18 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Tích vô hướng của hai vecto có đáp án

Câu 1:

17/06/2026

Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vecto $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ . Hãy tìm số đo các góc giữa $\vec{B C}$ và $\vec{B D}$ , $\vec{D A}$ và $\vec{D B}$ .

Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vecto (ảnh 1)

Xem đáp án

Số đo góc giữa $\vec{B C}$ và $\vec{B D}$ là góc CBD bằng 30⁰.

Xét tam giác BCD, có:

$\hat{B C A} = \hat{C B D} + \hat{C D B} \Leftrightarrow \hat{C D B} = \hat{B C A} - \hat{C B D} = 80^{0} - 30^{0} = 50^{0}$

Suy ra số đo góc giữa $\vec{D A}$ và $\vec{D B}$ là góc CDB bằng 50⁰.

Vậy số đo góc giữa $\vec{B C}$ và $\vec{B D}$ bằng 30⁰, số đo góc giữa $\vec{D A}$ và $\vec{D B}$ là góc CDB bằng 50⁰.

Câu 2:

17/06/2026

Khi nào thì góc giữa hai vecto bằng 0⁰, bằng 180⁰.

Xem đáp án

Góc giữa hai vecto bằng 0⁰ khi hai vecto cùng hướng.

Góc giữa hai vecto bằng 180⁰ khi hai vecto ngược hướng (hoặc đối nhau).

Câu 3:

17/06/2026

Cho tam giác đều ABC. Tính $(\vec{A B}, \vec{B C}) .$

Xem đáp án

Cho tam giác đều ABC. Tính (vecto AB, vecto BC) (ảnh 1)

Lấy điểm D thỏa mãn ABCD là hình bình hành, khi đó: $\vec{A D} = \vec{B C} .$

Vì tam giác ABC đều nên $\hat{A B C} = \hat{A C B} = \hat{B A C} = 60^{0}$

$\Rightarrow \hat{D A C} = \hat{A C B} = 60^{0}$ (hai góc so le trong)

$\Rightarrow \hat{B A D} = 120^{0}$

Ta có: $(\vec{A B}, \vec{B C}) = (\vec{A B}, \vec{A D}) = \hat{B A D} = 120^{0}$ .

Vậy $(\vec{A B}, \vec{B C}) = 120^{0}$ .

Câu 4:

17/06/2026

Khi nào tích vô hướng của hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là một số dương? Là một số âm?

Xem đáp án

Tích vô hướng của hai vecto $\vec{u}, \vec{v} \neq \vec{0}$ được tính bởi công thức sau:

$\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . c os (\vec{u}, \vec{v}) .$

Vì $|\vec{u}| > 0, |\vec{v}| > 0$ nên dấu của $\vec{u} . \vec{v}$ phụ thuộc vào dấu của $c os (\vec{u}, \vec{v})$ .

Nếu tích vô hướng của hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là một số dương thì $c os (\vec{u}, \vec{v}) > 0.$ Do đó góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là góc nhọn hoặc bằng 0⁰.

Nếu tích vô hướng của hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là một số âm thì $c os (\vec{u}, \vec{v}) < 0.$ Do đó góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là góc tù hoặc bằng 180⁰.

Câu 5:

17/06/2026

Khi nào thì ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} . {\vec{v}}^{2} ?$

Xem đáp án

Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . c os (\vec{u}, \vec{v})$

$\Leftrightarrow {(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {[|\vec{u}| . |\vec{v}| . c os (\vec{u}, \vec{v})]}^{2} = {\vec{u}}^{2} . {\vec{v}}^{2} . c {os}^{2} (\vec{u}, \vec{v})$

Để ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} . {\vec{v}}^{2}$ thì $c {os}^{2} (\vec{u}, \vec{v}) = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} c os (\vec{u}, \vec{v}) = 1 \\ c os (\vec{u}, \vec{v}) = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} (\vec{u}, \vec{v}) = 0^{0} \\ (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{0} \end{array}$

Vậy khi góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là 0⁰ hoặc 180⁰ thì ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} . {\vec{v}}^{2} .$

Câu 6:

17/06/2026

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $\vec{A B} . \vec{A C}$ theo a, b, c.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính vecto AB. vecto AC theo a, b, c (ảnh 1)

Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c os (\vec{A B} . \vec{A C}) = A B . A C . \cos B A C = b c . c osBAC$

Theo định lí cos, ta có:

$cosBAC= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} \vec{A B} . \vec{A C} = b c . \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2}$ .

Vậy $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2} .$

Câu 7:

17/06/2026

Cho hai vecto cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (k x; k y) .$ Hãy kiểm tra công thức $\vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ theo từng trường hợp sau:

a) $\vec{u} = \vec{0};$

b) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0;$

c) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và k < 0.

Xem đáp án

a) Ta có: $\vec{u} = \vec{0} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$

Mà $\vec{0}$ vuông góc với mọi vecto nên ta có: $\vec{u} . \vec{v} = 0$

Ta lại có: $k (x^{2} + y^{2}) = k (0^{2} + 0^{2}) = 0$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$

Vậy với $\vec{u} = \vec{0}$ công thức đã cho đúng.

b) Vì k ≥ 0 nên hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ cùng hướng

$\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 0^{0}$

Ta có:

$\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| c o s (\vec{u}, \vec{v}) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{{(k x)}^{2} + {(k y)}^{2}} .cos (\vec{u}, \vec{v}) = |k| (x^{2} + y^{2}) . c os 0^{0} = k (x^{2} + y^{2}) .$

Vậy với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0$ công thức đã cho đúng.

c) Vì k < 0 nên hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ ngược hướng

$\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{0}$

Ta có:

$\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| c o s (\vec{u}, \vec{v}) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{{(k x)}^{2} + {(k y)}^{2}} .cos (\vec{u}, \vec{v}) = |k| (x^{2} + y^{2}) . c os18 0^{0}$

Vậy với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và k < 0 công thức đã cho đúng.

Câu 8:

17/06/2026

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vecto không cùng phương $\vec{u} (x; y)$ và $\vec{v} (x'; y')$ .

a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao cho $\vec{O A} = \vec{u}, \vec{O B} = \vec{v} .$

b) Tính AB², OA², OB² theo tọa độ của A và B.

c) Tính $\vec{O A} . \vec{O B}$ theo tọa độ của A, B.

Xem đáp án

a) Vì $\vec{u} (x; y)$ và $\vec{O A} = \vec{u}$ nên A(x;y)

Vì $\vec{v} (x'; y')$ và $\vec{O B} = \vec{v}$ nên B(x’;y’)

b) Ta có:

$\vec{A B} (x' - x; y' - y) \Rightarrow A B = \sqrt{{(x' - x)}^{2} + {(y' - y)}^{2}} \Leftrightarrow A B^{2} = {(x' - x)}^{2} + {(y' - y)}^{2} . \vec{O A} = (x; y) \Rightarrow O A = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \Leftrightarrow O A^{2} = x^{2} + y^{2} . \vec{O B} = (x'; y') \Rightarrow O B = \sqrt{x'^{2} + y'^{2}} \Leftrightarrow O B^{2} = x'^{2} + y'^{2} .$

c) Theo định lí Cô sin, ta có:

$\vec{O A} . \vec{O B} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2} = \frac{x^{2} + y^{2} + x'^{2} + y'^{2} - {(x' - x)}^{2} - {(y' - y)}^{2}}{2} = \frac{2 x x' + 2 y y'}{2} = x x' + y y'$

Câu 9:

17/06/2026

Tính tích vô hướng và góc giữa hai vecto $\vec{u} (0; - 5), \vec{v} (\sqrt{3}; 1)$ .

Xem đáp án

Tích vô hướng của hai vecto $\vec{u} . \vec{v} = 0. \sqrt{3} - 5.1 = - 5.$

Ta lại có:

$\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . c o s (\vec{u} . \vec{v}) \Rightarrow c o s (\vec{u} . \vec{v}) = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{u}| . |\vec{v}|} = \frac{- 5}{5.2} = - \frac{1}{2} \Rightarrow (\vec{u} . \vec{v}) = 120^{0} .$

Vậy $\vec{u} . \vec{v} = - 5$ và góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ bằng 120⁰.

Câu 10:

17/06/2026

Cho ba vecto $\vec{u} (x_{1}; y_{1}), \vec{v} (x_{2}; y_{2}), \vec{w} (x_{3}; y_{3}) .$

a) Tính $\vec{u} (\vec{v} + \vec{w}), \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$ theo tọa độ các vecto $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} .$

b) So sánh $\vec{u} (\vec{v} + \vec{w})$ và $\vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$ .

c) So sánh $\vec{u} . \vec{v}$ và $\vec{v} . \vec{u}$ .

Xem đáp án

a) Ta có: $\vec{v} + \vec{w} = (x_{2} + x_{3}; y_{2} + y_{3})$

$\Rightarrow \vec{u} (\vec{v} + \vec{w}) = x_{1} . (x_{2} + x_{3}) + y_{1} (y_{2} + y_{3}) = x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + y_{1} . y_{2} + y_{1} . y_{3}$

Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}, \vec{u} . \vec{w} = x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$ (2)

b) Từ (1) và (2) suy ra: $\vec{u} (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} .$

c) Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}; \vec{v} . \vec{u} = x_{2} . x_{1} + y_{2} . y_{1} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} .$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = \vec{v} . \vec{u} .$

Câu 11:

17/06/2026

Cho tam giác ABC với A(-1;2), B(8;-1), C(8;8). Gọi H là trực tâm tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0} .$

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

Cho tam giác ABC với A(-1;2), B(8;-1), C(8;8). Gọi H là trực tâm tam giác ABC. (ảnh 1)

Xem đáp án

a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên $A H ⊥ B C \Rightarrow \vec{A H} . \vec{B C} = 0$

và $B H ⊥ A C \Rightarrow \vec{B H} . \vec{A C} = 0$

b) Gọi tọa độ điểm H(x;y), ta có:

$\vec{A H} (x + 1; y - 2), \vec{B H} (x - 8; y + 1), \vec{B C} (0; 9), \vec{A C} (9; 6)$

$\Rightarrow \vec{A H} . \vec{B C} = (x + 1) .0 + (y - 2) .9 = 0 \Leftrightarrow y - 2 = 0 \Leftrightarrow y = 2.$

$\Rightarrow \vec{B H} . \vec{A C} = (x - 8) .9 + (y + 1) .6 = 9 x + 6 y - 66 = 0$

Thay y = 2 vào biểu thức 9x + 6y – 66 = 0 ta được:

9x + 6.2 – 66 = 0

⇔ 9x = 54

⇔ x = 6

⇒ H(6; 2)

Vậy H(6;2).

c) Ta có:

$\vec{A B} = (9; - 3) \Rightarrow A B = \sqrt{9^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{10} .$

$\vec{A C} (9; 6) \Rightarrow A C = \sqrt{9^{2} + 6^{2}} = 3 \sqrt{13} .$

$\vec{B C} (0; 9) \Rightarrow B C = \sqrt{0^{2} + 9^{2}} = 9.$

Ta lại có:

$\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c o s \hat{B A C}$

$\Leftrightarrow 9.9 + (- 3) .6 = 3 \sqrt{10} .3 \sqrt{13} . c o s \hat{B A C}$

$\Leftrightarrow 63 = 9 \sqrt{130} . c o s \hat{B A C}$

$\Leftrightarrow c o s \hat{B A C} = \frac{7}{\sqrt{130}} \Leftrightarrow \hat{B A C} \approx 52, 13^{0} .$

Ta có: $\vec{B A} = (- 9; 3)$

$\vec{B A} . \vec{B C} = B A . B C . c o s \hat{A B C}$

$\Leftrightarrow (- 9) .0 + 3.9 = 3 \sqrt{10} .9. c o s \hat{A B C}$

$\Leftrightarrow 27 = 27 \sqrt{10} . c o s \hat{A B C}$

$\Leftrightarrow c o s \hat{A B C} = \frac{1}{\sqrt{10}} \Leftrightarrow \hat{A B C} \approx 71, 57^{0} .$

$\Rightarrow \hat{A C B} \approx 180^{0} - 71, 57^{0} - 52, 13^{0} \approx 56, 3^{0} .$

Vậy $A B = 3 \sqrt{10}, A C = 3 \sqrt{13}, B C = 9, \hat{B A C} \approx 52, 13^{0}, \hat{A B C} \approx 71, 57^{0}, \hat{A C B} \approx 56, 3^{0} .$

Câu 12:

17/06/2026

Một lực $\vec{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng đều từ A đến B. Lực $\vec{F}$ được phân tích thành hai lực thành phần $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}} (\vec{F} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}})$

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}} .$

b) Giả sử các lực thành phần $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}} .$ tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực và lực $\vec{F_{1}}$

Một lực ecto F không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng đều (ảnh 1)

Xem đáp án

a) Một lực $\vec{F}$ tác động lên một vật làm vật dịch chuyển tính tiến theo một vecto độ rời .

Ta có: công sinh bởi lực $\vec{F}$ là $A_{\vec{F}} = \vec{F} . \vec{s} = F . s . c os (\vec{F}, \vec{s}) = F . s . c os (\vec{F}, \vec{F_{1}})$

Mặt khác $F . c os (\vec{F}, \vec{F_{1}}) = F_{1}$

$\Rightarrow A_{\vec{F}} = F_{1} . s$

Công sinh bởi lực $\vec{F_{1}}$ là $A_{\vec{F_{1}}} = \vec{F_{1}} . \vec{s} = F_{1} . s . c os (\vec{F_{1}}, \vec{s}) = F_{1} . s . c {os0}^{0} = F_{1} . s$

Công sinh bởi lực $\vec{F_{2}}$ là $A_{\vec{F_{2}}} = \vec{F_{2}} . \vec{s} = F_{2} . s . c os (\vec{F_{2}}, \vec{s}) = F_{2} . s . c {os90}^{0} = 0$

$\Rightarrow A_{\vec{F_{1}}} + A_{\vec{F_{2}}} = F_{1} . s$

Do đó $A_{\vec{F}} = A_{\vec{F_{1}}} + A_{\vec{F_{2}}} .$

b) Ta có: $A_{\vec{F}} = \vec{F} . \vec{s} = F . s . c os (\vec{F}, \vec{s}) = F . s . c os (\vec{F}, \vec{F_{1}})$

Mặt khác $F . c os (\vec{F}, \vec{F_{1}}) = F_{1}$

$\Rightarrow A_{\vec{F}} = F_{1} . s$

Ta lại có: $A_{\vec{F_{1}}} = \vec{F_{1}} . \vec{s} = F_{1} . s . c os (\vec{F_{1}}, \vec{s}) = F_{1} . s . c {os0}^{0} = F_{1} . s$

$\Rightarrow A_{\vec{F}} = A_{\vec{F_{1}}} .$

Câu 13:

17/06/2026

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\vec{a} (- 3; 1), \vec{b} (2; 6);$

b) $\vec{a} (3; 1), \vec{b} (2; 4);$

c) $\vec{a} (- \sqrt{2}; 1), \vec{b} (2; - \sqrt{2});$

Xem đáp án

a) Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = (- 3) .2 + 1.6 = 0 \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 90^{0} .$

b) Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 3.2 + 1.4 = 10$

$|\vec{a}| = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}, |\vec{b}| = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{5}$

$\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . c os (\vec{a}, \vec{b}) \Rightarrow c os (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{10}{\sqrt{10} .2 \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 45^{0} .$

c) Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = (- \sqrt{2}) .2 + 1. (- \sqrt{2}) = - 3 \sqrt{2}$

$|\vec{a}| = \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3}, |\vec{b}| = \sqrt{2^{2} + {(- \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{6}$

$\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . c os (\vec{a}, \vec{b}) \Rightarrow c os (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{- 3 \sqrt{2}}{\sqrt{3} . \sqrt{6}} = - 1 \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 180^{0} .$

Câu 14:

17/06/2026

Tìm điều kiện của $\vec{u}, \vec{v}$ để:

a) $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}|;$

b) $\vec{u} . \vec{v} = - |\vec{u}| . |\vec{v}|;$

Xem đáp án

a) Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

Để $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}|$ thì $\cos (\vec{u}, \vec{v}) = 1 \Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 0^{0}$

Suy ra $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vecto cùng hướng.

b) Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

Để $\vec{u} . \vec{v} = - |\vec{u}| . |\vec{v}|$ thì $\cos (\vec{u}, \vec{v}) = - 1 \Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{0}$

Suy ra $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vecto ngược hướng.

Câu 15:

17/06/2026

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;2), B(-4;3). Gọi M(t;0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính $\vec{A M} . \vec{B M}$ theo t.

b) Tính t để $\hat{A M B} = 90^{0} .$

Xem đáp án

a) Ta có: $\vec{A M} (t - 1; - 2), \vec{B M} (t + 4; - 3)$

$\Rightarrow \vec{A M} . \vec{B M} = (t - 1) (t + 4) + (- 2) . (- 3) = t^{2} + 3 t + 2.$ .

b) Để $\hat{A M B} = 90^{0}$ thì $\vec{A M} . \vec{B M} = 0$

$\Leftrightarrow t^{2} + 3 t + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = - 2 \end{array}$

Vậy với t = -1 hoặc t = - 2 thì $\hat{A M B} = 90^{0} .$

Câu 16:

17/06/2026

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(-4;1), B(2;4), C(2;-2).

a) Giải tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Xem đáp án

a) Ta có: $\vec{A B} (6; 3) \Rightarrow A B = \sqrt{6^{2} + 3^{2}} = 3 \sqrt{5};$

$\vec{A C} (6; - 3) \Rightarrow A C = \sqrt{6^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{5};$

$\vec{B C} (0; - 6) \Rightarrow B C = \sqrt{0^{2} + {(- 6)}^{2}} = 6;$

Theo định lí cosin, ta có:

$cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{3}{5} \Rightarrow \hat{A} \approx 53, 13^{0};$

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A

$\Rightarrow \hat{B} = \hat{C} = \frac{180^{0} - \hat{A}}{2} \approx 63, 44^{0}$ .

Vậy $A B = A C = 3 \sqrt{5}, B C = 6, \hat{A} = 53, 13^{0}, \hat{B} = \hat{C} = 63, 44^{0} .$

b) Gọi trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ là H(x;y)

Khi đó, ta có: $\vec{A H} (x + 4; y - 1); \vec{B C} (0; - 6); \vec{B H} (x - 2; y - 4); \vec{A C} (6; - 3)$

Vì $A H ⊥ B C \Rightarrow \vec{A H} . \vec{B C} = 0 \Leftrightarrow (x + 4) .0 + (y - 1) . (- 6) = 0 \Leftrightarrow y = 1.$

Vì $B H ⊥ A C \Rightarrow \vec{B H} . \vec{A C} = 0 \Leftrightarrow (x - 2) .6 + (y - 4) . (- 3) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2) .2 + (y - 4) . (- 1) = 0 \Leftrightarrow 2 x - y = 0$

Mà y = 1 $\Rightarrow 2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} .$

Câu 17:

17/06/2026

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - {(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}} .$

Xem đáp án

Ta có: $S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C . \sin (\vec{A B}, \vec{A C})$

$= \frac{1}{2} A B . A C . \sqrt{1 - c o s^{2} (\vec{A B}, \vec{A C})}$

$= \frac{1}{2} A B . A C . \sqrt{1 - \frac{{(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}}{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2}}}$

$= \frac{1}{2} A B . A C . \sqrt{\frac{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - {(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}}{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2}}}$

$= \frac{1}{2} A B . A C . \frac{1}{A B . A C} . \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - {(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}}$

$= \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - {(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}}$

Câu 18:

17/06/2026

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².

Xem đáp án

$MA \to 2 + {\vec{MB}}^{2} + {\vec{MC}}^{2} = {(\vec{MG} + \vec{GA})}^{2} + {(\vec{MG} + \vec{GB})}^{2} + {(\vec{MG} + \vec{GC})}^{2} = {\vec{MG}}^{2} + 2 \vec{MG} . \vec{GA} + {\vec{GA}}^{2} + {\vec{MG}}^{2} + 2 \vec{MG} . \vec{GB} + {\vec{GB}}^{2} + {\vec{MG}}^{2} + 2 \vec{MG} . \vec{GC} + {\vec{GC}}^{2} = 3 {\vec{MG}}^{2} + 2 \vec{MG} . (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}) + {\vec{GA}}^{2} + {\vec{GB}}^{2} + {\vec{GC}}^{2} Ta có : \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0} select : (tính chất trọng tâm tam giác) \Rightarrow \vec{MG} . (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}) = \vec{MG} . \vec{0} = 0 \Rightarrow {MA}^{2} + {MB}^{2} + {MC}^{2} = 3 {\vec{MG}}^{2} + {\vec{GA}}^{2} + {\vec{GB}}^{2} + {\vec{GC}}^{2} .$

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3