Lời giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{1}{{x - 3}}\) là x – 3 ≠ 0.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định của biểu thức \(M = \frac{1}{{3 + x}} + \frac{1}{{3 - x}}\) là 3 + x ≠ 0; 3 – x ≠ 0 hay x ≠ –3; x ≠ 3.

Ta có: \(M = \frac{1}{{3 + x}} + \frac{1}{{3 - x}}\)

\( = \frac{{1.\left( {3 - x} \right)}}{{\left( {3 + x} \right)\left( {3 - x} \right)}} + \frac{{1.\left( {3 + x} \right)}}{{\left( {3 + x} \right)\left( {3 - x} \right)}}\)

\( = \frac{{3 - x + 3 + x}}{{\left( {3 + x} \right)\left( {3 - x} \right)}} = \frac{6}{{9 - {x^2}}}\)

Ta thấy x = 0,5 thỏa mãn điều kiện xác định, do đó giá trị của M tại x = 0,5 là

\(M = \frac{6}{{9 - {{\left( {0,5} \right)}^2}}} = \frac{6}{{9 - \frac{1}{4}}} = \frac{{24}}{{35}}\).

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\frac{{{y^3} - {x^3}}}{{6{x^3}y}}:\frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{2xy}}\)

\( = \frac{{{y^3} - {x^3}}}{{6{x^3}y}}.\frac{{2xy}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}\)

\( = \frac{{\left( {{y^3} - {x^3}} \right).2xy}}{{6{x^3}y.\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {y - x} \right)\left( {{y^2} + xy + {x^2}} \right).2xy}}{{6{x^3}y.\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}\)

\( = \frac{{y - x}}{{3{x^2}}}\).

Lời giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức A là x² – y² ≠ 0 và 2y ≠ 0

\(A = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} - 1} \right).\frac{{x - y}}{{2y}}\)

\( = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} - \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}} \right).\frac{{x - y}}{{2y}}\)

\( = \frac{{{x^2} + {y^2} - {x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}.\frac{{x - y}}{{2y}}\)

\( = \frac{{2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}.\frac{{x - y}}{{2y}}\)

\( = \frac{y}{{x + y}}\)

Với x = 5; y = 7 ta thấy x² – y² = 5² – 7² = –24 ≠ 0 và 2y = 2.7 = 14 ≠ 0.

Do đó, giá trị của biểu thức A tại x = 5; y = 7 là:

\(A = \frac{y}{{x + y}} = \frac{7}{{5 + 7}} = \frac{7}{{12}}\).

b) Ta có: 2x² – xy = x(2x – y); y² – 4x² = (y – 2x)(y + 2x); 2x² + xy = x(2x + y).

Điều kiện xác định của biểu thức B là x ≠ 0; 2x – y ≠ 0 và 2x + y ≠ 0.

\(B = \frac{{2x + y}}{{2{x^2} - xy}} + \frac{{8y}}{{{y^2} - 4{x^2}}} + \frac{{2x - y}}{{2{x^2} + xy}}\)

\[ = \frac{{2x + y}}{{x\left( {2x - y} \right)}} + \frac{{8y}}{{\left( {y - 2x} \right)\left( {y + 2x} \right)}} + \frac{{2x - y}}{{x\left( {2x + y} \right)}}\]

\( = \frac{{2x + y}}{{x\left( {2x - y} \right)}} - \frac{{8y}}{{\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}} + \frac{{2x - y}}{{x\left( {2x + y} \right)}}\)

\[ = \frac{{{{\left( {2x + y} \right)}^2} - 8xy + {{\left( {2x - y} \right)}^2}}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}}\]

\( = \frac{{4{x^2} + 4xy + {y^2} - 8xy + 4{x^2} - 4xy + {y^2}}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}}\)

\( = \frac{{8{x^2} - 8xy + 2{y^2}}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}} = \frac{{2\left( {4{x^2} - 4xy + {y^2}} \right)}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}}\)

\( = \frac{{2{{\left( {2x - y} \right)}^2}}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}} = \frac{{2\left( {2x - y} \right)}}{{x\left( {2x + y} \right)}}\).

Ta thấy \(x = - \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó giá trị của B tại \(x = - \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}\) là:

\[B = \frac{{2.\left[ {2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) - \frac{3}{2}} \right]}}{{\frac{{ - 1}}{2}.\left[ {2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + \frac{3}{2}} \right]}} = \frac{{2.\frac{{ - 5}}{2}}}{{\frac{{ - 1}}{2}.\frac{1}{2}}} = \frac{{ - 5}}{{\frac{{ - 1}}{4}}} = 20\].

c) Điều kiện xác định của biểu thức C là x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ y.

\(C = \left( {\frac{{{x^2}}}{y} - \frac{{{y^2}}}{x}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} + \frac{1}{{x - y}}} \right) - \frac{x}{y}\)

\( = \left( {\frac{{{x^3} - {y^3}}}{{xy}}} \right)\left[ {\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) + \left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}} \right] - \frac{x}{y}\)

\( = \frac{{{x^3} - {y^3}}}{{xy}}.\frac{{{x^2} - {y^2} + {x^2} + xy + {y^2}}}{{{x^3} - {y^3}}} - \frac{x}{y}\)

\( = \frac{{2{x^2} + xy}}{{xy}} - \frac{x}{y}\)\( = \frac{{x\left( {2x + y} \right)}}{{xy}} - \frac{x}{y}\)

\( = \frac{{2x + y}}{y} - \frac{x}{y} = \frac{{2x + y - x}}{y} = \frac{{x + y}}{y}\).

Ta thấy x = –15; y = 5 thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó giá trị của biểu thức C tại x = –15; y = 5 là:

\(C = \frac{{ - 15 + 5}}{5} = \frac{{ - 10}}{5} = - 2\).

Lời giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức D là: 3x ≠ 0; x + 1≠ 0; \(\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} \ne 0\)

Xét 3x ≠ 0 ta có x ≠ 0.

Xét x + 1≠ 0 ta có x ≠ –1.

Xét \(\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} \ne 0\) ta có 2 – 4x ≠ 0 và x + 1 ≠ 0, hay \(x \ne \frac{1}{2}\) và x ≠ –1.

Vậy điều kiện xác định của biểu thức D là \(x \ne 0;x \ne - 1;x \ne \frac{1}{2}\).

b) Ta có:

\(D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 2.3x - 3.3x\left( {x + 1} \right)}}{{3x.\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{{x^2} + 2x + x + 2 + 6x - 9{x^2} - 9x}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{ - 8{x^2} + 2}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{2\left( {1 - 4{x^2}} \right).\left( {x + 1} \right)}}{{3x\left( {x + 1} \right).\left( {2 - 4x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{2\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}}{{3x.2\left( {1 - 2x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{1 + 2x}}{{3x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}} = \frac{{1 + 2x - 3x + {x^2} - 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{{x^2} - x}}{{3x}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{3x}} = \frac{{x - 1}}{3}\).

Ta thấy x = 5 947 thỏa mãn điều kiện xác định

Do đó, giá trị của biểu thức D tại x = 5 947 là:

\(D = \frac{{5947 - 1}}{3} = \frac{{5946}}{3} = 1982\) .

c*) Để D nhận giá trị nguyên thì \(\frac{{x - 1}}{3}\) phải nhận giá trị nguyên.

Lời giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức \(S\) là: x ≠ 0; x + 2 ≠ 0 hay x ≠ 0; x ≠ ‒2.

Ta có:

\(S = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} \cdot \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.1 - \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} - x\left( {x + 2} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

\( = \left[ {\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}} \right] - x\left( {x + 2} \right)\)

\( = \frac{{{x^2} + 4x + 4 - {x^2} - 6x - 4}}{x} - x\left( {x + 2} \right)\)

\( = \frac{{ - 2x}}{x} - x\left( {x + 2} \right)\)

\( = - 2 - {x^2} - 2x\)

Ta thấy x = 0,1 thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó, giá trị của biểu thức S tại x = 0,1 là:

S = ‒ 2 ‒ 0,1² ‒ 2.0,1 = –2 – 0,01 – 0,2 = ‒2,21.

b*) Ta có: S = ‒ 2 ‒ x² ‒ 2x = ‒ (x² + 2x + 1) ‒ 1 = ‒ (x + 1)² ‒ 1.

Suy ra S đạt giá trị lớn nhất khi ‒ (x+1)² ‒ 1 đạt giá trị lớn nhất.

Mà với mọi x, ta có (x + 1)² ≥ 0 hay ‒ (x + 1)² ‒ 1 ≤ ‒1.

Vậy giá trị lớn nhất của S là ‒1 khi (x + 1)² = 0 hay x = ‒ 1 (thoả mãn điều kiện xác định).

Lời giải

a) Vận tốc của ca nô thứ nhất đi xuôi dòng từ bến A đến bến B là: x + 4 (km/h).

Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến A đến bến B là: \(\frac{{24}}{{x + 4}}\) (giờ).

b) Vận tốc của ca nô thứ nhất đi ngược dòng từ bến B đến vị trí C là: x – 4 (km/h).

Quãng đường ca nô thứ nhất đi từ bến B đến vị trí C là: 24 – 8 = 16 (km).

Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến B đến vị trí C là: \(\frac{{16}}{{x - 4}}\)(giờ).

c) Tổng thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến A đến bến B và từ bến B đến vị trí C là:

\(\frac{{24}}{{x + 4}} + \frac{{16}}{{x - 4}} = \frac{{24\left( {x - 4} \right) + 16\left( {x + 4} \right)}}{{{x^2} - 16}}\)

\( = \frac{{24x - 96 + 16x + 64}}{{{x^2} - 16}} = \frac{{40x - 32}}{{{x^2} - 16}}\) (giờ).

Lời giải

a) Thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch là: \(\frac{{600}}{x}\)(giờ)

b) Số khẩu trang tổ sản xuất may được trong mỗi giờ theo thực tế là: x + 20 (chiếc).

Thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thực tế là: \(\frac{{600}}{{x + 20}}\)(giờ).

c) Tỉ số của thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thực tế và thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch là: