Cho khối chóp cụt đều tạo bởi khối chóp đỉnh S, diện tích hai đáy lần lượt là B, B' và chiều cao h. Chọn trục Ox chứa đường cao của khối chóp và gốc O trùng với đỉnh S (Hình 21). Hai mặt phẳng đáy của khối chóp cụt đều lần lượt cắt Ox tại I và I'.

Đặt OI = b, OI' = a (a < b). Một mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại x (a ≤ x ≤ b), cắt khối chóp cụt đều theo hình phẳng có diện tích S(x). Người ta chứng minh rằng S(x) = . Tính thể tích khối chóp cụt đều đó.

Sau khi đo kích thước của thùng rượu vang (Hình 36), bạn Quân xác định thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = – 0,011x2 – 0,071x + 40, trục Ox và hai đường thẳng x = – 35, x = 35 quay quanh trục Ox. Tính thể tích thùng rượu vang đó, biết đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét.

Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 – x + 2 có đồ thị được minh họa ở Hình 11.

Gọi H là hợp của các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 3. Chứng tỏ rằng diện tích SH của hình phẳng H bằng .

Trong Hình 13, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x2 – 2x, trục Ox và hai đường thẳng x = – 1, x = 3.

Cho các hàm số y = 2x, y = x.

Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = 2x.

Gọi S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = x.

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = 2x, y = x và hai đường thẳng x = 1, x = 2 (Hình 14).

 Biểu diễn S theo S1, S2.

Cắt khối lập phương có cạnh bằng 1 bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại x, với 0 ≤ x ≤ 1 ta nhận được hình phẳng có diện tích là S(x) (Hình 17).

Xét nửa hình tròn tâm O, bán kính r (Hình 24). Nửa hình tròn đó là hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f(x).

Tìm hàm số y = f(x).

Quay nửa hình tròn đó quanh trục hoành, ta nhận được hình cầu tâm O bán kính r (Hình 25). Xét điểm M(x; f(x)) (– r ≤ x ≤ r) nằm trên nửa đường tròn tâm O bán kính r. Gọi H(x; 0) là hình chiếu của điểm M trên trục Ox. Khi quay nửa hình tròn quanh trục hoành, đoạn thẳng HM tạo nên một hình tròn tâm H bán kính f(x).

Tính diện tích S(x) của hình tròn đó theo f(x).

Từ đó, sử dụng công thức tính thể tích vật thể, hãy tính thể tích V của hình cầu tâm O bán kính r.

Hình thang cong ABCD ở Hình 28 có diện tích bằng:

A. .

B. .

C. .

D. .

Cho đồ thị hàm số y = ex và hình phẳng được tô màu như Hình 29.

Hình phẳng đó được giới hạn bởi các đường nào?