Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng

Giải Toán 9 Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (tiếp theo)

Video Giải Bài 31 trang 23 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 31 trang 23 SGK Toán 9 Tập 2: Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm², và nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm 4cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm².

Lời giải

Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông (x > 2, y > 4).

Diện tích tam giác ban đầu là $\frac{1}{2}xy$ (cm²)

+ Tăng mỗi cạnh lên 3cm thì tam giác vuông mới có độ dài 2 cạnh là x + 3(cm) và y + 3 (cm)

Diện tích tam giác mới là: $\frac{1}{2}\left(x+3\right)\left(y+3\right)$ (cm²)

Vì diện tích tăng thêm 36cm² nên ta có phương trình:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}xy+36=\frac{1}{2}\left(x+3\right)\left(y+3\right) \\ \iff xy+72=\left(x+3\right)\left(y+3\right) \\ \iff xy+72=xy+3x+3y+9 \\ \iff 3x+3y=72-9 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff 3x+3y=63 \\ \iff x+y=21 \left(1\right) \end{gathered}$$

+ Giảm một cạnh 2cm và giảm cạnh kia 4cm thì tam giác vuông mới có 2 cạnh là : x – 2 (cm) và y – 4 (cm).

Diện tích tam giác mới là: $\frac{1}{2}\left(x-2\right)\left(y-4\right)$ (cm²).

Diện tích giảm đi 26cm² nên ta có phương trình

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}\left(x-2\right)\left(y-4\right)+26 \\ \iff xy=\left(x-2\right)\left(y-4\right)+52 \\ \iff xy=xy-2y-4x+8+52 \\ \iff 4x+2y=60 \\ \iff 2x+y=30 \left(2\right) \end{gathered}$$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=21\\ 2x+y=30\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left(2x+y\right)-\left(x+y\right)=30-21\\ x+y=21\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x+y-x-y=9\\ x+y=21\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=9\\ 9+y=21\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=9\\ y=21-9\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=9\\ y=12\end{array}\right.\left(tmđk\right) \end{gathered}$$

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là 9cm và 12cm.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Câu hỏi 1 trang 23 Toán 9 Tập 2: Giải hệ phương trình (II) bằng cách đặt ẩn phụ...

Câu hỏi 2 trang 23 Toán 9 Tập 2: Hãy giải bài toán trên bằng cách khác...

Bài 32 trang 23 Toán 9 Tập 2: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước)...

Bài 33 trang 24 Toán 9 Tập 2: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ...