Do hàm số g(x) liên tục trên ℝ trừ điểm x = 0 nên hàm số g(x) liên tục tại x = 1.

Xét hàm số h(x) = x xác định với mọi x ∈ ℝ, ta thấy hàm số này liên tục trên ℝ nên nó cũng liên tục tại x = 1.

Do đó với x ≠ 0, hàm số $f\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}=\frac{g\left(x\right)}{x}$  liên tục tại x = 1.

+ Với x < 1 thì f(x) = 3 luôn liên tục trên (– ∞; 1).

+ Với 1 < x < 2 thì f(x) = ax + b luôn liên tục trên (1; 2).

+ Với x > 2 thì f(x) = 5 luôn liên tục trên (2; +∞).

Do đó, ta cần xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 và x = 2.

Ta có: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(ax+b\right)=a+b$ ; $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }3=3$ ; f(1) = 3;

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }5=5$; $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(ax+b\right)=2a+b$; f(2) = 5.

Để hàm số f(x) liên tục trên ℝ thì hàm số f(x) phải liên tục tại x = 1 và x = 2, tức là

 $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)\\ \underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}a+b=3\\ 2a+b=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}\right.$ .

Vậy a = 2, b = 1 thì hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

Hàm số đã cho luôn liên tục trên các khoảng (– ∞; 1) và (1; +∞).

Ta cần xét tính liên tục của hàm số đã cho tại x = 1.

Ta có: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(mx+1\right)=m+1$  ;

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x+1\right)=2$;

f(1) = m . 1 + 1 = m + 1.

Để hàm số f(x) liên tục trên ℝ thì $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)$ , tức là m + 1 = 2.

Suy ra m = 1.

Áp dụng tính chất: Các hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

a) $f\left(x\right)=\frac{x^3+x+1}{x^2-3x+2}$

ĐKXĐ: x² – 3x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 hoặc x ≠ 2.

Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là D = (– ∞; 1) ∪ (1; 2) ∪ (2; +∞).

Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (– ∞; 1), (1; 2), (2; +∞).

b) $g\left(x\right)=\frac{\cos x}{x^2+3x-4}$

ĐKXĐ: x² + 3x – 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ – 4 hoặc x ≠ 1.

Do đó, tập xác định của hàm số g(x) là D = (– ∞; – 4) ∪ (– 4; 1) ∪ (1; +∞).

Vậy hàm số g(x) liên tục trên các khoảng (– ∞; – 4), (– 4; 1), (1; +∞).

a) Xét hàm số $f\left(x\right)=x^2-\sqrt{x+1}$  xác định trên [– 1; +∞).

Do đó hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 2].

Mà f(1) =  $1-\sqrt{1+1}=1-\sqrt{2}$< 0 và f(2) =  $2^2-\sqrt{2+1}=4-\sqrt{3}>0$.

Suy ra f(1) . f(2) < 0.

Do đó, theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại điểm c ∈ (1; 2) sao cho f(c) = 0.

Tức là f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2).

Vậy phương trình  $x^2=\sqrt{x+1}$có nghiệm trong khoảng (1; 2).

b) Xét hàm số g(x) = cos x – x xác định trên ℝ.

Do đó hàm số g(x) liên tục trên đoạn [0; 1].

Mà g(0) = cos 0 – 0 = 1 > 0 và g(1) = cos 1 – 1 < 0.

Suy ra g(0) . g(1) < 0.

Do đó, theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại điểm c ∈ (0; 1) sao cho g(c) = 0.

Tức là g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

Vậy phương trình cos x = x có nghiệm trong khoảng (0; 1).