50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tuyển chọn đề thi thử thpt quốc gia môn Toán hay nhất có lời giải chi tiết

Câu 1:

17/06/2026

Cho tập hợp A có n phần tử $(n > 4)$ . Biết rằng số tập con của A có 8 phần tử nhiều gấp $26$ lần số tập con của A có 4 phần tử. Hãy tìm $k \in \{1, 2, 3, ..., n\}$ sao cho số tập con gồm k phần tử của A là nhiều nhất.

A. $k = 20$

B. $k = 11$

C. $k = 14$

D. $k = 10$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

$\begin{array}{l} C_{n}^{8} = 26 C_{n}^{4} \Leftrightarrow \frac{n!}{8! (n - 8)!} = 26 \frac{n!}{4! (n - 4)} \Leftrightarrow (n - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4) = 13 .14.15.16 \\ \Leftrightarrow n - 7 = 13 \Leftrightarrow n = 20 \end{array}$

Số tập con gồm k phần tử của A là: $C_{20}^{k} \Rightarrow k = 10$ thì $C_{20}^{k}$ nhỏ nhất.

Câu 2:

17/06/2026

Cho hình hộp $A B C D . A ’ B ’ C ’ D ’$ . Trên các cạnh $A A'; B B'; C C'$ lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho $\frac{A' M}{A A'} = \frac{1}{3}; \frac{B' N}{B B'} = \frac{2}{3}; \frac{C' P}{C C'} = \frac{1}{2} .$ Biết mặt phẳng $(M N P)$ cắt cạnh DD' tại Q. Tính tỉ số $\frac{D' Q}{D D'} .$

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{5}{6}$

D. $\frac{2}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta chứng minh được công thức tỷ số thể tích tối với khối hộp như sau (học sinh có thể tự chứng minh).

$\frac{V_{A' B' C' D' . M N P Q}}{V_{A " B' C' D' . A B C D}} = \frac{1}{2} (\frac{A' M}{A' A} + \frac{C' P}{C' C}) = \frac{1}{2} (\frac{B' N}{B' B} + \frac{D Q}{D' D})$

Khi đó: $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{3} + \frac{D Q}{D' D} \Leftrightarrow \frac{D Q}{D' D} = \frac{1}{6} .$

Câu 3:

17/06/2026

Một cấp số cộng có số hạng đầu $u_{1} = 2018$ công sai $d = - 5$ . Hỏi bắt đầu từ số hạng nào của cấp số cộng đó thì nó nhận giá trị âm.

A. $u_{406}$

B. $u_{403}$

C. $u_{405}$

D. $u_{404}$

Xem đáp án

Đáp án C

Số hạng tổng quát là: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d = 2018 + (n - 1) (- 5) = - 5 n + 2023 < 0 \Leftrightarrow n > 404, 6 \Rightarrow$ bắt đầu từ số hạng thứ $405$ thì nhận giá trị âm.

Câu 4:

17/06/2026

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{2018 - x^{2}}}{x (x - 2018)}$ là

A. $2$

B. $0$

C. $1$

D. $3$

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Lời giải

TXĐ: $[- \sqrt{2018}; \sqrt{2018}] \ \{0\} .$

Ta có: $\lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2018 - x^{2}}}{x (x - 2018)} = \infty \Rightarrow x = 0$ là TCĐ.

Không tồn tại $\lim_{x \to \infty} y$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

*Phương pháp giải:

- Dựa vào định nghĩa, ta tính:

+) $\lim_{x \to \pm \infty} f (x)$ . Nếu giới hạn này là một số hữu hạn $y_{0}$

thì ta kết luận đường TCN là $y = y_{0}$ .

+) $\lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x)$ và $\lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x)$ . Trong đó $x_{0}$ là điểm mà hàm số không xác định.

Nếu ít nhất một trong hai giới hạn này tiến tới vô cùng thì ta kết luận TCĐ là $x = x_{0}$

- Hàm phân thức $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có TCN là $y = \frac{a}{c}$ và TCĐ là $- \frac{d}{c}$

*Lý thuyết:

a. Tiệm cận ngang

- Định nghĩa: Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $(a; + \infty)$ , $(- \infty; b)$ hoặc $(- \infty; + \infty)$ ). Đường thẳng $y = y_{0}$ là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y = f (x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn.

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = y_{0}, \lim_{x \to - \infty} f (x) = y_{0}$

Nghĩa là các giới hạn trên phải tồn tại hữu hạn

b. Tiệm cận đứng

- Định nghĩa: Đường thẳng $x = x_{0}$ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y = f (x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = + \infty, \lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = - \infty \lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = - \infty, \lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = + \infty$

Nghĩa là các giới hạn trái, phải tiến ra vô cùng.

Xem thêm

Công thức tính tiệm cận (TCĐ, TCN) của hàm số chi tiết nhất và cách giải các dạng bài tập

TOP 40 câu Trắc nghiệm Đường tiệm cận (có đáp án 2024) - Toán 12

Câu 5:

17/06/2026

Cho hàm số $y = \ln (x^{2} - 3 x) .$ Tập nghiệm S của phương trình $f' (x) = 0$ là:

A. $S = \emptyset$

B. $S = \{\frac{3}{2}\}$

C. $S = \{0; 3\}$

D. $S = (- \infty; 0) \cup (3; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện: $x^{2} - 3 x > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 3 \\ x < 0 \end{array} .$

Ta có: $f' (x) = \frac{2 x - 3}{x^{2} - 3 x} \Rightarrow f' (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{2 x - 3}{x^{2} - 3 x} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} (L) \Rightarrow S = \emptyset .$

Câu 6:

17/06/2026

Cường độ của ánh sáng I khi đi qua môi trường khác với không khí , chẳng hạn như sương mù hay nước, ... sẽ giảm dần tùy theo độ dày của môi trường và một hằng số $μ$ gọi là khả năng hấp thu ánh sáng tùy theo bản chất môi trường mà ánh sáng truyền đi và được tính theo công thức $I = I_{0} . e^{- μ x}$ với x là độ dày của môi trường đó và tính bằng mét, $I_{0}$ là cường độ ánh sáng tại thời điểm trên mặt nước. Biết rằng nước hồ trong suốt có $μ = 1, 4 .$ Hỏi cường độ ánh sáng giảm đi bao nhiêu lần khi truyền trong hồ đó từ độ sâu $3 m$ xuống đến độ sâu $30 m$

( chọn giá trị gần đúng với đáp số nhất)

A. $e^{30}$ lần

B. $2, {6081.10}^{16}$ lần

C. $e^{27}$ lần

D. $2, {6081.10}^{- 16}$ lần

Xem đáp án

Đáp án B

Cường độ sang giảm đi số lần là: $\frac{I_{0} e^{- 3 μ}}{I_{0} e^{- 30 μ}} = e^{27 μ} ~ 2, {6081.10}^{16}$ lần.

Câu 7:

17/06/2026

Biết rằng các số thực a, b thay đổi sao cho hàm số $f (x) = - x^{3} + {(x + a)}^{3} + {(x + b)}^{3}$ luôn đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a^{2} + b^{2} - 4 a - 4 b + 2.$

A. $- 4$

B. $- 2$

C. $0$

D. $2$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $f' (x) = - 3 x^{2} + 3 {(x + a)}^{2} + 3 {(x + b)}^{2} = 3 x^{2} + 6 (a + b) x + 3 a^{2} + 3 b^{2}$

Để hàm số đồng biến trên $(- \infty; + \infty)$ thì $f' (x) \geq 0 \forall x \in (- \infty; + \infty)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3 x^{2} + 6 (a + b) x + 3 a^{2} + 3 b^{2} \geq 0 \forall x \in ℝ \Leftrightarrow x^{2} + 2 (a + b) x + a^{2} + b^{2} \geq 0 \forall x \in ℝ \\ \Leftrightarrow Δ' = {(a + b)}^{2} - (a^{2} + b^{2}) \leq 0 \Leftrightarrow 2 a b \leq 0 \Leftrightarrow a b \leq 0 \end{array}$

TH1: $b = 0 \Rightarrow P = a^{2} - 4 a + 2 = {(a - 2)}^{2} - 2 \geq - 2 (1)$

TH2: $a > 0, b < 0 \Rightarrow P = {(a - 2)}^{2} + b^{2} + (- 4 b) - 2 > - 2 (2)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow P_{\min} = - 2 k h i a = 0$ hoặc $b = 0.$

Câu 8:

17/06/2026

Cho tam giác ABC cân tại A. Biết rằng độ dài cạnh BC, trung tuyến AM và độ dài cạnh AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có công bội q. Tìm công bội q của cấp số nhân đó.

A. $q = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

B. $q = \frac{\sqrt{2 + 2 \sqrt{2}}}{2}$

C. $q = \frac{- 1 + \sqrt{2}}{2}$

D. $q = \frac{\sqrt{- 2 + 2 \sqrt{2}}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $B C = 2 x \Rightarrow A M = 2 q x, A B = 2 q^{2} x .$

Ta có: $A B^{2} = A M^{2} + B M^{2} \Leftrightarrow {(2 q^{2} x)}^{2} = {(2 q x)}^{2} + x^{2} \Leftrightarrow 4 q^{4} - 4 q^{2} - 1 = 0 \Rightarrow q^{2} = \frac{2 + 2 \sqrt{2}}{4}$

$\Rightarrow q = \frac{\sqrt{2 + 2 \sqrt{2}}}{2} .$

Câu 9:

17/06/2026

Một cấp số cộng có tổng của n số hạng đầu $S_{n}$ tính theo công thức $S_{n} = 5 n^{2} + 3 n, (n \in ℕ^{*}) .$ Tìm số hạng đầu $u_{1}$ và công sai d của cấp số cộng đó.

A. $u_{1} = - 8; d = 10$

B. $u_{1} = - 8; d = - 10$

C. $u_{1} = 8; d = 10$

D. $u_{1} = 8; d = - 10$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $S_{n} = [2 u_{1} + (n - 1) d] \frac{n}{2} = \frac{d n^{2}}{2} + (u_{1} - \frac{d}{2}) n = 5 n^{2} + 3 n \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{d}{2} = 5 \\ u_{1} - \frac{d}{2} = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} d = 10 \\ u_{1} = 8 \end{cases} .$

Câu 10:

17/06/2026

Trên mặt phẳng $O x y$ ta xét một hình chữ nhật $A B C D$ với các điểm $A (- 2; 0), B (- 2; 2), C (4; 2), D (4; 0) .$ Một con châu chấu nhảy trong hình chữ nhật đó tính cả trên cạnh hình chữ nhật sao cho chân nó luôn đáp xuống mặt phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên( tức là điểm có cả hoành độ và tung độ đều nguyên). Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm $M (x; y)$ mà $x + y < 2.$

A. $\frac{3}{7}$

B. $\frac{8}{21}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{4}{7}$

Xem đáp án

Đáp án A

Để con châu chấu đáp xuống các điểm $M (x, y)$ có $x + y < 2$ thì con châu chấu sẽ nhảy trong khu vực hình thang BEIA

Để $M (x, y)$ có tọa độ nguyên thì $x \in \{- 2; - 1; 0; 1; 2\}, y \in \{0; 1; 2\}$

Nếu $x \in \{- 2; - 1\}$ thì $y \in \{0; 1; 2\} \Rightarrow$ có $2.3 = 6$ điểm

Nếu $x = 0$ thì $y \in \{0; 1\} \Rightarrow$ có 2 điểm

Nếu $x = 1 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow$ có 1 điểm

có tất cả $6 + 2 + 1 = 9$ điểm. Để con châu chấu nhảy trong hình chữ nhật mà đáp xuống các điểm có tọa độ nguyên thì $x \in \{- 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4\}, y \in \{0; 1; 2\} \Rightarrow$

Số các điểm $M (x, y)$ có tọa độ nguyên là: $7.3 = 21$ điểm. Xác suất cần tìm là: $P = \frac{9}{21} = \frac{3}{7} .$

Câu 11:

17/06/2026

Tập nghiệm S của phương trình ${(\frac{4}{7})}^{x} {(\frac{7}{4})}^{3 x - 1} - \frac{16}{49} = 0$ là

A. $S = \{- \frac{1}{2}\}$

B. $S = \{2\}$

C. $S = \{\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}\}$

D. $S = \{- \frac{1}{2}; 2\}$

Xem đáp án

Đáp án A

$P T \Leftrightarrow {(\frac{4}{7})}^{x} {(\frac{4}{7})}^{1 - 3 x} = \frac{16}{49} \Leftrightarrow {(\frac{4}{7})}^{1 - 2 x} = {(\frac{4}{7})}^{2} \Leftrightarrow 1 - 2 x = 2 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2} \Rightarrow S = \{- \frac{1}{2}\}$

Câu 12:

17/06/2026

Tâm đối xứng I của đồ thị hàm số $y = - \frac{2 x - 1}{x + 1}$ là

A. $I (1; - 2)$

B. $I (- 1; - 2)$

C. $I (1; 2)$

D. $I (- 1; 2)$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 13:

17/06/2026

Trong mặt phẳng $(P)$ cho tam giác $X Y Z$ cố định . Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng $(P)$ tại điểm X và về hai phía của $(P)$ ta lấy hai điểm A,B thay đổi sao cho hai mặt phẳng $(A Y Z) v à (B Y Z)$ luôn vuông góc với nhau. Hỏi vị trí của A,B thỏa mãn điều kiện nào sau đây thì thể tích tứ diện $A B Y Z$ là nhỏ nhất.

A. $X B = 2 X A$

B. $X A = 2 X B$

C. $X A . X B = Y Z^{2}$

D. X là trung điểm của đoạn AB

Xem đáp án

Đáp án D

$V_{A B Y Z} = V_{A . X Y Z} + V_{B . X Y Z} = \frac{1}{3} A X . S_{X Y Z} + \frac{1}{3} B X . S_{X Y Z} = \frac{1}{3} S_{X Y Z} (A X + X B) \geq \frac{1}{3} S_{X Y Z} .2 \sqrt{A X . X B}$

$= \frac{1}{3} S_{X Y Z} .2 X F \Rightarrow V_{A B Y Z}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow AX = X B .$

Câu 14:

17/06/2026

Tính tổng $S = C_{2018}^{1009} + C_{2018}^{1010} + C_{2018}^{1011} + ... + C_{2018}^{2018}$ (trong tổng đó, các số hạng có dạng $C_{2018}^{k}$ với k nguyên dương nhận giá trị liên tục từ 1009 đến 2018 ).

A. $S = 2^{2018} - C_{2018}^{1009}$

B. $S = 2^{2017} + \frac{1}{2} C_{2018}^{1009}$

C. $S = 2^{2017} - \frac{1}{2} C_{2018}^{1009}$

D. $S = 2^{2017} - C_{2018}^{1009}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có ${(1 + x)}^{2018} = \sum_{k = 0}^{2018} C_{2018}^{k} x^{k} = C_{2018}^{0} + C_{2018}^{1} x + ... + C_{2018}^{2018} x^{2018} .$

Chọn $x = 1 \Rightarrow 2^{2018} = C_{2018}^{0} + C_{2018}^{1} + ... + C_{2018}^{2018} .$

Vì $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k} \Rightarrow 2^{2018} = 2 (C_{2018}^{1010} + C_{2018}^{1011} + C_{2018}^{2018}) + C_{2018}^{1009} = 2 S + C_{2018}^{1009} \Rightarrow S = 2^{2017} + \frac{1}{2} C_{2018}^{1009} .$

Câu 15:

17/06/2026

Biết rằng $\log 7 = a, \log_{5} 100 = b .$ Hãy biểu diễn $\log_{25} 56$ theo a và b.

A. $\frac{a b + 3 b + 6}{4}$

B. $\frac{a b + b - 6}{4}$

C. $\frac{a b + 3 b - 6}{4}$

D. $\frac{a b - 3 b - 6}{4}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\log_{25} 56 = \frac{1}{2} \log_{5} 56 = \frac{1}{2} \log_{5} (2^{3} .7) = \frac{1}{2} (3. \log_{5} 2 + \log_{5} 7) .$

Mà $\log_{5} 100 = 2 \log_{5} 10 = 2 (1 + \log_{5} 2) = b \Rightarrow \log_{5} 2 = \frac{b}{2} - 1$ và $\log 7. \log_{5} 10 = \log_{5} 7 = \frac{a b}{2} .$

Vậy $\log_{25} 56 = \frac{1}{2} [3. (\frac{b}{2} - 1) + \frac{a b}{2}] = \frac{a b + 3 b - 6}{4} .$

Câu 16:

17/06/2026

Trên mặt phẳng có $2017$ đường thẳng song song với nhau và $2018$ đường thẳng song song khác cùng cắt nhóm $2017$ đường thẳng đó. Đếm số hình bình hành nhiều nhất được tạo thành có đỉnh là các giao điểm nói trên.

A. $2017.2018$

B. $C_{2017}^{4} + C_{2018}^{4}$

C. $C_{2017}^{2} . C_{2018}^{2}$

D. $2017 + 2018$

Xem đáp án

Đáp án C

Cứ 2 đường thẳng loại này cắt 2 đường thẳng loại kia tạo thành 1 hình bình hành =>số hình bình hành là: $C_{2017}^{2} . C_{2018}^{2} .$

Câu 17:

17/06/2026

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng đó.

B. Nếu hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

C. Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó phải đồng quy.

D. Trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó song song với nhau.

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 18:

17/06/2026

Đạo hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{\ln (\ln x)}$ trên tập xác định của nó là:

A. $f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{\ln (\ln x)}}$

B. $f' (x) = \frac{1}{\sqrt{\ln (\ln x)}}$

C. $f' (x) = \frac{1}{2 x \sqrt{\ln (\ln x)}}$

D. $f' (x) = \frac{1}{2 x \ln x \sqrt{\ln (\ln x)}}$

Xem đáp án

Đáp án D

$f' (x) = \frac{[\ln (\ln x)]'}{2 \sqrt{\ln (\ln x)}} = \frac{(\ln x)'}{2 \ln x \sqrt{\ln (\ln x)}} = \frac{1}{2 x \ln x \sqrt{\ln (\ln x)}} .$

Câu 19:

17/06/2026

Gọi a là một nghiệm của phương trình ${4.2}^{2 \log x} - 6^{\log x} - {18.3}^{2 \log x} = 0.$ Khẳng định nào sau đây đúng khi đánh giá về a ?

A. ${(a - 10)}^{2} = 1$

B. $a^{2} + a + 1 = 2$

C. a cũng là nghiệm của phương trình ${(\frac{2}{3})}^{\log x} = \frac{9}{4}$

D. $a = 10^{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

$P T \Leftrightarrow {4.4}^{\log x} - 6^{\log x} - {18.9}^{\log x} = 0 \Leftrightarrow 4 {(\frac{4}{9})}^{\log x} - {(\frac{2}{3})}^{\log x} - 18 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {(\frac{2}{3})}^{\log x} = \frac{9}{4} \\ {(\frac{2}{3})}^{\log x} = - 2 \end{array}$

$\Rightarrow {(\frac{2}{3})}^{\log x} = \frac{9}{4} \Rightarrow \log x = - 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{100} \Rightarrow a = \frac{1}{100} \Rightarrow a$ cũng là nghiệm của phương trình

${(\frac{2}{3})}^{\log x} = \frac{9}{4} .$

Câu 20:

17/06/2026

Trên một bàn cờ vua kích thước $8 x 8$ người ta đặt số hạt thóc theo cách như sau. Ô thứ nhất đặt một hạt thóc, ô thứ hai đặt hai hạt thóc, các ô tiếp theo đặt số hạt thóc gấp đôi ô đứng liền kề trước nó. Hỏi phải tối thiểu từ ô thứ bao nhiêu để tổng số hạt thóc từ ô đầu tiên đến ô đó lớn hơn $20172018$ hạt thóc?

A. $26$

B. $23$

C. $24$

D. $25$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi ô chứa hạt thóc thỏa mãn đề bài là ô thứ $n (n \in ℕ, n > 1) .$ Khi đó

$1 + 2 + 4 + ... + n > 20172018 \Leftrightarrow \frac{1 - 2^{n}}{1 - 2} > 20172018 \Leftrightarrow 2^{n} > 20172018 \Rightarrow n > 24, 27 \Rightarrow n = 25.$

Câu 21:

17/06/2026

Biết rằng đồ thị của hàm số $y = P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 2$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lần lượt có hoành độ là $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ . Khi đó giá trị của biểu thức $T = \frac{1}{{x_{1}}^{2} - 4 x_{1} + 3} + \frac{1}{{x_{2}}^{2} - 4 x^{2} + 3} + \frac{1}{{x_{3}}^{2} - 4 x_{3} + 3}$ bằng

A. $T = \frac{1}{2} [- \frac{P' (1)}{P (1)} + \frac{P' (3)}{P (3)}]$

B. $T = \frac{1}{2} [- \frac{P' (1)}{P (1)} - \frac{P' (3)}{P (3)}]$

C. $T = \frac{1}{2} [\frac{P' (1)}{P (1)} - \frac{P' (3)}{P (3)}]$

D. $T = \frac{1}{2} [\frac{P' (1)}{P (1)} + \frac{P' (3)}{P (3)}]$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $T = \frac{1}{(x_{1} - 1) (x_{1} - 3)} + \frac{1}{(x_{2} - 1) (x_{2} - 3)} + \frac{1}{(x_{3} - 1) (x_{3} - 3)}$

$T = \frac{1}{(x_{1} - 1) (x_{1} - 3)} + \frac{1}{(x_{2} - 1) (x_{2} - 3)} + \frac{1}{(x_{3} - 1) (x_{3} - 3)}$ vì $\frac{1}{(x - 1) (x - 3)} = \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 1} .$

Vì $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ là 3 nghiệm của phương trình $P (x) = 0 \Rightarrow P (x) = (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) .$

Suy ra $P' (x) = (x - x_{1}) (x - x_{2}) + (x - x_{2}) (x - x_{3}) + (x - x_{3}) (x - x_{1})$

$\Rightarrow \frac{P' (x)}{P (x)} = \frac{(x - x_{1}) (x - x_{2}) + (x - x_{3}) + (x - x_{3}) (x - x_{1})}{(x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3})} = \frac{1}{x - x_{1}} + \frac{1}{x - x_{2}} + \frac{1}{x - x_{3}} (*) .$

Thay $x = 1, x = 3$ vào biểu thức (*), ta được $T = \frac{1}{2} [\frac{P' (x)}{P (1)} - \frac{P' (3)}{P (3)}] .$

Câu 22:

17/06/2026

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau.

Đồ thị hàm số $y = |f (x - 2017) + 2018|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. $2$

B. $3$

C. $5$

D. $4$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có đồ thị hàm số $y = |f (x - 2017) + 2018|$ có dạng như bên:

Dễ thấy đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.

Câu 23:

17/06/2026

Cho hàm số $y = x^{4} - 4 x^{2} + 3.$ Tìm khẳng định sai.

A. Hàm số chỉ có một điểm cực trị.

B. Đồ thị của hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.

C. Hàm số đã cho là hàm số chẵn.

D. Các điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác cân

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y' = 4 x^{3} - 8 x = 4 x (x^{2} - 2) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \end{array} .$

Suy ra hàm số có 3 cực trị.

Câu 24:

17/06/2026

Khẳng định nào sau đây là sai khi kết luận về hình tứ diện đều?

A. Đoạn thẳng nối trung điểm của cặp cạnh đối diện cũng là đoạn vuông góc chung của cặp cạnh đó

B. Thể tích của tứ diện bằng một phần ba tích khoảng cách từ trọng tâm của tứ diện đến một mặt với diện tích toàn phần của nó (diện tích toàn phần là tổng diện tích của bốn mặt).

C. Các cặp cạnh đối diện dài bằng nhau và vuông góc với nhau.

D. Hình tứ diện đều có một tâm đối xứng cũng chính là trọng tâm của nó.

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 25:

17/06/2026

Cho biểu thức $f (x) = \frac{1}{2018^{x} + \sqrt{2018}} .$

Tính tổng $S = \sqrt{2018} [f (- 2017) + f (- 2016) + ... + f (0) + f (1) + ... + f (2018)] .$

A. $S = 2018$

B. $S = \frac{1}{2018}$

C. $S = \sqrt{2018}$

D. $S = \frac{1}{\sqrt{2018}}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f (x) + f (1 - x) = \frac{1}{2018^{x} + \sqrt{2018}} + \frac{1}{2018^{1 - x} + \sqrt{2018}} = \frac{1}{\sqrt{2018}} .$

Suy ra $S = \sqrt{2018} [2018 \frac{1}{\sqrt{2018}}] = 2018.$

Câu 26:

17/06/2026

Cho $f (x)$ là một hàm số liên tục trên đoạn $[- 1; 8]$ , biết $f (1) = f (3) = f (8) = 2$ có bảng biến thiên như sau:

Tìm m để phương trình $f (x) = f (m)$ có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[- 1; 8] .$

A. $m \in (- 1; 8] \ \{- 1; 3; 5\}$

B. $m \in (- 1; 8] \ (1; 3) v à m \neq 5$

C. $m \in [- 1; 8]$

D. $m \in [- 1; 8] \ [1; 3] v à m \neq 5$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $f (x) = f (m)$ có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[- 1; 8] \Leftrightarrow f (m) \in (2; 4) \Leftrightarrow m \in (- 1; 1) \cup [3; 4] \cup [5; 8]$ (Dựa vào bảng biến thiên để suy ra các giá trị của m để $f (m) \in (2; 4)$ ).

Câu 27:

17/06/2026

Cho hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ .Tìm khẳng định đúng.

A. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang

B. Điểm cực đại của đồ thị hàm số $M (1; - 1) .$

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 1) v à (1; + \infty;) .$

D. Hàm số không có cực trị.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $f' (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1) \Rightarrow y' > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 1 \\ x < - 1 \end{array} .$

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty) .$

Câu 28:

17/06/2026

Đường thẳng y=4x-1 và đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 1$ có bao nhiêu điểm chung?

A. 1

B. 3

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

PT hoành độ giao điểm là $4 x - 1 = x^{3} - 3 x^{2} - 1 \Leftrightarrow x (x^{2} - 3 x - 4) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 4 \end{array} .$

Suy ra hai đồ thị có 3 giao điểm.

Câu 29:

17/06/2026

Cho hình chóp tứ giác $S . A B C D$ và một mặt phẳng (P) thay đổi. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) là một đa giác có số cạnh nhiều nhất có thể là

A. 5

B. 4

C. 3

D. 6

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 30:

17/06/2026

Một kim tự tháp Ai Cập được xây dựng khoảng $2500$ năm trước công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao $150 m$ cạnh đáy dài $220 m$ . Hỏi diện tích xung quanh của kim tự tháp đó bằng bao nhiêu? ( Diện tích xung quanh của hình chóp là tổng diện tích của các mặt bên).

A. $220 \sqrt{346} (m^{2})$

B. $1100 \sqrt{346} (m^{2})$

C. $4400 \sqrt{346} + 48400 (m^{2})$

D. $4400 \sqrt{346} (m^{2})$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $O H = \frac{220}{2} = 110 (m); S H = \sqrt{150^{2} + 110^{2}} = 10 \sqrt{346} (m) .$

Ta có $S_{x q} = 4. \frac{1}{2} .10 \sqrt{346} .220 = 4400 \sqrt{346} (m^{2}) .$

Câu 31:

17/06/2026

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau

A. Hàm số $f (x)$ đạt cực trị tại điểm $x_{0}$ thì đạo hàm tại đó không tồn tại hoặc $f' (x_{0}) = 0$

B. Hàm số $f (x)$ có $f' (x) > 0, \forall x \in (a; b)$ , thì hàm số đồng biến trên $(a; b) .$

C. Hàm số $f (x)$ đồng biến trên đoạn $[a; b]$ thì đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

D. Hàm số $f (x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và $f (a) . f (b) < 0$ thì tồn tại $c \in (a; b)$ sao cho $f (c) = 0.$

Xem đáp án

Đáp án B

B sai vì dấu bằng phải xảy ra tại hữu hạn điểm.

Câu 32:

17/06/2026

Cho một hình hộp chữ nhật $A B C D . A' B' C' D'$ . Trên các cạnh $A A'; B B'; C C'$ ta lần lượt lấy ba điểm X;Y;Z sao cho $A X = 2 A' X; B Y = B' Y; C Z = 3 C' Z$ . Mặt phẳng $(X Y Z)$ cắt cạnh DD' ở tại điểm T. Khi đó tỉ số thể tích của khối $X Y Z T . A B C D$ và khối $X Y Z T . A' B' C' D'$ bằng bao nhiêu?

A. $\frac{7}{24}$

B. $\frac{7}{17}$

C. $\frac{17}{7}$

D. $\frac{17}{24}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\frac{V_{A' B' C' D' . X Y Z T}}{V_{A' B' C' D' . A B C D}} = \frac{1}{2} (\frac{A' X}{A' A} + \frac{C' Z}{C' C}) = \frac{1}{2} . (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) = \frac{7}{24}$

Cho $V_{X Y Z T . A' B' C' D'} = 7; V_{A' B' C' D' . A B C D} = 24$

Khi đó $V_{X Y Z T . A B C D} = 17 \Rightarrow k = \frac{17}{7} .$

Câu 33:

17/06/2026

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $f (x) = (m^{2} - 4) x^{3} + 3 (m - 2) x^{2} + 3 x - 4$ đồng biến trên $ℝ .$

A. $m \geq 2$

B. $m \leq 2$

C. $m > 2$

D. $m < 2$

Xem đáp án

Đáp án A

Với $m = 2 \Rightarrow f (x) = 3 x - 4 \Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $ℝ .$

Với $m = - 2 \Rightarrow y = - 12 x^{2} + 3 x - 4 \Rightarrow$ hàm số không đồng biến trên $ℝ .$

Với $m \neq \pm 2 \Rightarrow f' (x) = 3 (m^{2} - 4) x^{2} + 6 (m - 2) x + 3$

Khi đó hàm số đồng biến trên $ℝ \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = m^{2} - 4 > 0 \\ Δ' = {(m - 2)}^{2} - (m^{2} - 4) = - 4 m + 8 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m > 2.$

Kết hợp 3 trường hợp suy ra $m \geq 2$ là giá trị cần tìm

Câu 34:

17/06/2026

Hai khối đa diện đều được gọi là đối ngẫu nếu các đỉnh của khối đa diện đều loại này là tâm (đường tròn ngoại tiếp) các mặt của khối đa diện đều loại kia. Hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. Khối tứ diện đều đối ngẫu với chính nó.

B. Hai khối đa diện đều đối ngẫu với nhau luôn có số cạnh bằng nhau.

C. Số mặt của một đa diện đều bằng số cạnh của đa diện đều đối ngẫu với nó.

D. Khối 20 mặt đều đối ngẫu với khối 12 mặt đều.

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 35:

17/06/2026

Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = x + \frac{1}{x}$ trên đoạn $[1; 4]$ là

A. $2$

B. $\frac{17}{2}$

C. $\frac{17}{4}$

D. $\frac{28}{4}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}} \geq 0 (\forall x \in [1; 4])$ do đó hàm số đồng biến trên đoạn $[1; 4]$

Do đó $\underset{[1; 4]}{M i n} f (x) . \underset{[1; 4]}{M ax} f (x) = f (1) . f (4) = \frac{17}{2} .$

Câu 36:

17/06/2026

Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau

A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.

B. Một cấp số nhân có công bội $q > 1$ là một dãy tăng.

C. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.

D. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy tăng.

Xem đáp án

Đáp án B

Đáp án B sai vì nếu $u_{1} < 0$ chẳng hạn $u_{1} = - 1$ thì cấp số nhân đó là dãy số giảm.

Câu 37:

17/06/2026

Cho khối trụ có bán kính đáy R và có chiều cao $h = 2 R .$ Hai đáy của khối trụ là hai đường tròn có tâm lần lượt là O và O'. Trên đường tròn (O) ta lấy điểm A cố định. Trên đường tròn (O') ta lấy điểm B thay đổi. Hỏi độ dài đoạn AB lớn nhất bằng bao nhiêu?

A. $A B_{m ax} = 2 R \sqrt{2}$

B. $A B_{m ax} = 4 R \sqrt{2}$

C. $A B_{m ax} = 4 R$

D. $A B_{m ax} = R \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi P là hình chiếu của A trên đáy $(O')$ . Khi đó

$A B = \sqrt{A P^{2} + P B^{2}} = \sqrt{h^{2} + B P^{2}} = \sqrt{4 R^{2} + P B^{2}} \leq \sqrt{4 R^{2} + 4 R^{2}} = 2 R \sqrt{2}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow B P = P Q = 2 R .$

Câu 38:

17/06/2026

Hai bạn Hùng và Vương cùng tham gia một kỳ thi thử trong đó có hai môn thi trắc nghiệm là Toán và Tiếng Anh. Đề thi của mỗi môn gồm 6 mã đề khác nhau và các môn khác nhau thì mã đề cũng khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho học sinh một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để trong hai môn Toán và Tiếng Anh thì hai bạn Hùng và Vương có chung đúng một mã đề thi.

A. $\frac{5}{36}$

B. $\frac{5}{9}$

C. $\frac{5}{72}$

D. $\frac{5}{18}$

Xem đáp án

Đáp án D

Không gian mẫu là: $|Ω| = 6^{4}$

TH1: Môn Toán trùng mã đề thi môn Tiếng Anh không trùng có:

Bạn Hùng chọn 1 mã toán có 6 cách và 6 cách chọn mã môn Tiếng Anh khi đó Vương có 1 cách là phải giống Hùng mã Toán và 5 cách chọn mã Tiếng Anh có $6.1.6.5 = 180$ cách.

TH2: Môn Tiếng Anh trùng mã đề thi môn Toán không trùng có: $6.1.6.5 = 180$ cách.

Vậy $P = \frac{180 + 180}{6^{4}} = \frac{5}{18} .$

Câu 39:

17/06/2026

Cho khối hộp chữ nhật $A B C D . A B ’ C ’ D ’$ có thể tích bằng $2016.$ Thể tích phần chung của hai khối $A . B' C D' v à A' B C' D$ bằng.

A. $1344$

B. $336$

C. $672$

D. $168$

Xem đáp án

Đáp án B

Phần chung của hai khối chóp là hình bát diện đều.

Đặt $A B = a \Rightarrow M N = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Do đó $V = 2 V_{O . M N P Q} = 2. \frac{1}{3} . \frac{a}{2} . \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{3}}{6} = \frac{2016}{6} = 336.$

Câu 40:

17/06/2026

Cho các số thực $a < b < 0$ . Mệnh đề nào sau đây là sai ?

A. $\ln \sqrt{a b} = \frac{1}{2} (\ln a + \ln b)$

B. $\ln (\frac{a}{b}) = \ln |a| - \ln |b|$

C. $\ln {(\frac{a}{b})}^{2} = \ln (a^{2}) - \ln (b^{2})$

D. $\ln {(a b)}^{2} = \ln (a^{2}) + \ln (b^{2})$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\ln \sqrt{a b} = \frac{1}{2} (\ln a + \ln b)$ là khẳng định sai vì $a < b < 0.$

Câu 41:

17/06/2026

Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào một ngân hàng một khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất $0, 6 %$ mỗi tháng. Biết sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền T gần với số tiền nào nhất trong các số sau

A. $635.000$ đồng

B. $645.000$ đồng

C. $613.000$ đồng

D. $535.000$ đồng

Xem đáp án

Đáp án A

Áp dụng công thức lãi suất: $T_{n} = \frac{a}{m} . [{(1 + m)}^{n} - 1] . (1 + m)$ với a là số tiền gửi hàng tháng, m là lãi suất mỗi tháng và n là số tháng, ta được $10 = \frac{T}{0, 6 %} [{(1 + 0, 6 %)}^{15} - 1] (1 + 0, 6 %) \Rightarrow T = 0, 635$ triệu đồng.

Câu 42:

17/06/2026

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và có đạo hàm trên khoảng $(a; b)$

Cho các khẳng định sau:

i) Tồn tại một số $c \in (a; b)$ sao cho $f' (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} .$

ii) Nếu $f (a) = f (b)$ thì luôn tồn tại $c \in (a; b)$ sao cho $f' (c) = 0.$

iii) Nếu $f (x)$ có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(a; b)$ thì giữa hai nghiệm đó luôn tồn tại một nghiệm của phương trình $f' (x) = 0.$

Số khẳng định đúng trong ba khẳng định trên là

A. $0$

B. $2$

C. $3$

D. $1$

Xem đáp án

Đáp án C

Cả 3 khẳng định đều đúng

Câu 43:

17/06/2026

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Xác định tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $|f (x)| = m$ có đúng hai nghiệm thực phân biệt.

A. $m > - 3$

B. $- 4 < m < 0$

C. $m > 4$

D. $m > 4, m = 0$

Xem đáp án

Đáp án D

Dựa vào đồ thị hàm số $y = |f (x)|$ (hình vẽ bên, xem lại cách vẽ đồ thị hàm số $y = |f (x)|$ $y = f (x)$ khi biết đồ thị hàm số $y = f (x)$ ), để phương trình $|f (x)| = m$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $[\begin{array}{l} m = 0 \\ m > 4 \end{array} .$

Câu 44:

17/06/2026

Cho khối lăng trụ đứng tam giác $A B C . A' B' C'$ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $A B = a, A C = a \sqrt{3}, A A' = 2 a .$ Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đó.

A. $R = 2 a \sqrt{2}$

B. $R = a$

C. $R = a \sqrt{2}$

D. $R = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Tam giác ABC vuông tại A $\Rightarrow B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = 2 a \Rightarrow R_{Δ A B C} = \frac{B C}{2} = a$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là $R = \sqrt{{R^{2}}_{Δ A B C} + \frac{A A'^{2}}{4}} = \sqrt{a^{2} + \frac{{(2 a)}^{2}}{4} = a \sqrt{2}} .$

Câu 45:

17/06/2026

Cho hình chóp $S . A B C .$ Bên trong tam giác ABC ta lấy một điểm O bất kỳ. Từ O ta dựng các đường thẳng lần lượt song song với SA, SB, SC và cắt các mặt phẳng $(S B C), (S C A), (S A B)$ theo thứ tự tại các điểm A’ , B’ , C’ . Tính tổng tỉ số $T = \frac{O A'}{S A} + \frac{O B'}{S B} + \frac{O C'}{S C} .$

A. $T = 3$

B. $T = \frac{3}{4}$

C. $T = 1$

D. $T = \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi M,N,P lần lượt là giao điểm của OA, OB, OC với cạnh BC, CA, AB.

Vì $O B' / / S A \Rightarrow \frac{O A'}{S A} = \frac{O M}{A M}$ (Định lí Thalet).

Tương tự, ta có $\frac{O B'}{S B} = \frac{O N}{B N'}; \frac{O C'}{S C} = \frac{O P}{P C} \Rightarrow T = \frac{O M}{A M} + \frac{O N}{B N} + \frac{O P}{P C} .$

Với O là trọng tâm của tam giác ABC $\Rightarrow M, N, P$ lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

$\Rightarrow \frac{O M}{A M} = \frac{O N}{B N} = \frac{O P}{C P} = \frac{1}{3} .$ Vậy tổng tỉ số $T = \frac{O A'}{S A} + \frac{O B'}{S B} + \frac{O C'}{S C} = 1.$

Chú ý: Bản chất bài toán là yêu cầu chứng minh $\frac{O M}{A M} + \frac{O N}{B N} + \frac{O P}{P C} = 1.$ Tuy nhiên với tinh thần trắc nghiệm ta sẽ chuẩn hóa với O là trọng tâm tam giác ABC.

Câu 46:

17/06/2026

Biết đồ thị hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_{1}, x_{2}, x_{3} .$ Tính giá trị của biểu thức $T = \frac{1}{f' (x_{1})} + \frac{1}{f' (x_{2})} + \frac{1}{f' (x_{3})} .$

A. $T = \frac{1}{3}$

B. $T = 3$

C. $T = 1$

D. $T = 0$

Xem đáp án

Đáp án D

Vì $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ là ba nghiệm của phương trình $f (x) = 0 \Rightarrow f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) .$

Ta có $f' (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) + a (x - x_{2}) (x - x_{3}) + a (x - x_{3}) (x - x_{1}) .$

Khi đó

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} f' (x_{1}) = a (x_{1} - x_{2}) (x_{1} - x_{3}) \\ f' (x_{2}) = a (x_{2} - x_{3}) (x_{2} - x_{1}) \\ f' (x_{3}) = a (x_{3} - x_{1}) (x_{3} - x_{2}) \end{cases} \Rightarrow T = \frac{1}{a (x_{1} - x_{2}) (x_{1} - x_{3})} + \frac{1}{a (x_{2} - x_{3}) (x_{2} - x_{1})} + \frac{1}{a (x_{3} - x_{1}) (x_{3} - x_{2})} \\ = \frac{1}{a (x_{1} - x_{2}) (x_{1} - x_{3})} - \frac{1}{a (x_{1} - x_{2}) (x_{2} - x_{3})} + \frac{1}{a (x_{1} - x_{3}) (x_{2} - x_{3})} = \frac{x_{2} - x_{3} - x_{1} + x_{3} + x_{1} - x_{2}}{a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3})} = 0. \end{array}$

Câu 47:

17/06/2026

Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai ?

A. Nếu hai mặt phẳng song song cùng cắt mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến tạo thành song song với nhau

B. Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai đường thẳng chéo nhau những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

C. Nếu mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng (P) đều song song với mặt phẳng (Q).

D. Nếu mặt phẳng (P) có chứa hai đường thẳng phân biệt và hai đường thẳng đó cùng song song với mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).

Xem đáp án

Đáp án D

Với đáp án D, nếu mp $(P)$ chứa $d_{1}, d_{2}$ và $d_{1} / / d_{2}$ thì mp $(P)$ không // với mp $(Q) .$

Câu 48:

17/06/2026

Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A = 2, S B = 3, S C = 4.$ Góc $\hat{A S B} = 45^{\circ}, \hat{B S C} = 60^{\circ},$

$\hat{C S A} = 90^{\circ} .$ Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng $(S A C) .$

A. $\frac{1}{2}$

B. $3$

C. $1$

D. $\frac{3}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi M, N lần lượt thuộc cạnh SB,SC sao cho $S M = S N = 2.$

Tam giác SMN đều $\Rightarrow S M = S N = M N = 2.$

Tam giác SAM có $\hat{AS M} = 45^{\circ} \Rightarrow A M = 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} .$

Tam giác SAN vuông cân tại S $\Rightarrow A N = S A \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} .$

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC $\Rightarrow S I ⊥ (A M N) .$

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $Δ A M N .$ Diện tích tam giác AMN là

$S = \sqrt{p (p - A M) (p - A N) (p - M N)} \Rightarrow R_{Δ A M N} = \frac{A M . A N . M N}{4 S} = \frac{2 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}{S_{Δ A M N}}$ ,

với $p = \frac{A M + A N + M N}{2} .$

Tam giác SAI vuông tại I, có $S I = \sqrt{S A^{2} - I A^{2}} = \sqrt{4 - {R^{2}}_{Δ A M N}} .$

Ta có $\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S B} . \frac{S N}{S C} = \frac{2}{3} . \frac{2}{4} = \frac{1}{3} \Rightarrow V_{S . A B C} = 3 V_{S . A M N} \Rightarrow d (B; (S A C)) = \frac{9 V_{S . A M N}}{S_{Δ S A C}} = \frac{3}{2} .$

Câu 49:

17/06/2026

Gọi S là tập nghiệm của phương trình $(2 - x) (2 + 4^{x}) = 6.$ Khi đó, số phần tử của tập S là

A. $|S| = 2$

B. $|S| = 3$

C. $|S| = 4$

D. $|S| = 5$

Xem đáp án

Đáp án B

Xét hàm số $f (x) = (4^{x} + 2) (2 - x) - 6$ với $x \in ℝ,$ có $f' (x) = 4^{x} (2 \ln 4 - 1 - x \ln 4)$

Suy ra $f'' (x) = 4^{x} (2 \ln^{2} 4 - 2 \ln 4 - x \ln^{2} 4); f'' (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2 \ln 4 - 2}{\ln 4} .$

Do đó $f' (x) = 0$ có không quá 2 nghiệm $f' (x) = 0$ có không quá 3 nghiệm.

Mà $f (0) = 0; f (\frac{1}{2}) = 0; f (1) = 0 \Rightarrow x = \{0; \frac{1}{2}; 1\}$ là 3 nghiệm của phương trình.

Câu 50:

17/06/2026

Cho mặt trụ (T) và một điểm S cố định nằm ngoài (T). Một đường thẳng $Δ$ luôn đi qua S và cắt (T) tại hai điểm A, B (A, B có thể trùng nhau). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tập hợp các điểm M là

A. Một mặt phẳng đi qua S.

B. Một mặt cầu đi qua S.

C. Một mặt nón có đỉnh là S.

D. Một mặt trụ.

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua S và vuông góc với trục của mặt $(T) .$ Mặt phẳng $(P)$ cắt $(T)$ theo giao tuyến một đường tròn. Chiếu A, B, M theo phương vuông góc với mặt phẳng $(P)$ ta được các điểm theo thứ tự là $A', B', M'$ thẳng hàng với S, trong đó A’,B’ nằm trên đường tròn tâm O trong mặt phẳng $(P)$ và M’là trung điểm của A’B’. Do đó M’ luôn nằm trên đường tròn đường kính SO trong mặt phẳng $(P)$ và MM’ vuông góc với $(P)$ . Vậy MM’ nằm trên mặt trụ $(T')$ chứa đường tròn đường kính SO và có trục song song với trục của mặt trụ $(T) .$

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3