Đáp án đúng là: C

Vì là số chẵn nên chữ số hàng đơn vị chỉ có thể là 0.

Chọn chữ số hàng nghìn có 4 cách chọn.

Chọn chữ số hàng trăm có 3 cách chọn.

Chọn chữ số hàng chục có 2 cách chọn.

Số số lập được là:

4 . 3 . 2 = 24 (số).

Đáp án đúng là: D

Mỗi cách sắp xếp 5 người vào dãy 6 ghế là một chỉnh hợp chập 5 của 6. Do đó, có số cách sắp xếp là \(A_6^5 = 720\) cách.

Đáp án đúng là: A

Xếp bạn Châu ngồi giữa có 1 cách.

Xếp 4 bạn sinh Anh, Chánh, Hằng, Loan vào 4 chỗ còn lại, mỗi cách xếp là một hoán vị của 4 phần tử nên có 4! = 24 cách.

Vậy có 1 . 24 = 24 cách xếp.

Đáp án đúng là: A

Chọn ra một nhóm gồm 3 học sinh bất kì trong 40 học sinh có \(C_{40}^3\) (cách chọn).

Chọn ra một nhóm gồm 3 học sinh toàn là nam có \(C_{25}^3\) (cách chọn).

Số cách chọn ra một nhóm 3 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nữ là:

\(C_{40}^3 - C_{25}^3 = 7580\) (cách chọn).

Đáp án đúng là: C

Số cách lấy 2 viên bi cùng màu hồng là \(C_4^2 = 6\).

Số cách lấy 2 viên bi cùng màu tím là \(C_3^2 = 3\).

Như vậy, số cách lấy được hai viên bi cùng màu là: 6 + 3 = 9 (cách).

Đáp án đúng là: C

Ta có:

(2x – 5)⁵

\( = C_5^0.{\left( {2x} \right)^5} + C_5^1.{\left( {2x} \right)^4}.\left( { - 5} \right) + C_5^2.{\left( {2x} \right)^3}.{\left( { - 5} \right)^2} + C_5^3.{\left( {2x} \right)^2}.{\left( { - 5} \right)^3} + C_5^4.\left( {2x} \right).{\left( { - 5} \right)^4} + C_5^5.{\left( { - 5} \right)^5}\)

= 32x⁵ – 400x⁴ + 2000x³ – 5000x² + 6250x – 3125.

Do đó, số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của (2x – 5)⁵ là – 3125.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow x = \overrightarrow y \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 2a - 3\\ - 2a + 3b = 4b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 3\\2a + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: D

ABCD là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - \left( { - 1} \right) = 4 - {x_D}\\2 - \left( { - 2} \right) = - 1 - {y_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 0\\{y_D} = - 5\end{array} \right.\).

Vậy D(0; – 5).

Đáp án đúng là: C

Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương \( \Leftrightarrow \overrightarrow a = k\overrightarrow b \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 = k\left( {2m + 6} \right)\\ - m = k\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - 2\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,\, - 1} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {4;\,\, - 3} \right)\).

Do đó, \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( { - 2} \right) \cdot 4 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = - 8 + 3 = - 5\).

Đáp án đúng là: B

Cách 1. Thay tọa độ các điểm A, B lần lượt vào các phương trình trong các đáp án thì thấy đáp án B không thỏa mãn.

Cách 2. Nhận thấy rằng các phương trình ở các đáp án A, C, D thì vectơ chỉ phương của các đường thẳng đó cùng phương, riêng chủ có đáp án B thì không. Do đó chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Do đường thẳng ∆ có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;\,\,2} \right)\) nên đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 1} \right)\).

Do đó, phương trình tham số của đường thẳng ∆ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2t\\y = - 5 - t\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách từ điểm M(5; – 1) đến d: 3x + 2y + 13 = 0 là

\(d\left( {M,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 5 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 13} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{{26}}{{\sqrt {13} }} = 2\sqrt {13} \).

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng a có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {6;\,\, - 5} \right)\);

Đường thẳng b có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 6;\,\,5} \right)\) nên nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5;\,6} \right)\).

Ta thấy: \(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 6 \cdot 5 + \left( { - 5} \right) \cdot 6 = 0\).

Suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng 90°.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( {2;\,\,3} \right)\).

Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC nhận \(\overrightarrow {BC} \) làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm A nên có phương trình là: 2(x – 1) + 3(y – 2) = 0 hay 2x + 3y – 8 = 0.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 8 - \left( {m + 1} \right)t\\y = 10 + t\end{array} \right.\).

Từ đó suy ra, đường thẳng d₁ đi qua điểm A(8; 10) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - m - 1;\,\,1} \right)\), do đó nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\,\,m + 1} \right)\).

Ta có: d₂: mx + 2y – 14 = 0.

Từ đó suy ra đường thẳng d₂ có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {m;\,\,2} \right)\).

\({d_1}\,{\rm{//}}\,{d_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \notin {d_2}\\\left[ \begin{array}{l}m = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\,\,1} \right)\\\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;\,\,2} \right)\end{array} \right.(ktm)\\m \ne 0 \to \frac{1}{m} = \frac{{m + 1}}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8m + 6 \ne 0\\m \ne 0\\m\left( {m + 1} \right) = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 2\end{array} \right.\).

Vậy m ∈ {– 2; 1} thì d₁ // d₂.

Vì trong 5 người được chọn phải có ít nhất 1 nữ và ít nhất phải có 2 nam nên số học sinh nữ gồm 1 hoặc 2 hoặc 3 nên ta có các trường hợp sau:

• Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 4 nam.

 +) Số cách chọn 1 nữ: 5 cách

 +) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: \(A_{15}^2\)

 +) Số cách chọn 2 nam còn lại: \(C_{13}^2\)

Suy ra có \(5A_{15}^2.C_{13}^2\) cách chọn cho trường hợp này.

• Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam.

 +) Số cách chọn 2 nữ: \(C_5^2\) cách.

 +) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: \(A_{15}^2\)cách.

 +) Số cách chọn 1 còn lại: 13 cách.

Suy ra có \[13A_{15}^2.C_5^2\] cách chọn cho trường hợp này.

• Trường hợp 3: Chọn 3 nữ và 2 nam.

 +) Số cách chọn 3 nữ : \(C_5^3\) cách.

 +) Số cách chọn 2 làm đội trưởng và đội phó: \(A_{15}^2\) cách.

Suy ra có \(A_{15}^2.C_5^3\) cách chọn cho trường hợp 3.

Vì các trường hợp là rời nhau. Vậy nên ta có \(5A_{15}^2.C_{13}^2 + 13A_{15}^2.C_5^2 + A_{15}^2.C_5^3 = 111\,300\) cách.

Gọi tọa độ các điểm A, B và M là A(x_A; y_A); B(x_B; y_B) và M(x_M; y_M).

Vì A thuộc d₁ nên 2x_A – y_A – 2 = 0. Suy ra y_A = 2x_A – 2.

Vì B thuộc d₂ nên x_B + y_B + 3 = 0. Suy ra y_B = – x_B – 3.

Do M là trung điểm của đoạn AB nên

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = 2{y_M}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 6\\\left( {2{x_A} - 2} \right) + \left( { - {x_B} - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = \frac{{11}}{3}\\{y_A} = \frac{{16}}{3}\end{array} \right.\).

Suy ra \(A\left( {\frac{{11}}{3};\,\,\frac{{16}}{3}} \right)\).

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A và điểm M.

Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( { - \frac{2}{3};\,\, - \frac{{16}}{3}} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_{AM}}} = \left( {1;\,\,8} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AM}}} = \left( {8;\,\, - 1} \right)\).

Đường thẳng ∆ đi qua M(3; 0) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{AM}}} \) nên có phương trình là

8(x – 3) – (y – 0) = 0 hay 8x – y – 24 = 0.

Ta có: S = \(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n\)

Suy ra 2S = \[\left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n} \right]\] + \(\left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n} \right]\)

Lại có: \(C_n^k = C_n^{n - k}\) (tính chất tổ hợp).

Do đó, 2S = \[\left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n} \right]\] + \[\left[ {C_{2n + 1}^{2n + 1} + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n - 1} + ... + C_{2n + 1}^{n + 1}} \right]\]

⇒ 2S = \[C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n\]\[ + C_{2n + 1}^{n + 1} + ... + C_{2n + 1}^{2n - 1} + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n + 1}\]

Xét khai triển (1 + x)^{2n + 1} = \[C_{2n + 1}^0{x^0} + C_{2n + 1}^1{x^1} + ... + C_{2n + 1}^{2n}{x^{2n}} + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}\].

Khi x = 1 ⇒ 2S = 2^{2n + 1} ⇒ S = 2²ⁿ = 4ⁿ.

Vậy S = 4ⁿ.