Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) = {x^2} - 1 - \left( {{x^2} - 4} \right) = {x^2} - 1 - {x^2} + 4 = 3.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phân thức có mẫu thức là \( - 1 - {x^2}\) và tử thức là \[xy + {y^2}\] là phân thức \[\frac{{xy + {y^2}}}{{ - 1 - {x^2}}}.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì đồ thị hàm số \(y = ax + 3\) đi qua điểm \[\left( {1;5} \right)\] nên ta có: \(5 = a \cdot 1 + 3\)

Suy ra \(a = 2.\) Khi đó ta có hàm số \(y = 2x + 3.\)

Đồ thị hàm số \(y = 2x + 3\) đi qua điểm có hoành độ bằng \( - 5\) nên ta có tung độ của điểm này là:

\(y = 2 \cdot \left( { - 5} \right) + 3 = - 10 + 3 = - 7.\)

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hai đường thẳng \(d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) và \[d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)\] cắt nhau khi và chỉ khi \(a \ne a'.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi \(S\) và \(h\) lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của hình lăng trụ đứng. Khi đó hình chóp đều có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(2h.\)

Thể tích của hình chóp đều là \(V = \frac{1}{3}S \cdot 2h = \frac{2}{3}Sh.\)

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tứ giác \[MNPQ,\] ta có: \(\widehat Q + \widehat {QMN} + \widehat N + \widehat {NPQ} = 360^\circ \) (tổng các góc của một tứ giác)

 Suy ra \(\widehat {NPQ} = 360^\circ - \left( {\widehat {QMN} + \widehat N + \widehat Q} \right) = 360^\circ - \left( {110^\circ + 120^\circ + 60^\circ } \right) = 70^\circ \).

Do \[PM\] là tia phân giác của góc \[NPQ\] nên ta có: \(\widehat {MPQ} = \frac{{\widehat {NPQ}}}{2} = \frac{{70^\circ }}{2} = 35^\circ \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tứ giác \(ABCD\) hình thoi có hai đường chéo \[AC,{\rm{ }}BD\] vuông góc với nhau nhưng chưa thể kết luận được \(ABCD\) là hình vuông.

Hướng dẫn giải

c) \(2{x^2} - x - 6 = 0\)

\(2{x^2} - 4x + 3x - 6 = 0\)

\(2x\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right) = 0\)

\(\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 3} \right) = 0\)

Suy ra \(x - 2 = 0\) hoặc \(2x + 3 = 0\)

\(x = 2\) hoặc \(2x =  - 3\)

\(x = 2\) hoặc \(x =  - \frac{3}{2}.\)

Vậy \(x \in \left\{ {2; - \frac{3}{2}} \right\}.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \({x^2} - 4 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)

\({x^2} + x + 1 = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0\) với mọi \(x.\)

Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \({x^2} - 4 \ne 0,\) \(x - 1 \ne 0\) hay \(x - 2 \ne 0,\) \(x + 2 \ne 0\) và \(x - 1 \ne 0\), tức là \(x \ne 2,x \ne  - 2\) và \(x \ne 1.\)

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ne 2,x \ne  - 2\) và \(x \ne 1.\)

b) Với \(x \ne 2,x \ne  - 2\) và \(x \ne 1,\) ta có:

\[A = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 4}} \cdot \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right)\]

\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - {x^2} + 1}}{{{x^2} - 4}}\)

\[ = \frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{{x - 2}}.\]

Vậy với \(x \ne 2,x \ne  - 2\) và \(x \ne 1,\) thì \(A = \frac{1}{{x - 2}}.\)

c) Ta có \(\left| {x + 3} \right| = 1\) suy ra \(x + 3 = 1\) hoặc \(x + 3 =  - 1\)

Do đó \(x =  - 2\) (không thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x =  - 4\) (thỏa mãn điều kiện)

Thay \(x =  - 4\) vào biểu thức \(A = \frac{1}{{x - 2}},\) ta được: \(A = \frac{1}{{ - 4 - 2}} =  - \frac{1}{6}.\)

Vậy \(A =  - \frac{1}{6}\) khi \(\left| {x + 3} \right| = 1.\)

Hướng dẫn giải

1) Diện tích xung quanh của một hộp quà là: \({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {4 \cdot 6} \right) \cdot 4 = 48{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Diện tích toàn phần của một hộp quà là

Để làm 4 hộp quà bạn Hoa cần dùng diện tích giấy là:

\(4 \cdot 84 = 336{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích giấy mà bạn Hoa cần dùng để làm 4 hộp quà đó là \(336{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}.\)

2)

a) Do \[D,{\rm{ }}E\] lần lượt là hình chiếu của điểm \[M\] trên đường thẳng \[AB,{\rm{ }}AC\] nên \[MD \bot AB,\] \[ME \bot AC.\]

Suy ra \[\widehat {ADM} = \widehat {AEM} = 90^\circ \]

Tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[A\] nên \[\widehat {BAC} = 90^\circ \]

Tứ giác \[ADME\] có \(\widehat {DAE} = \widehat {AEM} = \widehat {MDA} = 90^\circ \) nên \[ADME\] là hình chữ nhật.

b) Do \[ADME\] là hình chữ nhật nên \[DM\,{\rm{//}}\,AC.\]

Suy ra \(\widehat {BMD} = \widehat {ACB}\) (hai góc so le trong).

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 45^\circ \) (vì tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[A),\] suy ra \(\widehat {BMD} = \widehat {ABC} = 45^\circ .\)

Do đó tam giác \[BDM\] cân tại \[D.\] Suy ra \[BD = DM.\]

Chu vi của hình chữ nhật \[ADME\] là: \[2\left( {AD + DM} \right) = 2\left( {AD + BD} \right) = 2AB.\]

Mà \[AB\] không đổi nên chu vi của tứ giác \[ADME\] không đổi.

d) Do \[ADME\] là hình chữ nhật nên \[AM = DE.\]

Suy ra \[DE\] có độ dài nhỏ nhất khi \[AM\] có độ dài nhỏ nhất.

Vậy \[M\] là hình chiếu của \[A\] trên đường thẳng \[BC.\]

Trong tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[A,\] ta có:

\[AC = AB = 2{\rm{\;cm}}\] và \[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {2^2} + {2^2} = 8\] (định lý Pythagore)

Suy ra \[BC = \sqrt 8 {\rm{\;cm}}\].

Xét \(\Delta ABM\) vuông tại \[M\] và \(\Delta ACM\) vuông tại \[M\] có:

Cạnh \[AM\] chung, \(\widehat {ABM} = \widehat {ACM}\) (do \(\Delta ABC\) vuông cân tại \[A)\]

Do đó \(\Delta ABM = \Delta ACM\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra \(BM = CM = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 8 }}{2} = \sqrt 2 {\rm{\;cm}}\).

Xét \(\Delta ABM\) vuông tại \[M\] có \(\widehat {ABM} = 45^\circ \) nên \(\widehat {BAM} = \widehat {ABM} = 45^\circ \).

Suy ra tam giác \[ABM\] vuông cân tại \[M.\]

Do đó \(DE = AM = BM = \sqrt 2 {\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Vậy \(DE = \sqrt 2 {\rm{\;cm}}\).

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết, \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{x + y + z}}.\)

Suy ra \(\frac{{yz + xz + xy}}{{xyz}} = \frac{1}{{x + y + z}}.\)

\(\left( {yz + xz + xy} \right)\left( {x + y + z} \right) = xyz\)

\(yz\left( {x + y + z} \right) + xz\left( {x + y + z} \right) + xy\left( {x + y + z} \right) = xyz\)

\[xyz + {y^2}z + y{z^2} + {x^2}z + xyz + x{z^2} + {x^2}y + x{y^2} + xyz = xyz\]

\[\left( {{x^2}z + 2xyz + {y^2}z} \right) + \left( {y{z^2} + x{z^2}} \right) + \left( {{x^2}y + x{y^2}} \right) = 0\]

\[z{\left( {x + y} \right)^2} + {z^2}\left( {x + y} \right) + xy\left( {x + y} \right) = 0\]

\[\left( {x + y} \right)\left[ {z\left( {x + y} \right) + {z^2} + xy} \right] = 0\]

\[\left( {x + y} \right)\left( {xz + yz + {z^2} + xy} \right) = 0\]

\[\left( {x + y} \right)\left[ {\left( {xz + xy} \right) + \left( {yz + {z^2}} \right)} \right] = 0\]

\[\left( {x + y} \right)\left[ {x\left( {y + z} \right) + z\left( {y + z} \right)} \right] = 0\]

\[\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right) = 0\]

Suy ra \(x + y = 0\) hoặc \(y + z = 0\) hoặc \(x + z = 0.\)

⦁ Nếu \(x + y = 0\) thì \(x =  - y,\) khi đó \[{x^{2023}} =  - {y^{2023}}.\]

Ta có \[\frac{1}{{{x^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{ - {y^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{{z^{2023}}}};\]

\[\frac{1}{{{x^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}} = \frac{1}{{ - {y^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}} = \frac{1}{{{z^{2023}}}}.\]

Do đó \[\frac{1}{{{x^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{{x^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}}.\]

⦁ Nếu \(y + z = 0\) hoặc \(x + z = 0,\) chứng minh tương tự ta cũng có

\[\frac{1}{{{x^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{{x^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}}.\]

Vậy nếu \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{x + y + z}}\) thì \[\frac{1}{{{x^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{{x^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}}.\]