Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Chọn ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong số năm đoạn thẳng và không tính đến thứ tự thì có $C_5^3=10$  cách chọn.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 10.

Gọi biến cố S: “Ba đoạn thẳng được chọn lập thành một tam giác”.

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Trong năm đoạn thẳng trên, ta thấy các đoạn thẳng sau lập thành một tam giác:

⦁ 3 cm; 5 cm và 7 cm;

⦁ 3 cm; 7 cm và 9 cm;

⦁ 5 cm; 7 cm và 9 cm.

Suy ra biến cố S có ba kết quả thuận lợi hay n(S) = 3.

Vậy xác suất của biến cố S là: $\frac{3}{10}$ .

Ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét biến cố A: “Mai và Đức cùng một nhóm”, ta mô tả các khả năng thuận lợi cho biến cố A như sau:

Trường hợp 1:

• Mai và Đức cùng với 1 bạn nam và 1 bạn nữ thành một nhóm nên có duy nhất 1 cách chọn Mai và Đức và có $C_3^1.C_7^1$  cách chọn 1 bạn nam (trong 7 bạn nam còn lại) và 1 bạn nữ (trong 3 bạn nữ còn lại).

• Nhóm thứ hai có 3 bạn nam (trong 6 bạn nam còn lại) và 1 bạn nữ (trong 2 bạn nữ còn lại) nên có $C_6^3.C_2^1$  cách.

• Cuối cùng còn lại 3 bạn nam và 1 bạn nữ nên có 1 cách duy nhất cho nhóm thứ ba.

Do đó trong trường hợp này có $1.C_3^1.C_7^1.C_6^3.C_2^1.1=840$  cách.

Trường hợp 2:

• Mai và Đức cùng với 2 bạn nam thành một nhóm nên có duy nhất 1 cách chọn Mai và Đức và có $C_7^2$  cách chọn 2 bạn nam trong 7 bạn nam còn lại.

• Nhóm thứ hai có 2 bạn nam (trong 5 bạn nam còn lại) và 1 bạn nữ (trong 3 bạn nữ còn lại) nên có $C_5^2.C_3^1$  cách.

• Cuối cùng còn lại 2 bạn nam và 2 bạn nữ nên có 1 cách duy nhất cho nhóm thứ ba.

Do đó trong trường hợp này có $1.C_7^2.C_5^2.C_3^1.1=630$  cách.

Trường hợp 3:

• Mai và Đức cùng với 2 bạn nam thành một nhóm.

• Nhóm thứ hai có 2 bạn nam và 2 bạn nữ.

• Suy ra nhóm thứ ba có 3 bạn nam và 1 bạn nữ.

Trường hợp này trùng với trường hợp thứ hai nên ta không tính.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 840 + 630 = 1 470.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Chọn vị trí chẵn hoặc lẻ để xếp 5 nam: có 2 cách.

Ta xét trường hợp 5 nam ở vị trí chẵn (tương tự cho vị trí lẻ):

• Khả năng 1: Bình đứng ngoài cùng: có 1 cách.

Xếp Phương không cạnh Bình: có 4 cách.

Đổi vị trí các bạn nam: có 4! cách;

Đổi vị trí các bạn nữ: 4! cách.

Do đó trong khả năng này có 2.1.4.4!.4! = 4 608 cách.

• Khả năng 2: Bình không đứng ngoài cùng: có 4 cách.

Xếp Phương không cạnh Bình (bỏ 2 vị trí cạnh Bình): có 3 cách.

Đổi vị trí các bạn nam: có 4! cách;

Đổi vị trí các bạn nữ: có 4! cách.

Do đó trong khả năng này có 2.4.3.4!4! = 13 824 cách.

Khi đó có 4 608 + 13 824 = 18 432 cách.

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 18 432.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Không gian mẫu của phép thử trên là số cách xếp 4 hành khách lên 4 toa tàu.

Vì chọn mỗi hành khách có 4 cách chọn toa nên ta có 4⁴ cách xếp.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 4⁴.

Gọi biến cố A: “1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người và 2 toa còn lại không có ai”.

Để tìm số phần tử của biến cố A, ta chia thành hai giai đoạn như sau:

Giai đoạn 1: Chọn 3 hành khách trong số 4 hành khách và chọn 1 toa trong số 4 toa.

Sau đó xếp lên toa đó 3 hành khách vừa chọn.

Khi đó ta có $C_4^3.C_4^1$  cách.

Giai đoạn 2: Chọn 1 toa trong số 3 toa còn lại và xếp 1 hành khách còn lại lên toa đó.

Suy ra có $C_3^1$  cách. Hiển nhiên khi đó 2 toa còn lại sẽ không có hành khách nào.

Theo quy tắc nhân, ta có n(A) = $C_4^3.C_4^1.C_3^1$ .

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{C_4^3.C_4^1.C_3^1}{4^4}=\frac{3}{16}$ .

Ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 6.

Gọi K: “Phương trình x² + bx + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt”.

Ta có ∆ = b² – 8.

Phương trình x² + bx + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆ > 0

⇔ b² – 8 > 0

$\iff \left[\begin{array}{l}b<-2\sqrt{2}\\ b>2\sqrt{2}\end{array}\right.$

Lại có xúc xắc xuất hiện mặt b chấm nên b ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Do đó ta nhận b ∈ {3; 4; 5; 6}.

Suy ra n(K) = 4.

Vậy xác suất của biến cố K là: $P\left(K\right)=\frac{n\left(K\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ .

Ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 6.

Gọi H: “Phương trình x² – bx + b – 1 = 0 có nghiệm lớn hơn 3”.

Ta có xúc xắc xuất hiện mặt b chấm.

Suy ra b ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Xét phương trình x² – bx + b – 1 = 0 (1)

∆ = (–b)² – 4.1.(b – 1) = b² – 4b + 4 = (b – 2)² ≥ 0, với mọi b ∈ ℝ.

Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm x₁, x₂ là:

$x_1=\frac{b+b-2}{2}=b-1;x_2=\frac{b-b+2}{2}=1$

Theo đề, ta có phương trình đã cho có nghiệm lớn hơn 3.

Mà x₂ = 1 < 3

Suy ra x₁ > 3

⇔ b – 1 > 3

⇔ b > 4.

Mà b ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6} và 2 ≤ b ≤ 6.

Suy ra ta nhận b = 5 và b = 6.

Khi đó số phần tử của tập hợp mô tả biến cố H là: n(H) = 2.

Xác suất của biến cố H là: $P\left(H\right)=\frac{n\left(H\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ .

Vậy ta chọn phương án A.