Sau bài học này ta biết được để tính thể tích của các khối tròn xoay, ta cần xác định khối tròn xoay đó được giới hạn bởi các đồ thị hàm số nào, sau đó, sử dụng tích phân để giải quyết.

Quan sát Hình 11, ta thấy:

+ Hình phẳng H1 được giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, x = 1, trục Ox và đồ thị hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 – x + 2.

+ Hình phẳng H2 được giới hạn bởi các đường thẳng x = 1, x = 2, trục Ox và đồ thị hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 – x + 2.

+ Hình phẳng H3 được giới hạn bởi các đường thẳng x = 2, x = 3, trục Ox và đồ thị hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 – x + 2.

Ta có:

.

.

.

Do đó, .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x2 – 2x, trục Ox và hai đường thẳng x = – 1, x = 3 là:

.

Ta có ; .

Khi đó, S = S1 – S2 = .

Mà .

Vậy .

Ta có: 10 – x2 > x2 + 2 với mọi x ∈ [– 2; 2].

Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = 10 – x2, y = x2 + 2 và hai đường thẳng x = – 2, x = 2 là:

.

Thể tích khối lập phương là V = 13 = 1.

Ta có .

Vậy thể tích khối lập phương đó bằng .

Thể tích của vật thể đã cho là:

.

Thể tích khối chóp cụt đều đó là:

.

Vì hay và h = b – a nên

.

Hàm số y = f(x) chính là phương trình của nửa đường tròn tâm O, bán kính r.

Ta có phương trình đường tròn tâm O, bán kính r là x2 + y2 = r2.

Suy ra y = f(x) = (do nửa đường tròn nằm phía trên trục Ox (Hình 24)).

Hình tròn tâm H bán kính f(x) có diện tích là S(x) = πf2(x).

Thể tích của hình cầu tâm O bán kính r là:

    .

Thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) = , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, , quay quanh trục Ox là:

    .

Đáp án đúng là: B

Hình thang cong ABCD được giới hạn bởi đồ thị các hàm số , y = – x + 3 và hai đường thẳng x = 1, x = 2.

Ta có với mọi x ∈ [1; 2].

Vậy diện tích của hình thang cong đó là:

.

Đáp án đúng là: B

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 quay quanh trục Ox là:

.

Ta có x + 1 > với mọi x ∈ [1; 2].

Vậy diện tích hình phẳng đó là:

.

Thể tích khối tròn xoay đó là:

.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(t), trục Ot và hai đường thẳng t = 0, t = 1 là: .

Do đó, biểu thị cho phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(t), trục Ot và hai đường thẳng t = 0, t = 1.

Chọn hệ tọa độ Oxy với gốc tọa độ O trùng với chân cửa bên trái như hình dưới đây.

Gọi đồ thị hàm số biểu thị cho cửa đã cho có dạng y = ax2 + bx + c (a ≠ 0).

Đồ thị hàm số này đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và các điểm (35; 21), (70; 0) nên 

.

Suy ra .

Diện tích mặt kính cần lắp V là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 70.

Ta có (m2).

Hình phẳng tô màu xanh trong Hình 34 được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), các đường thẳng y = 5, x = – 5, x = 10.

Diện tích hình phẳng này là:

(m2).

Cách 1:

Tam giác OMP là tam giác vuông tại P nên:

OP = OM ∙ = ℓ ∙ cos α; 

MP = OM ∙ = ℓ ∙ sin α; 

Khi đó, điểm M có tọa độ là . Suy ra .

Suy ra yM = xM ∙ tan α. Do đó điểm M thuộc đường thẳng y = x ∙ tan α.

Lại có điểm O cũng thuộc đường thẳng trên nên phương trình đường thẳng OM là:

y = x ∙ tan α.

Khi đó, tam giác OPM là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ∙ tan α, trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = ℓ ∙ cos α. Khối tròn xoay 𝒩 là khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox.

Thể tích khối tròn xoay này là:

.

Cách 2:

Tam giác OMP là tam giác vuông tại P nên:

OP = OM ∙ = ℓ ∙ cos α; 

MP = OM ∙ = ℓ ∙ sin α; 

Khi quay tam giác OPM quanh trục Ox ta được khối nón tròn xoay có bán kính đáy là r = MP = ℓ ∙ sin α và chiều cao h = OP = ℓ ∙ cos α.

Thể tích khối nón là:

.

Thể tích thùng rượu vang đó là: