin }^4\left(a\right)+{\cos }^4\left(a\right)=1-\frac{1}{2}{\sin }^2\left(2a\right)=\frac{1}{4}\cos \left(4a\right)+\frac{3}{4} \\ 12. {\sin }^6\left(a\right)+{\cos }^6\left(a\right)=1-\frac{3}{4}{\sin }^2\left(2a\right)=\frac{3}{8}\cos \left(4a\right)+\frac{5}{8} \end{gathered}$$

Xem thêm

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2024) đầy đủ, chi tiết nhất 

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức 2024) có đáp án - Toán 11