Câu hỏi:
17/06/2026 280
Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:
a) \(A = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} - 1} \right).\frac{{x - y}}{{2y}}\) tại x = 5; y = 7;
b) \(B = \frac{{2x + y}}{{2{x^2} - xy}} + \frac{{8y}}{{{y^2} - 4{x^2}}} + \frac{{2x - y}}{{2{x^2} + xy}}\) tại \(x = - \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}\);
c) \(C = \left( {\frac{{{x^2}}}{y} - \frac{{{y^2}}}{x}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} + \frac{1}{{x - y}}} \right) - \frac{x}{y}\) tại x = –15; y = 5.
Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:
a) \(A = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} - 1} \right).\frac{{x - y}}{{2y}}\) tại x = 5; y = 7;
b) \(B = \frac{{2x + y}}{{2{x^2} - xy}} + \frac{{8y}}{{{y^2} - 4{x^2}}} + \frac{{2x - y}}{{2{x^2} + xy}}\) tại \(x = - \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}\);
c) \(C = \left( {\frac{{{x^2}}}{y} - \frac{{{y^2}}}{x}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} + \frac{1}{{x - y}}} \right) - \frac{x}{y}\) tại x = –15; y = 5.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Điều kiện xác định của biểu thức A là x2 – y2 ≠ 0 và 2y ≠ 0
\(A = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} - 1} \right).\frac{{x - y}}{{2y}}\)
\( = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} - \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}} \right).\frac{{x - y}}{{2y}}\)
\( = \frac{{{x^2} + {y^2} - {x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}.\frac{{x - y}}{{2y}}\)
\( = \frac{{2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}.\frac{{x - y}}{{2y}}\)
\( = \frac{y}{{x + y}}\)
Với x = 5; y = 7 ta thấy x2 – y2 = 52 – 72 = –24 ≠ 0 và 2y = 2.7 = 14 ≠ 0.
Do đó, giá trị của biểu thức A tại x = 5; y = 7 là:
\(A = \frac{y}{{x + y}} = \frac{7}{{5 + 7}} = \frac{7}{{12}}\).
b) Ta có: 2x2 – xy = x(2x – y); y2 – 4x2 = (y – 2x)(y + 2x); 2x2 + xy = x(2x + y).
Điều kiện xác định của biểu thức B là x ≠ 0; 2x – y ≠ 0 và 2x + y ≠ 0.
\(B = \frac{{2x + y}}{{2{x^2} - xy}} + \frac{{8y}}{{{y^2} - 4{x^2}}} + \frac{{2x - y}}{{2{x^2} + xy}}\)
\[ = \frac{{2x + y}}{{x\left( {2x - y} \right)}} + \frac{{8y}}{{\left( {y - 2x} \right)\left( {y + 2x} \right)}} + \frac{{2x - y}}{{x\left( {2x + y} \right)}}\]
\( = \frac{{2x + y}}{{x\left( {2x - y} \right)}} - \frac{{8y}}{{\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}} + \frac{{2x - y}}{{x\left( {2x + y} \right)}}\)
\[ = \frac{{{{\left( {2x + y} \right)}^2} - 8xy + {{\left( {2x - y} \right)}^2}}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}}\]
\( = \frac{{4{x^2} + 4xy + {y^2} - 8xy + 4{x^2} - 4xy + {y^2}}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}}\)
\( = \frac{{8{x^2} - 8xy + 2{y^2}}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}} = \frac{{2\left( {4{x^2} - 4xy + {y^2}} \right)}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}}\)
\( = \frac{{2{{\left( {2x - y} \right)}^2}}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}} = \frac{{2\left( {2x - y} \right)}}{{x\left( {2x + y} \right)}}\).
Ta thấy \(x = - \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}\) thỏa mãn điều kiện xác định.
Do đó giá trị của B tại \(x = - \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}\) là:
\[B = \frac{{2.\left[ {2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) - \frac{3}{2}} \right]}}{{\frac{{ - 1}}{2}.\left[ {2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + \frac{3}{2}} \right]}} = \frac{{2.\frac{{ - 5}}{2}}}{{\frac{{ - 1}}{2}.\frac{1}{2}}} = \frac{{ - 5}}{{\frac{{ - 1}}{4}}} = 20\].
c) Điều kiện xác định của biểu thức C là x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ y.
\(C = \left( {\frac{{{x^2}}}{y} - \frac{{{y^2}}}{x}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} + \frac{1}{{x - y}}} \right) - \frac{x}{y}\)
\( = \left( {\frac{{{x^3} - {y^3}}}{{xy}}} \right)\left[ {\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) + \left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}} \right] - \frac{x}{y}\)
\( = \frac{{{x^3} - {y^3}}}{{xy}}.\frac{{{x^2} - {y^2} + {x^2} + xy + {y^2}}}{{{x^3} - {y^3}}} - \frac{x}{y}\)
\( = \frac{{2{x^2} + xy}}{{xy}} - \frac{x}{y}\)\( = \frac{{x\left( {2x + y} \right)}}{{xy}} - \frac{x}{y}\)
\( = \frac{{2x + y}}{y} - \frac{x}{y} = \frac{{2x + y - x}}{y} = \frac{{x + y}}{y}\).
Ta thấy x = –15; y = 5 thỏa mãn điều kiện xác định.
Do đó giá trị của biểu thức C tại x = –15; y = 5 là:
\(C = \frac{{ - 15 + 5}}{5} = \frac{{ - 10}}{5} = - 2\).
Lời giải
a) Điều kiện xác định của biểu thức A là x2 – y2 ≠ 0 và 2y ≠ 0
\(A = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} - 1} \right).\frac{{x - y}}{{2y}}\)
\( = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} - \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}} \right).\frac{{x - y}}{{2y}}\)
\( = \frac{{{x^2} + {y^2} - {x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}.\frac{{x - y}}{{2y}}\)
\( = \frac{{2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}.\frac{{x - y}}{{2y}}\)
\( = \frac{y}{{x + y}}\)
Với x = 5; y = 7 ta thấy x2 – y2 = 52 – 72 = –24 ≠ 0 và 2y = 2.7 = 14 ≠ 0.
Do đó, giá trị của biểu thức A tại x = 5; y = 7 là:
\(A = \frac{y}{{x + y}} = \frac{7}{{5 + 7}} = \frac{7}{{12}}\).
b) Ta có: 2x2 – xy = x(2x – y); y2 – 4x2 = (y – 2x)(y + 2x); 2x2 + xy = x(2x + y).
Điều kiện xác định của biểu thức B là x ≠ 0; 2x – y ≠ 0 và 2x + y ≠ 0.
\(B = \frac{{2x + y}}{{2{x^2} - xy}} + \frac{{8y}}{{{y^2} - 4{x^2}}} + \frac{{2x - y}}{{2{x^2} + xy}}\)
\[ = \frac{{2x + y}}{{x\left( {2x - y} \right)}} + \frac{{8y}}{{\left( {y - 2x} \right)\left( {y + 2x} \right)}} + \frac{{2x - y}}{{x\left( {2x + y} \right)}}\]
\( = \frac{{2x + y}}{{x\left( {2x - y} \right)}} - \frac{{8y}}{{\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}} + \frac{{2x - y}}{{x\left( {2x + y} \right)}}\)
\[ = \frac{{{{\left( {2x + y} \right)}^2} - 8xy + {{\left( {2x - y} \right)}^2}}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}}\]
\( = \frac{{4{x^2} + 4xy + {y^2} - 8xy + 4{x^2} - 4xy + {y^2}}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}}\)
\( = \frac{{8{x^2} - 8xy + 2{y^2}}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}} = \frac{{2\left( {4{x^2} - 4xy + {y^2}} \right)}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}}\)
\( = \frac{{2{{\left( {2x - y} \right)}^2}}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}} = \frac{{2\left( {2x - y} \right)}}{{x\left( {2x + y} \right)}}\).
Ta thấy \(x = - \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}\) thỏa mãn điều kiện xác định.
Do đó giá trị của B tại \(x = - \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}\) là:
\[B = \frac{{2.\left[ {2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) - \frac{3}{2}} \right]}}{{\frac{{ - 1}}{2}.\left[ {2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + \frac{3}{2}} \right]}} = \frac{{2.\frac{{ - 5}}{2}}}{{\frac{{ - 1}}{2}.\frac{1}{2}}} = \frac{{ - 5}}{{\frac{{ - 1}}{4}}} = 20\].
c) Điều kiện xác định của biểu thức C là x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ y.
\(C = \left( {\frac{{{x^2}}}{y} - \frac{{{y^2}}}{x}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} + \frac{1}{{x - y}}} \right) - \frac{x}{y}\)
\( = \left( {\frac{{{x^3} - {y^3}}}{{xy}}} \right)\left[ {\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) + \left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}} \right] - \frac{x}{y}\)
\( = \frac{{{x^3} - {y^3}}}{{xy}}.\frac{{{x^2} - {y^2} + {x^2} + xy + {y^2}}}{{{x^3} - {y^3}}} - \frac{x}{y}\)
\( = \frac{{2{x^2} + xy}}{{xy}} - \frac{x}{y}\)\( = \frac{{x\left( {2x + y} \right)}}{{xy}} - \frac{x}{y}\)
\( = \frac{{2x + y}}{y} - \frac{x}{y} = \frac{{2x + y - x}}{y} = \frac{{x + y}}{y}\).
Ta thấy x = –15; y = 5 thỏa mãn điều kiện xác định.
Do đó giá trị của biểu thức C tại x = –15; y = 5 là:
\(C = \frac{{ - 15 + 5}}{5} = \frac{{ - 10}}{5} = - 2\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một tổ sản xuất theo kế hoạch phải may 600 chiếc khẩu trang trong thời gian quy định. Do tăng năng suất lao động, mỗi giờ tổ sản xuất đó may được nhiều hơn kế hoạch 20 chiếc. Gọi x là số khẩu trang mà tổ sản xuất phải may trong mỗi giờ theo kế hoạch (x ∈ ℕ*, x < 600). Viết phân thức biểu thị theo x:
a) Thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch;
b) Thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thực tế;
c) Tỉ số của thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thực tế và thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch.
Một tổ sản xuất theo kế hoạch phải may 600 chiếc khẩu trang trong thời gian quy định. Do tăng năng suất lao động, mỗi giờ tổ sản xuất đó may được nhiều hơn kế hoạch 20 chiếc. Gọi x là số khẩu trang mà tổ sản xuất phải may trong mỗi giờ theo kế hoạch (x ∈ ℕ*, x < 600). Viết phân thức biểu thị theo x:
a) Thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch;
b) Thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thực tế;
c) Tỉ số của thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thực tế và thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch.
Câu 2:
Cho biểu thức:
\(D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\).
a) Viết điều kiện xác định của biểu thức D.
b) Tính giá trị của biểu thức D tại x = 5 947.
c*) Tìm giá trị của x để D nhận giá trị nguyên.
Cho biểu thức:
\(D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\).
a) Viết điều kiện xác định của biểu thức D.
b) Tính giá trị của biểu thức D tại x = 5 947.
c*) Tìm giá trị của x để D nhận giá trị nguyên.
Câu 3:
Hai ca nô cùng xuất phát đi xuôi dòng từ bến A đến bến B dài 24 km. Ca nô thứ nhất đến bến B trước và quay trở lại thì gặp ca nô thứ hai tại vị trí C cách bến A là 8 km. Biết tốc độ của dòng nước là 4 km/h. Gọi x km/h là tốc độ của ca nô thứ nhất (x > 4). Viết phân thức biểu thị theo x:
a) Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến A đến bến B;
b) Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến B đến vị trí C;
c) Tổng thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến A đến bến B và từ bến B đến vị trí C.
Hai ca nô cùng xuất phát đi xuôi dòng từ bến A đến bến B dài 24 km. Ca nô thứ nhất đến bến B trước và quay trở lại thì gặp ca nô thứ hai tại vị trí C cách bến A là 8 km. Biết tốc độ của dòng nước là 4 km/h. Gọi x km/h là tốc độ của ca nô thứ nhất (x > 4). Viết phân thức biểu thị theo x:
a) Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến A đến bến B;
b) Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến B đến vị trí C;
c) Tổng thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến A đến bến B và từ bến B đến vị trí C.
Câu 4:
Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{1}{{x - 3}}\) là
A. x – 3 > 0.
B. x – 3 < 0.
C. x – 3 ≠ 0.
D. x – 3 = 0.
Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{1}{{x - 3}}\) là
A. x – 3 > 0.
B. x – 3 < 0.
C. x – 3 ≠ 0.
D. x – 3 = 0.
Câu 5:
Thương của phép chia phân thức \(\frac{{{y^3} - {x^3}}}{{6{x^3}y}}\) cho phân thức \(\frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{2xy}}\) là
A. \(\frac{{y - x}}{{3x}}\).
B. \(\frac{{x - y}}{{3{x^2}}}\).
C. \(\frac{{x - y}}{{3x}}\).
D. \(\frac{{y - x}}{{3{x^2}}}\).
Thương của phép chia phân thức \(\frac{{{y^3} - {x^3}}}{{6{x^3}y}}\) cho phân thức \(\frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{2xy}}\) là
A. \(\frac{{y - x}}{{3x}}\).
B. \(\frac{{x - y}}{{3{x^2}}}\).
C. \(\frac{{x - y}}{{3x}}\).
D. \(\frac{{y - x}}{{3{x^2}}}\).
Câu 6:
Cho biểu thức:
\(S = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} \cdot \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\).
a) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức S tại x = 0,1.
b*) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S.
Cho biểu thức:
\(S = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} \cdot \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\).
a) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức S tại x = 0,1.
b*) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S.
Câu 7:
Giá trị của biểu thức \(M = \frac{1}{{3 + x}} + \frac{1}{{3 - x}}\) tại x = 0,5 là
A. \(\frac{{22}}{{37}}\).
B. \(\frac{{22}}{{35}}\).
C. \(\frac{{24}}{{35}}\).
D. \(\frac{{24}}{{37}}\).
Giá trị của biểu thức \(M = \frac{1}{{3 + x}} + \frac{1}{{3 - x}}\) tại x = 0,5 là
A. \(\frac{{22}}{{37}}\).
B. \(\frac{{22}}{{35}}\).
C. \(\frac{{24}}{{35}}\).
D. \(\frac{{24}}{{37}}\).
