13 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Tổng và hiệu của hai vecto có đáp án

Câu 1:

17/06/2026

Một con tàu chuyển động từ bờ bên này sang bờ bên kia của một dòng sông với vận tốc riêng không đổi. Giả sử vận tốc dòng nước là không đổi và không đáng kể, các yếu tố bên ngoài tác động không ảnh hưởng đến vận tốc thực tế của tàu. Nếu không quan tâm đến điểm đến thì cần giữ lái cho tàu tạo với bờ sông một góc bao nhiêu để tàu sang bờ bên kia được nhanh nhất?

Một con tàu chuyển động từ bờ bên này sang bờ bên kia của một dòng sông với vận tốc riêng (ảnh 1)

Xem đáp án

Một con tàu chuyển động từ bờ bên này sang bờ bên kia của một dòng sông với vận tốc riêng (ảnh 2)

Sau bài học này ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:

Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d₁, d₂ (H.4.17). Giả sử tàu xuất phát từ $A \in d_{1}$ và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc $α$ . Gọi và lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi M, N là các điểm sao cho $\vec{v_{r}} = \vec{A M}, \vec{v_{n}} = \vec{M N} .$

Khi đó tàu chuyển động với vecto vận tốc thực tế là $\vec{v} = \vec{v_{r}} + \vec{v_{n}} = \vec{A M} + \vec{M N} = \vec{A N} .$

Gọi B, C tương ứng là giao điểm của AN, AM với d₂. Tàu chuyển động thẳng từ A đến B với vận tốc thực tế là $\vec{A N}$ , do đó thời gian cần thiết để tàu sang được bờ d₂ là $\frac{A B}{A N} = \frac{A C}{A M}$ . Mặt khác, $A M = |\vec{v_{r}}|$ không đổi nên $\frac{A C}{A M}$ nhỏ nhất ⇔ AC nhỏ nhất $\Leftrightarrow A C ⊥ d_{2} \Leftrightarrow A M ⊥ d_{2} .$

Vậy để tàu sang được bờ bên kia nhanh nhất, ta giữ bánh lái để tàu luôn vuông góc với bờ.

Câu 2:

17/06/2026

Với hai vecto $\vec{a}, \vec{b}$ cho trước, lấy một điểm A và vẽ các vecto $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b} .$ Lấy một điểm A’ khác A cũng vẽ các vecto $\vec{A' B'} = \vec{a}, \vec{B' C'} = \vec{b} .$ Hỏi hai vecto $\vec{A C}, \vec{A' C'}$ có mối quan hệ gì?

Với hai vecto a, b cho trước, lấy một điểm A và vẽ các vecto AB = vecto a, vecto BC = vecto b (ảnh 1)

Xem đáp án

Ta có: $\vec{A B} = \vec{a}$

$\Rightarrow \vec{A B}$ cùng hướng với $\vec{a}$ và độ dài $\vec{A B}$ bằng độ dài $\vec{a}$ .

Ta lại có: $\vec{A' B'} = \vec{a}$

$\Rightarrow \vec{A' B'}$ cùng hướng với $\vec{a}$ và độ dài $\vec{A' B'}$ bằng độ dài $\vec{a}$ .

$\Rightarrow \vec{A B}$ cùng hướng với $\vec{A' B'}$ và độ dài $\vec{A B}$ bằng độ dài $\vec{A' B'}$ .

$\Rightarrow \vec{A B} = \vec{A' B'} \Leftrightarrow$ ABB’A’ là hình bình hành (1)

Ta có: $\vec{B C} = \vec{b}$

$\Rightarrow \vec{B C}$ cùng hướng với $\vec{b}$ và độ dài $\vec{B C}$ bằng độ dài $\vec{b}$ .

Ta lại có:

$\Rightarrow \vec{B' C'}$ cùng hướng với $\vec{b}$ và độ dài $\vec{B' C'}$ bằng độ dài .

$\Rightarrow \vec{B C}$ cùng hướng với $\vec{B' C'}$ và độ dài $\vec{B C}$ bằng độ dài $\vec{B' C'}$ .

$\Rightarrow \vec{B C} = \vec{B' C'} \Leftrightarrow$ BB’C’C là hình bình hành $\Leftrightarrow \vec{C C'} = \vec{B B'}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\vec{AA'} = \vec{C C'} \Leftrightarrow$ AA’C’C là hình bình hành

$\Rightarrow \vec{A C} = \vec{A' C'}$

Vậy $\vec{A C} = \vec{A' C'}$ .

Câu 3:

17/06/2026

Cho hình bình hành ABCD. Tìm mối quan hệ giữa hai vecto $\vec{A B} + \vec{A D}$ và $\vec{A C}$ .

Cho hình bình hành ABCD. Tìm mối quan hệ giữa hai vecto vecto AB + vecto AD và vecto AC (ảnh 1)

Xem đáp án

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: $\vec{A D} = \vec{B C}$

$\Rightarrow \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$

Vậy $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Câu 4:

17/06/2026

a) Trong Hình 4.14a, hãy chỉ ra các vecto $\vec{a} + \vec{b}$ và vecto $\vec{b} + \vec{a}$ .

b) Trong Hình 4,14b, hãy chỉ ra các vecto $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$ và vecto $\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ .

a) Trong Hình 4.14a, hãy chỉ ra các vecto a + vecto b và vecto b + vecto a (ảnh 1)

Xem đáp án

Trong Hình 4.14a:

Ta có: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$

$\vec{b} + \vec{a} = \vec{A D} + \vec{D C} = \vec{A C}$

$\Rightarrow \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$

Trong Hình 4.14b:

Ta có: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{A C} + \vec{C D} = \vec{A D}$

$\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{A B} + \vec{B D} = \vec{A D}$

$\Rightarrow \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

Câu 5:

17/06/2026

Cho hình thoi ABCD với cạnh có độ dài bằng 1 và $\hat{B A D} = 120^{0}$ . Tính độ dài của các vecto $\vec{C B} + \vec{C D}, \vec{D B} + \vec{C D} + \vec{B A}$

Cho hình thoi ABCD với cạnh có độ dài bằng 1 và góc BAD = 120 độ. Tính độ dài của các (ảnh 1)

Xem đáp án

Cho hình thoi ABCD với cạnh có độ dài bằng 1 và góc BAD = 120 độ. Tính độ dài của các (ảnh 2)

Vì ABCD là hình thoi nên AC là tia phân giác $\hat{B A C}$

$\Rightarrow \hat{B A C} = \hat{C A D} = \frac{\hat{B A D}}{2} = \frac{120^{0}}{2} = 60^{0}$

Xét ΔABC có AB = BC và $\hat{B A C} = 60^{0}$

⇒ ΔABC đều

⇒ AC = AB = BC = 1

Ta có:

$\vec{C B} + \vec{C D} = \vec{C A}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow |\vec{C B} + \vec{C D}| = |\vec{C A}| = C A = 1$

$\vec{D B} + \vec{C D} + \vec{B A} = \vec{C D} + \vec{D B} + \vec{B A} = \vec{C B} + \vec{B A} = \vec{C A}$ (quy tắc ba điểm).

$\Rightarrow |\vec{D B} + \vec{C D} + \vec{B A}| = |\vec{C A}| = C A = 1$

Câu 6:

17/06/2026

Thế nào là hai lực cân bằng? Nếu dùng hai vecto để biểu diến hai lực cân bằng thì hai vecto này có mối quan hệ gì với nhau?

Thế nào là hai lực cân bằng? Nếu dùng hai vecto để biểu diến hai lực cân bằng thì hai (ảnh 1)

Xem đáp án

Nếu chỉ có hai lực tác dụng vào cùng một vật mà vật vẫn đứng yên thì hai lực đó là hai lực cân bằng.

Ví dụ: Hai đội kéo co cùng kéo sợi dây. Nếu hai đội mạnh ngang nhau thì họ sẽ tác dụng lên dây hai lực cân bằng. Sợi dây chịu tác dụng của hai lực cân bằng thì sẽ đứng yên.

Thế nào là hai lực cân bằng? Nếu dùng hai vecto để biểu diến hai lực cân bằng thì hai (ảnh 2)

Hai vecto $\vec{u}$ và $\vec{v}$ biểu diễn cho hai vecto cân bằng thì hai vecto này có chung gốc, ngược hướng và có độ lớn (hay độ dài) bằng nhau.

Câu 7:

17/06/2026

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng

\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}

.

Xem đáp án

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O (ảnh 1)

Gọi P và Q lần lượt là điểm đối xứng với O qua M và N.

Khi đó AOBP, DOCQ là các hình bình hành

$\Rightarrow \vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O P} = 2 \vec{O M}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \vec{O D} + \vec{O C} = \vec{O Q} = 2 \vec{O N}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = 2 \vec{O M} + 2 \vec{O N} = 2 (\vec{O M} + \vec{O N})$

Mà hai vecto $\vec{O M}$ và $\vec{O N}$ có cùng độ dài và ngược hướng nên chúng là hai vecto đối nhau, do đó $\vec{O M} + \vec{O N} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$

.

Câu 8:

17/06/2026

Tính lực kéo cần thiết để kéo một khẩu pháo có trọng lượng 22 148N (ứng với khối lượng xấp xỉ 2 260kg) lên một con dốc nghiêng 30⁰ so với phương nằm ngang (H.4.18). Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N thì cần tối thiểu bao nhiêu người để kéo pháo?

Chú ý: Ta coi khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực $\vec{P}$ (có độ lớn $|\vec{P}| = 22148 N$ , có phương vuông góc với phương nằm ngang và hướng xuống dưới), phản lực $\vec{W}$ (có độ lớn phương vuông góc với mặt dốc và hướng lên trên) và lực kéo $|\vec{W}| = |\vec{P}| c o s 30^{0}$ (theo phương dốc, hướng từ chân dốc lên đỉnh dốc).

Tính lực kéo cần thiết để kéo một khẩu pháo có trọng lượng 22 148N (ứng với khối lượng xấp xỉ (ảnh 1)

Xem đáp án

Xét ΔOBC vuông tại O, có:

$O C = \sin 30. B C = |P| \sin 30^{0} .$

Ta có khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực $\vec{P}$ , phản lực $\vec{W}$ và lực kéo $\vec{F}$ . Đề kéo được khẩu pháo đi lên ta cần lực $\vec{F}$ thỏa mãn điều kiện: $|\vec{F}| > |\vec{W} + \vec{P}|$

Mặt khác $\vec{W} + \vec{P} = \vec{O C} \Leftrightarrow |\vec{W} + \vec{P}| = |\vec{O C}| = |P| \sin 30^{0} = 22148. \sin 30^{0} = 11074 N$

$\Rightarrow |\vec{F}| > 11074 N$

Ta có: 11 074 : 100 = 110,74

Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N thì cần tối thiểu số người để kéo pháo là 111 người.

Vậy ta cần một lực kéo lớn hơn 11 074N để kéo khẩu pháo đi lên và nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N thì cần tối thiểu 111 người để kéo pháo lên.

Câu 9:

17/06/2026

Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:

a) $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0};$

b) $\vec{A C} - \vec{A D} = \vec{B C} - \vec{B D};$

Xem đáp án

a) Ta có: $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = (\vec{A B} + \vec{B C}) + (\vec{C D} + \vec{D A}) = \vec{A C} + \vec{C A} = \vec{A A} = \vec{0}$

b) Ta có: $\vec{A C} - \vec{A D} = \vec{D C}$ (quy tắc hiệu)

$\vec{B C} - \vec{B D} = \vec{D C}$ (quy tắc hiệu)

$\Rightarrow \vec{A C} - \vec{A D} = \vec{B C} - \vec{B D} .$

Câu 10:

17/06/2026

Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để $\vec{B M} = \vec{A B} + \vec{A D}$ . Tìm mối quan hệ giữa hai vecto $\vec{C D}$ và $\vec{C M}$ .

Xem đáp án

Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để vecto BM = vecto AB + vecto AD (ảnh 1)

Ta có: $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ (quy tắc hình bình hành)

Ta cần tìm điểm M thỏa mãn $\vec{A C} = \vec{B M}$

⇔ ACMB là hình bình hành

$\Rightarrow \vec{C M} = \vec{A B}$

Mà $\vec{D C} = \vec{A B}$

$\Rightarrow \vec{C M} = \vec{D C}$ hay $\vec{C M} = - \vec{C D}$

Suy ra $\vec{C D}$ và $\vec{C M}$ là hai vecto đối nhau.

Câu 11:

17/06/2026

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài các vecto

\vec{A B} - \vec{A C}, \vec{A B} + \vec{A C}

.

Xem đáp án

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài các vecto (ảnh 1)

Ta có: $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{C B}$ (quy tắc hiệu)

$\Rightarrow |\vec{A B} - \vec{A C}| = |\vec{C B}| = a$

Ta lại có: $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}$ (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành)

Gọi M là giao điểm của AD và BC

⇒ M là trung điểm của BC và AD (tính chất hình bình hành)

Xét ΔABC, có:

AB² = AM² + BM² (định lí Py – ta – go)

⇒ AM² = AB² – BM² = $A B^{2} - {(\frac{B C}{2})}^{2} = a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{3 a^{2}}{4}$

$\Rightarrow A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow A D = 2 A M = 2. \frac{a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}$

$\Rightarrow |\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{A D}| = a \sqrt{3}$

Vậy $|\vec{A B} - \vec{A C}| = a, |\vec{A B} + \vec{A C}| = a \sqrt{3}$ .

Câu 12:

17/06/2026

Hình 4.19 biểu diễn hai lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ cùng tác động lên một vật, cho $|\vec{F_{1}}| = 3 N, |\vec{F_{2}}| = 2 N .$ Tính độ lớn của hợp lực $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}$ .

Hình 4.19 biểu diễn hai lực vecto F1, vecto F2 cùng tác động lên một vật, cho (ảnh 1)

Xem đáp án

Ta có hình vẽ sau:

Hình 4.19 biểu diễn hai lực vecto F1, vecto F2 cùng tác động lên một vật, cho (ảnh 2)

Trong đó ABCD là hình bình hành

$\Rightarrow \hat{A D C} = 60^{0}$

Ta có: $|\vec{F_{1}}| = |\vec{A D}| = |\vec{B C}| = 3, |\vec{F_{2}}| = |\vec{A B}| = |\vec{D C}| = 2$

$\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} = \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C} \Rightarrow |\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}| = |\vec{A C}|$

Xét ΔADC, có:

AC² = AD² + DC² – 2AD.DC.cosD

= 3² + 2² – 2.3.2.cos60⁰

= 7

$\Rightarrow A C = \sqrt{7} \Rightarrow |\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}| = \sqrt{7}$

Vậy độ lớn của hợp lực là $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} v à \sqrt{7}$ .

Câu 13:

17/06/2026

Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn giữ được lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước?

Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc (ảnh 1)

Xem đáp án

Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc (ảnh 2)

Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d₁, d₂ (H.4.17). Giả sử tàu 1 xuất phát từ $A' \in d_{1}$ và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc $α$ . Gọi và lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi B’, C’ là các điểm sao cho $\vec{v_{r}} = \vec{A' C'}, \vec{v_{n}} = \vec{C' B'} .$

Khi đó tàu chuyển động với vecto vận tốc thực tế là ${\vec{v}}_{1} = \vec{v_{r}} + \vec{v_{n}} = \vec{A' C'} + \vec{C' B'} = \vec{A' B'} .$

Xét ΔA’B’C’, có: $\hat{A' C' B'} = α$ (hai góc so le trong)

${|\vec{v_{1}}|}^{2} = {|\vec{v_{r}}|}^{2} + {|\vec{v_{n}}|}^{2} - 2 |\vec{v_{r}}| . |\vec{v_{n}}| cos α$

Giả sử tàu 2 xuất phát từ $A \in d_{1}$ và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc $α$ . Gọi $\vec{v_{r}}$ và $\vec{v_{n}}$ lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi B, C là các điểm sao cho $\vec{v_{r}} = \vec{A C}, \vec{v_{n}} = \vec{C B} .$

Khi đó tàu chuyển động với vecto vận tốc thực tế là $\vec{v} = \vec{v_{r}} + \vec{v_{n}} = \vec{A B} + \vec{C B} = \vec{A B} .$

Xét ΔABC, có: $\hat{A B C} = 180^{0} - α$

${|\vec{v_{2}}|}^{2} = {|\vec{v_{r}}|}^{2} + {|\vec{v_{n}}|}^{2} - 2 |\vec{v_{r}}| . |\vec{v_{n}}| cos (180^{0} - α) = {|\vec{v_{r}}|}^{2} + {|\vec{v_{n}}|}^{2} + 2 |\vec{v_{r}}| . |\vec{v_{n}}| cos α$

Do

$0^{0} < α < 90^{0} \Rightarrow c o s α > 0 \Rightarrow {|\vec{v_{r}}|}^{2} + {|\vec{v_{n}}|}^{2} + 2 |\vec{v_{r}}| . |\vec{v_{n}}| cos α > {|\vec{v_{r}}|}^{2} + {|\vec{v_{n}}|}^{2} - 2 |\vec{v_{r}}| . |\vec{v_{n}}| cos α$

hay ${|\vec{v_{2}}|}^{2} > {|\vec{v_{1}}|}^{2}$

Vì độ dài hai quãng đường AN và A’M’ của tàu 2 và tàu 1 chênh nhau không đáng kể nên ta coi nó bằng nhau. Do đó vì vận tốc tàu 2 lớn hơn tàu 1 nên tàu 2 là tàu đi qua bờ bên kia trước.

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3