31 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Giải SGK Toán 8 KNTT Bài 22. Tính chất cơ bản của phân thức đại số có đáp án

Liệu có phân thức nào đơn giản hơn nhưng bằng phân thức $\frac{x - y}{x^{3} - y^{3}}$ không nhỉ?

Xem đáp án

Sau bài học này ta trả lời được câu hỏi trên như sau:

Ta có $\frac{x - y}{x^{3} - y^{3}} = \frac{x - y}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})} = \frac{1}{x^{2} + x y + y^{2}}$ .

Vậy có phân thức $\frac{1}{x^{2} + x y + y^{2}}$ thỏa mãn bài toán.

Câu 2:

Nếu nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{x + y}{x - y}$ với 2x ta được phân thức mới nào? Giải thích vì sao phân thức mới nhận được bằng phân thức đã cho.

Xem đáp án

Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{x + y}{x - y}$ với 2x ta được: $\frac{2 x (x + y)}{2 x (x - y)} = \frac{2 x^{2} + 2 x y}{2 x^{2} - 2 x y}$ .

Ta có (x + y)(2x² – 2xy) = 2x³ – 2x²y + 2x²y – 2xy² = 2x³ – 2xy²;

(x – y)(2x² + 2xy) = 2x³ + 2x²y – 2x²y – 2xy² = 2x³ – 2xy².

Do đó, (x + y)(2x² – 2xy) = (x – y)(2x² + 2xy) nên

\frac{x + y}{x - y} = \frac{2 x^{2} + 2 x y}{2 x^{2} - 2 x y}

.

Câu 3:

17/07/2024

Tử và mẫu của phân thức $\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ có nhân tử chung là x – 1. Viết phân thức nhận được sau khi chia cả tử và mẫu của phân thức này cho nhân tử chung đó. So sánh phân thức mới nhận được và phân thức đã cho.

Xem đáp án

Phân thức mới là: $\frac{x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

Ta thấy $\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

Vì (x – 1)(x + 1)(x² + x + 1) = (x – 1)(x² + x + 1)(x + 1).

Câu 4:

17/07/2024

Khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao? $\frac{30 x y^{2} (x - y)}{45 x y {(x - y)}^{2}} = \frac{2 y}{3 (x - y)}$

Xem đáp án

Ta thấy tử và mẫu thức của phân thức $\frac{30 x y^{2} (x - y)}{45 x y {(x - y)}^{2}}$ có nhân tử chung là 15xy(x – y).

Chia tử cho nhân tử chung: 30xy²(x – y) : [15xy(x – y)] = 2y

Chia mẫu cho nhân tử chung: 45xy(x – y)²: [15xy(x – y)] = 3(x – y).

Vậy $\frac{30 x y^{2} (x - y)}{45 x y {(x - y)}^{2}} = \frac{2 y}{3 (x - y)}$ nên khẳng định đã cho là đúng.

Câu 5:

11/07/2024

Giải thích vì sao $\frac{- x}{1 - x} = \frac{x}{x - 1}$ .

Xem đáp án

Nhân cả tử và mẫu của $\frac{- x}{1 - x}$ với –1 ta được: $\frac{- x . (- 1)}{(1 - x) (- 1)} = \frac{x}{x - 1}$ .

Vậy $\frac{- x}{1 - x} = \frac{x}{x - 1}$ .

Câu 6:

10/07/2024

Phân tích tử và mẫu của phân thức $\frac{2 x^{2} + 2 x}{x^{2} - 1}$ thành nhân tử và tìm các nhân tử chung của chúng.

Xem đáp án

Ta có

2x² + 2x = 2x(x + 1)

x² – 1 = (x + 1)(x – 1)

Nhân tử chung của tử và mẫu là: x + 1.

Câu 7:

23/07/2024

Chia cả tử và mẫu của phân thức $\frac{2 x^{2} + 2 x}{x^{2} - 1}$ cho các nhân tử chung, ta nhận được một phân thức mới bằng phân thức đã cho nhưng đơn giản hơn.

Xem đáp án

Ta có: $\frac{2 x^{2} + 2 x}{x^{2} - 1} = \frac{(2 x^{2} + 2 x) : (x + 1)}{(x^{2} - 1) : (x + 1)} = \frac{2 x}{x - 1}$ .

Câu 8:

Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Xem đáp án

Ta có: $\frac{x - y}{x^{3} - y^{3}} = \frac{(x - y) .1}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})} = \frac{1}{x^{2} + x y + y^{2}}$ (Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung x – y).

Câu 9:

16/07/2024

Tròn thực hiện rút gọn như hình bên. Hỏi bạn tròn làm đúng hay sai? Vì sao?

Xem đáp án

Phân tích tử và mẫu thức thành nhân tử và rút gọn nhân tử chung ta có:

$\frac{x^{2} + 2 x}{3 x^{3} + 2 x} = \frac{x (x + 2)}{x (3 x^{2} + 2)} = \frac{x + 2}{3 x^{2} + 2}$ .

Vậy bạn Tròn đã làm sai.

Câu 10:

23/07/2024

Tìm a sao cho hai phân thức sau bằng nhau:

$\frac{- a x^{2} - a x}{x^{2} - 1}$ và $\frac{3 x}{x - 1}$ .

Xem đáp án

$\frac{- a x^{2} - a x}{x^{2} - 1} = \frac{- a x (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{- a x}{x - 1}$

Vậy để hai phân thức bằng nhau thì –ax = 3x suy ra a = –3.

Câu 11:

15/07/2024

Cho hai phân thức $\frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$ và $\frac{1}{3 x^{2} - 6 x}$ .

Phân tích các mẫu thức của hai phân thức đã cho thành nhân tử.

Xem đáp án

2x² + 2x = 2x(x + 1);

3x² – 6x = 3x(x – 2).

Câu 12:

18/07/2024

Cho hai phân thức $\frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$ và $\frac{1}{3 x^{2} - 6 x}$ .

Chọn mẫu thức chung (MTC) của hai mẫu thức trên bằng cách lấy tích của các nhân tử được chọn như sau:

- Nhân tử bằng số của MTC là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho (nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số ở MTC là BCNN của chúng);

- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.

Xem đáp án

Mẫu thức chung của $\frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$ và $\frac{1}{3 x^{2} - 6 x}$ là 6x(x + 1)(x – 2).

Câu 13:

Cho hai phân thức $\frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$ và $\frac{1}{3 x^{2} - 6 x}$ .

Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách lấy MTC chia cho mẫu thức đó.

Xem đáp án

Ta có: Nhân tử phụ của $\frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$ là: 6x(x + 1)(x – 2) : 2x(x + 1) = 3(x – 2)

Nhân tử phụ của $\frac{1}{3 x^{2} - 6 x}$ là: 6x(x + 1)(x – 2) : 3x(x – 2) = 2(x + 1).

Câu 14:

Cho hai phân thức $\frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$ và $\frac{1}{3 x^{2} - 6 x}$ .

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng, ta được các phân thức có mẫu thức là MTC đã chọn.

Xem đáp án

$\frac{1}{2 x^{2} + 2 x} = \frac{3 (x - 2)}{6 x (x + 1) (x - 2)}$

$\frac{1}{3 x^{2} - 6 x} = \frac{2 (x + 1)}{6 x (x + 1) (x - 2)}$

Câu 15:

21/07/2024

Quy đồng mẫu thức hai phân thức $\frac{1}{3 x^{2} - 3}$ và $\frac{1}{x^{3} - 1}$ .

Xem đáp án

Ta có: 3x² – 3 = 3(x² – 1) = 3(x + 1)(x – 1)

x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1)

MTC: 3(x + 1)(x – 1)(x² + x + 1).

Khi đó:

$\frac{1}{3 x^{2} - 3} = \frac{x^{2} + x + 1}{3 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ ;

$\frac{1}{x^{3} - 1} = \frac{3 (x + 1)}{3 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

Câu 16:

17/07/2024

Tròn nói hai phân thức $\frac{5}{x - 1}$ và $\frac{x}{1 - x}$ có MTC là x – 1. Vuông nói không đúng, MTC là (x – 1)(1 – x) chứ!

Theo em, bạn nào chọn MTC hợp lí hơn? Vì sao?

Xem đáp án

Tròn hợp lí hơn, đơn giản hơn vì: $\frac{x}{1 - x} = \frac{- x}{x - 1}$ .

Câu 17:

Dùng tính chất cơ bản của phân thức, giải thích vì sao các kết luận sau đúng.

a)

\frac{{(x - 2)}^{3}}{x^{2} - 2 x} = \frac{{(x - 2)}^{2}}{x}

;

Xem đáp án

a, $\frac{{(x - 2)}^{3}}{x^{2} - 2 x} = \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2)}{x (x - 2)} = \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2) : (x - 2)}{x (x - 2) : (x - 2)} = \frac{{(x - 2)}^{2}}{x}$

Câu 18:

Dùng tính chất cơ bản của phân thức, giải thích vì sao các kết luận sau đúng. b) $\frac{1 - x}{- 5 x + 1} = \frac{x - 1}{5 x - 1}$ .

Xem đáp án

b, $\frac{1 - x}{- 5 x + 1} = \frac{- (x - 1)}{- (5 x - 1)} = \frac{x - 1}{5 x - 1}$

Câu 19:

15/07/2024

Tìm đa thức thích hợp cho dấu “?”.

$\frac{y - x}{4 - x} = \frac{?}{x - 4}$ .

Xem đáp án

Ta có: $\frac{y - x}{4 - x} = \frac{- (x - y)}{- (x - 4)} = \frac{x - y}{x - 4}$ . Vậy đa thức cần tìm là x – y.

Câu 20:

Rút gọn các phân thức sau:

a) $\frac{5 x + 10}{25 x^{2} + 50}$ ;

Xem đáp án

a, $\frac{5 x + 10}{25 x^{2} + 50} = \frac{5 (x + 2)}{25 (x^{2} + 2)} = \frac{x + 2}{5 (x^{2} + 2)}$

Câu 21:

Rút gọn các phân thức sau:

b) $\frac{45 x (3 - x)}{15 x {(x - 3)}^{3}}$ ;

Xem đáp án

$\frac{45 x (3 - x)}{15 x {(x - 3)}^{3}} = \frac{- 45 x (x - 3)}{15 x {(x - 3)}^{3}} = \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Câu 22:

Rút gọn các phân thức sau:

c) $\frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{(x + 1) (x^{3} + 1)}$ .

Xem đáp án

c, $\frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{(x + 1) (x^{3} + 1)} = \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

$= \frac{(x - 1) (x + 1) (x - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} - x + 1}$

Câu 23:

Cho phân thức $P = \frac{x + 1}{x^{2} - 1}$ .

a) Rút gọn phân thức đã cho, kí hiệu Q là phân thức nhận được.

Xem đáp án

a, $P = \frac{x + 1}{x^{2} - 1} = \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{1}{x - 1}$ . Vậy $Q = \frac{1}{x - 1}$

Câu 24:

18/07/2024

b) Tính giá trị của P và Q tại x = 11. So sánh hai kết quả đó.

Xem đáp án

b, $P (11) = \frac{11 + 1}{11^{2} - 1} = \frac{12}{120} = \frac{1}{10}; Q (11) = \frac{1}{11 - 1} = \frac{1}{10}$

Ta thấy hai kết quả cùng bằng

\frac{1}{10}

.

Câu 25:

21/07/2024

Tìm a sao cho hai phân thức sau bằng nhau:

$\frac{5 x}{x + 1}$ và $\frac{a x (x - 1)}{(1 - x) (x + 1)}$ .

Xem đáp án

Ta có $\frac{a x (x - 1)}{(1 - x) (x + 1)} = \frac{- a x (1 - x)}{(1 - x) (x + 1)} = \frac{- a x}{x + 1}$ nên để hai phân thức $\frac{5 x}{x + 1}$ và $\frac{a x (x - 1)}{(1 - x) (x + 1)}$ bằng nhau thì 5x = –ax hay a = –5.

Câu 26:

20/07/2024

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) $\frac{1}{x^{3} - 8}$ và $\frac{3}{4 - 2 x}$ ;

Xem đáp án

a) MTC: 2(x – 2)(x² + 2x + 4)

$\frac{1}{x^{3} - 8} = \frac{2}{2 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$ ;

$\frac{3}{4 - 2 x} = \frac{- 3}{2 (x - 2)} = \frac{- 3 (x^{2} + 2 x + 4)}{2 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$ .

Câu 27:

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

b) $\frac{x}{x^{2} - 1}$ và $\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1}$ .

Xem đáp án

b) MTC: (x – 1)(x + 1)²

$\frac{x}{x^{2} - 1}$ = $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x (x + 1)}{(x - 1) {(x + 1)}^{2}}$ ;

$\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{(x - 1) {(x + 1)}^{2}}$ .

Câu 28:

23/07/2024

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) $\frac{1}{x + 2}; \frac{x + 1}{x^{2} - 4 x + 4}$ và $\frac{5}{2 - x}$ ;

Xem đáp án

a) MTC: (x + 2)(x – 2)²

$\frac{1}{x + 2} = \frac{{(x - 2)}^{2}}{(x + 2) {(x - 2)}^{2}}$ ;

$\frac{x + 1}{x^{2} - 4 x + 4} = \frac{x + 1}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(x + 1) (x + 2)}{(x + 2) {(x - 2)}^{2}}$ ;

\frac{5}{2 - x} = \frac{- 5}{x - 2} = \frac{- 5 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) {(x - 2)}^{2}}

.

Câu 29:

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

b) $\frac{1}{3 x + 3 y}; \frac{2 x}{x^{2} - y^{2}}$ và $\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$ .

Xem đáp án

b) MTC: 3(x + y)(x – y)²

$\frac{1}{3 x + 3 y} = \frac{1}{3 (x + y)} = \frac{{(x - y)}^{2}}{3 (x + y) {(x - y)}^{2}}$ ;

$\frac{2 x}{x^{2} - y^{2}} = \frac{2 x}{(x + y) (x - y)} = \frac{2 x .3 (x - y)}{3 (x + y) {(x - y)}^{2}}$ ;

\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x^{2} - 2 x y + y^{2}} = \frac{x^{2} - x y + y^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{3 (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{3 (x + y) {(x - y)}^{2}}

.

Câu 30:

20/07/2024

Cho hai phân thức $\frac{9 x^{2} + 3 x + 1}{27 x^{3} - 1}$ và $\frac{x^{2} - 4 x}{16 - x^{2}}$

a) Rút gọn hai phân thức đã cho.

Xem đáp án

a) Rút gọn

$\frac{9 x^{2} + 3 x + 1}{27 x^{3} - 1} = \frac{9 x^{2} + 3 x + 1}{{(3 x)}^{3} - 1^{3}} = \frac{9 x^{2} + 3 x + 1}{(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)} = \frac{1}{3 x - 1}$ ;

$\frac{x^{2} - 4 x}{16 - x^{2}} = \frac{x (x - 4)}{(4 + x) (4 - x)} = \frac{- x (4 - x)}{(4 + x) (4 - x)} = \frac{- x}{x + 4}$ .

Câu 31: