Câu hỏi:
22/10/2026 2
Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Giả sử 
.
Gọi 𝒩 là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox (Hình 35). Tính thể tích của 𝒩 theo α và ℓ.
Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Giả sử .
Gọi 𝒩 là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox (Hình 35). Tính thể tích của 𝒩 theo α và ℓ.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Cách 1:
Tam giác OMP là tam giác vuông tại P nên:
OP = OM ∙ 
= ℓ ∙ cos α;
MP = OM ∙ 
= ℓ ∙ sin α;
Khi đó, điểm M có tọa độ là 
. Suy ra 
.
Suy ra yM = xM ∙ tan α. Do đó điểm M thuộc đường thẳng y = x ∙ tan α.
Lại có điểm O cũng thuộc đường thẳng trên nên phương trình đường thẳng OM là:
y = x ∙ tan α.
Khi đó, tam giác OPM là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ∙ tan α, trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = ℓ ∙ cos α. Khối tròn xoay 𝒩 là khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox.
Thể tích khối tròn xoay này là:
.
Cách 2:
Tam giác OMP là tam giác vuông tại P nên:
OP = OM ∙ = ℓ ∙ cos α;
MP = OM ∙ = ℓ ∙ sin α;
Khi quay tam giác OPM quanh trục Ox ta được khối nón tròn xoay có bán kính đáy là r = MP = ℓ ∙ sin α và chiều cao h = OP = ℓ ∙ cos α.
Thể tích khối nón là:
.
Cách 1:
Tam giác OMP là tam giác vuông tại P nên:
OP = OM ∙ = ℓ ∙ cos α;
MP = OM ∙ = ℓ ∙ sin α;
Khi đó, điểm M có tọa độ là . Suy ra .
Suy ra yM = xM ∙ tan α. Do đó điểm M thuộc đường thẳng y = x ∙ tan α.
Lại có điểm O cũng thuộc đường thẳng trên nên phương trình đường thẳng OM là:
y = x ∙ tan α.
Khi đó, tam giác OPM là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ∙ tan α, trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = ℓ ∙ cos α. Khối tròn xoay 𝒩 là khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox.
Thể tích khối tròn xoay này là:
.
Cách 2:
Tam giác OMP là tam giác vuông tại P nên:
OP = OM ∙ = ℓ ∙ cos α;
MP = OM ∙ = ℓ ∙ sin α;
Khi quay tam giác OPM quanh trục Ox ta được khối nón tròn xoay có bán kính đáy là r = MP = ℓ ∙ sin α và chiều cao h = OP = ℓ ∙ cos α.
Thể tích khối nón là:
.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Sau khi đo kích thước của thùng rượu vang (Hình 36), bạn Quân xác định thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = – 0,011x2 – 0,071x + 40, trục Ox và hai đường thẳng x = – 35, x = 35 quay quanh trục Ox. Tính thể tích thùng rượu vang đó, biết đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét.
Sau khi đo kích thước của thùng rượu vang (Hình 36), bạn Quân xác định thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = – 0,011x2 – 0,071x + 40, trục Ox và hai đường thẳng x = – 35, x = 35 quay quanh trục Ox. Tính thể tích thùng rượu vang đó, biết đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét.
Câu 2:
Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 – x + 2 có đồ thị được minh họa ở Hình 11.
Quan sát Hình 11, hãy cho biết các hình phẳng H1, H2, H3 lần lượt được giới hạn bởi các đường thẳng và đồ thị hàm số nào.
Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 – x + 2 có đồ thị được minh họa ở Hình 11.
Câu 3:
Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 – x + 2 có đồ thị được minh họa ở Hình 11.
Tính diện tích 
của các hình phẳng đó
Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 – x + 2 có đồ thị được minh họa ở Hình 11.
của các hình phẳng đóCâu 4:
Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 – x + 2 có đồ thị được minh họa ở Hình 11.
Gọi H là hợp của các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 3. Chứng tỏ rằng diện tích SH của hình phẳng H bằng 
.
Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 – x + 2 có đồ thị được minh họa ở Hình 11.
.Câu 5:
Trong Hình 13, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x2 – 2x, trục Ox và hai đường thẳng x = – 1, x = 3.
Trong Hình 13, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x2 – 2x, trục Ox và hai đường thẳng x = – 1, x = 3.
Câu 6:
Cho các hàm số y = 2x, y = x.
Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = 2x.
Gọi S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = x.
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = 2x, y = x và hai đường thẳng x = 1, x = 2 (Hình 14).
Biểu diễn S theo S1, S2.
Cho các hàm số y = 2x, y = x.
Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = 2x.
Gọi S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = x.
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = 2x, y = x và hai đường thẳng x = 1, x = 2 (Hình 14).
Biểu diễn S theo S1, S2.
Câu 7:
Cho các hàm số y = 2x, y = x.
Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = 2x.
Gọi S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = x.
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = 2x, y = x và hai đường thẳng x = 1, x = 2 (Hình 14).
So sánh S và 
Cho các hàm số y = 2x, y = x.
Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = 2x.
Gọi S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = x.
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = 2x, y = x và hai đường thẳng x = 1, x = 2 (Hình 14).
Câu 8:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = 10 – x2, y = x2 + 2 và hai đường thẳng x = – 2, x = 2.
Câu 9:
Cắt khối lập phương có cạnh bằng 1 bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại x, với 0 ≤ x ≤ 1 ta nhận được hình phẳng có diện tích là S(x) (Hình 17).
Tính S(x).
Cắt khối lập phương có cạnh bằng 1 bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại x, với 0 ≤ x ≤ 1 ta nhận được hình phẳng có diện tích là S(x) (Hình 17).
Câu 10:
Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x = 1 và x = 2. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại x (1 ≤ x ≤ 2) cắt vật thể đó theo hình phẳng có diện tích là S(x) = 2x. Tính thể tích V của phần vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng trên.
Câu 11:
Xét nửa hình tròn tâm O, bán kính r (Hình 24). Nửa hình tròn đó là hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f(x).
Tìm hàm số y = f(x).
Xét nửa hình tròn tâm O, bán kính r (Hình 24). Nửa hình tròn đó là hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f(x).
Tìm hàm số y = f(x).
Câu 12:
Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) = 
, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, 
. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.
, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox. Câu 13:
Hình thang cong ABCD ở Hình 28 có diện tích bằng:
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
Hình thang cong ABCD ở Hình 28 có diện tích bằng:
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 14:
Cho đồ thị hàm số y = ex và hình phẳng được tô màu như Hình 29.
Hình phẳng đó được giới hạn bởi các đường nào?
Cho đồ thị hàm số y = ex và hình phẳng được tô màu như Hình 29.
Hình phẳng đó được giới hạn bởi các đường nào?
Câu 15:
Cho đồ thị các hàm số 
, y = x + 1 và hình phẳng được tô màu như Hình 30.
Tính diện tích hình phẳng đó
Cho đồ thị các hàm số , y = x + 1 và hình phẳng được tô màu như Hình 30.
