Hướng dẫn giải

+) Hình a:

Xét ∆ABC và ∆ADC ta có:  

AB  = AD (giả thiết)

\(\widehat {ABC}\) = \(\widehat {ADC}\) = 90° (giả thiết)

BC = CD (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆ADC (hai cạnh góc vuông).

+) Hình b

Xét ∆EFG và ∆KHG ta có:

GF = GH (giả thiết)

\(\widehat {FEG}\) = \(\widehat {HKG}\) = 90° (giả thiết)

\(\widehat {EGF}\) = \(\widehat {HGK}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆EFG = KHG (góc nhọn – cạnh huyền)

+) Hình c:

Tam giác OMN vuông tại M nên \(\widehat {ONM} + \widehat O = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ONM} = 90^\circ - \widehat O\).

Tam giác OQP vuông tại Q nên \(\widehat {OPQ} + \widehat O = 90^\circ \Rightarrow \widehat {OPQ} = 90^\circ - \widehat O\).

Do đó, \(\widehat {ONM} = \widehat {OPQ}\).

Xét ∆OMN và ∆OQP ta có:

MN = PQ (giả thiết)

\(\widehat {OMN}\) = \(\widehat {OQP}\) = 90^o (giả thiết)

\(\widehat {ONM} = \widehat {OPQ}\) (chứng minh trên)

Do đó, ∆OMN = ∆OQP (góc nhọn – cạnh góc vuông).

+) Hình d:

Xét ∆XYZ và ∆STZ ta có:

YZ = TZ (giả thiết)

\(\widehat {YXZ}\) = \(\widehat {TSZ}\) = 90° (giả thiết)

XZ = SZ (giả thiết)

Do đó, ∆XYZ = ∆STZ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABE và ∆DCE ta có:  

BE = CE (giả thiết)

\(\widehat {ABE}\) = \(\widehat {ECD}\) = 90° (giả thiết)

\(\widehat {AEB}\) = \(\widehat {CED}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆ABE = ∆CDE (góc nhọn – cạnh góc vuông).

Hướng dẫn giải

Xét ∆AED và ∆BEC ta có:  

AE = BE (giả thiết)

\(\widehat {AED}\) = \(\widehat {BEC}\) = 90° (do AC và DB vuông góc với nhau)

ED = EC (giả thiết)

Do đó, ∆AED = ∆BEC (hai cạnh góc vuông).

Hướng dẫn giải

Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED. Mà AE = BE; EC = ED nên AC = BD.

Vì ∆AED = ∆BEC nên AD = BC (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆ABC và ∆BAD có:  

BC = AD (chứng minh trên)

AB chung

AC = BD (chứng minh trên)

Do đó, ∆ABC = ∆BAD (c – c – c).

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Vì N là trung điểm của AD nên AN = ND = \(\frac{{AD}}{2}\).

Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB = \(\frac{{AB}}{2}\).

Mà AB = AD nên AN = BM.

Xét ∆ANB và ∆BMC có:

AN = BM (chứng minh trên)

AB = BC (chứng minh trên)

\(\widehat {NAB}\) = \(\widehat {MBC}\) = 90° (do ABCD là hình vuông)

Do đó, ∆ANB = ∆BMC (hai cạnh góc vuông)

Suy ra, BN = CM (hai cạnh tương ứng).

Gọi E là giao điểm của BN và CM.

Do ∆ANB = ∆BMC nên \(\widehat {EMB} = \widehat {CMB} = \widehat {BNA}\).

Từ định lí tổng ba góc trong tam giác BME và tam giác ABN, ta suy ra:

\(\widehat {BEM} = 180^\circ - \widehat {EMB} - \widehat {MBE} = 180^\circ - \widehat {BNA} - \widehat {ABN} = \widehat {BAN} = 90^\circ \).

Vậy BN vuông góc với CM tại E.

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABC và ∆ABD có:

AB chung

\(\widehat {CAB}\) = \(\widehat {DAB}\) (giả thiết)

\(\widehat {ACB}\) = \(\widehat {ADB}\) = 90° (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆ABD (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra CB = DB.

Hướng dẫn giải

Vì ∆ABC = ∆DEF nên  

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BAC} = \widehat {EDF};\,\,\,\widehat B = \widehat E;\,\,\,\widehat C = \widehat F\\AB = DE;\,\,\,AC = DF;\,\,BC = EF\end{array} \right.\) (các góc tương ứng và các cạnh tương ứng bằng nhau).

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Do đó, \(\widehat {AHB} = 90^\circ \).

Vì DK là đường cao của tam giác DEF nên DK vuông góc với EF. Do đó, \(\widehat {DKE} = 90^\circ \).

Xét ∆ABH và ∆DEK có:  

\(\widehat {AHB} = \widehat {DKE} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

AB = DE (chứng minh trên)

\(\widehat B = \widehat E\) (chứng minh trên)

Do đó, ∆ABH = ∆DEK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AH = DK.

Hướng dẫn giải

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Do đó, \(\widehat {AHB} = 90^\circ \).

Vì DK là đường cao của tam giác DEF nên DK vuông góc với EF. Do đó, \(\widehat {DKE} = 90^\circ \).

Xét ∆ABH và ∆DEK có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {DKE} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

AB = DE (giả thiết)

AH = DK (giả thiết)

Do đó, ∆ABH = ∆DEK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, \(\widehat B = \widehat E\) (hai góc tương ứng).

Xét ∆ABC và ∆DEF có:

\(\widehat B = \widehat E\) (chứng minh trên)

AB = DE (giả thiết)

BC = EF (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆DEF (c – g – c).

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Do đó, \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \).

Vì DK là đường cao của tam giác DEF nên DK vuông góc với EF. Do đó, \(\widehat {DKE} = \widehat {DKF} = 90^\circ \).

Xét ∆ABH và ∆DEK có:  

\(\widehat {AHB} = \widehat {DKE} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

AB = DE (giả thiết)

AH = DK (giả thiết)

Do đó, ∆ABH = ∆DEK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, BH = EK.

Xét ∆ACH và ∆DFK có:

\(\widehat {AHC} = \widehat {DKF} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

AC = DF (giả thiết)

AH = DK (giả thiết)

Do đó, ∆ACH = ∆DFK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, CH = FK.

Ta có: BC = BH + HC; EF = EK + FK. Mà BH = EK; HC = FK nên BC = EF.

Xét ∆ABC và ∆DEF có:

BC = EF (chứng minh trên)

AC = DF (giả thiết)

AB = DE (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆DEF (c – c – c).

Hướng dẫn giải

Gọi giao điểm của AC và BD là O.

Xét ∆ABC và ∆DCB có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {CDB} = 90^\circ \) (giả thiết)

AB = CD (giả thiết)

BC chung

Do đó, ∆ABC = ∆DCB (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, AC = BD (hai cạnh tương ứng).

Vì ∆ABC = ∆DCB nên \(\widehat {ACB} = \widehat {DBC}\) (hai góc tương ứng)

Xét tam giác OBC có:  

\(\widehat {OCB} + \widehat {CBO} + \widehat {BOC}\) = 180°.

Mà \(\widehat {OCB} = \widehat {CBO}\) do \(\widehat {ACB} = \widehat {DBC}\) nên \(2\widehat {CBO} + \widehat {BOC}\)= 180°

Suy ra \(2\widehat {CBO}\) = 180° – \(\widehat {BOC}\)

Do đó, \(\widehat {CBO} = \frac{{180^\circ - \widehat {BOC}}}{2}\) (1)

Xét ∆ABD và ∆DCA có:  

AB = CD (giả thiết)

BD = AC (chứng minh trên)

AD chung

Do đó, ∆ABD = ∆DCA (c – c – c).

Suy ra, \(\widehat {ADB} = \widehat {DAC}\).

Xét tam giác OAD có:

\(\widehat {OAD} + \widehat {ADO} + \widehat {AOD}\) = 180°.

Mà \(\widehat {OAD} = \widehat {ADO}\) do \(\widehat {ADB} = \widehat {DAC}\) nên \(2\widehat {ADO} + \widehat {AOD}\)= 180°

Suy ra \(2\widehat {ADO}\) = 180° – \(\widehat {AOD}\)

Do đó, \(\widehat {ADO} = \frac{{180^\circ - \widehat {AOD}}}{2}\) (2)

Mà \(\widehat {AOD}\) = \(\widehat {BOC}\) (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra, \(\widehat {CBO} = \)\(\widehat {ADO}\) hay \(\widehat {CBD} = \widehat {ADB}\).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC; AB = CD.

Ta có: AD = AE + ED; BC = BF + FC mà FC = AE (gt) và AD = BC nên ED = BF.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên \(\widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDA} = \widehat {DAB} = 90^\circ \).

Xét ∆ABF và ∆CDE có:

AB = CD (chứng minh trên)

BF = ED (chứng minh trên)

\(\widehat {ABF} = \widehat {CDE} = 90^\circ \)(do \(\widehat {ABC} = \widehat {CDA} = 90^\circ \))

Do đó, ∆ABF = ∆CDE (hai cạnh góc vuông).

Suy ra, AF = CE.

Hướng dẫn giải:

Vì ∆ABF = ∆CDE nên \(\widehat {AFB} = \widehat {CED}\) (hai góc tương ứng).

Lại có ABCD là hình chữ nhật nên AD // BC nên \(\widehat {CED} = \widehat {ECF}\)(hai góc so le trong).

Ta có: \(\widehat {AFB} = \widehat {CED}\); \(\widehat {CED} = \widehat {ECF}\) nên \(\widehat {AFB} = \widehat {ECF}\).

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Nên AF // CE (điều phải chứng minh).

Hướng dẫn giải

 Xét ∆ABD và ∆CED có:  

\(\widehat {ADB} = \widehat {CDE} = 90^\circ \) (giả thiết)

DA = DC (giả thiết)

DB = DE (giả thiết)

Do đó, ∆ABD = ∆CED (hai cạnh góc vuông).

Suy ra, AB = CE (hai cạnh tương ứng).

Hướng dẫn giải:

Vì ∆ABD = ∆CED nên \(\widehat {BAD} = \widehat {ECD}\)(hai góc tương ứng).

Lại có: \(\widehat {BAD} + \widehat {ABC} = 90^\circ \) (do tam giác ABD vuông ở D) nên \(\widehat {ECD} + \widehat {ABC} = 90^\circ \).

Xét tam giác BFC có:

\(\widehat {BFC} + \widehat {CBF} + \widehat {BCF} = 180^\circ \)

Mà \(\widehat {CBF}\)chính là góc \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {BCF}\) chính là góc \(\widehat {ECD}\).

Do đó, \(\widehat {CBF}\) + \(\widehat {BCF}\) = 90°.

Nên \(\widehat {BFC}\) + 90° = 180°

Suy ra \(\widehat {BFC}\) = 180° – 90° = 90° (điều phải chứng minh).