Hướng dẫn giải

Nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc (E) thì ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

Ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{{(-y_0)}^2}{b^2}=\frac{{(-x_0)}^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=\frac{{(-x_0)}^2}{a^2}+\frac{{(-y_0)}^2}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$ nên các điểm có toạ độ M₁(x₀; –y₀), M₂(–x₀; y₀), M₃(–x₀; –y₀) cũng thuộc (E).

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có: elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6 => 2a = 8 và 2b = 6 => a = 4, b = 3 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}.$

Toạ độ các đỉnh của elip là A₁(–4; 0), A₂(4; 0), B₁(0; –3), B₂(0; 3).

Toạ độ các tiêu điểm của elip là F₁(–$\sqrt{7}$; 0), F₂($\sqrt{7}$; 0).

Tiêu cự của elip là 2c = 2$\sqrt{7}$.

Hướng dẫn giải

Đầu tiên gấp tờ giấy sao cho hai đỉnh đối diện của elip trùng nhau.

Khi đó đường gấp sẽ đi qua hai đỉnh còn lại của elip, gấp tiếp tờ giấy sao cho hai đỉnh còn lại này trùng nhau. Khi đó ta đã gấp elip thành 4 phần chồng khít lên nhau.

Hướng dẫn giải

a) F₁M2 = ${[x-(-c\left)\right]}^2 + {(y-0)}^2$ = ${(x + c)}^2 + y^2$ = $x^2 + 2cx + c^2 + y^2$;

F₂M2 = ${(x – c)}^2 + {(y – 0)}^2 = x^2 – 2cx + c^2 + y^2$

b) F₁M2 – F₂M2 = $(x^2 + 2cx + c^2 + y^2) – (x^2 - 2cx + c^2 + y^2)$ = 4cx.

F₁M2 – F₂M2 = 4cx => (F₁M + F₂M)(F₁M – F₂M) = 4cx => 2a(F₁M – F₂M) = 4cx

=> F₁M – F₂M = 4cx/2a = 2 cx/a

c)

+) Từ F₁M + F₂M = 2a và $F_{1}M-F_{2}M=\frac{2c}{a}x$ ta suy ra:

(F₁M + F₂M) + (F₁M – F₂M) = 2a + $\frac{2c}{a}x$ => 2F₁M = 2a + $\frac{2c}{a}x$ => MF₁ = a + c/a x.

+) Từ F₁M + F₂M = 2a và $F_{1}M-F_{2}M=\frac{2c}{a}x$ ta suy ra:

(F₁M + F₂M) – (F₁M – F₂M) = 2a – $\frac{2c}{a}x$ => 2F₂M = 2a – $\frac{2c}{a}x$ => MF₂ = a – c/a x.

Hướng dẫn giải

a) Có$a^2 = 64, b^2 = 36$ => a = 8, b = 6 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}.$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của M(x; y) là:

MF₁ = a + c/a x = 8 + $\frac{2\sqrt{7}}{8}x$ = 8 + $\frac{\sqrt{7}}{4}x;$ MF₂ = a – $\frac{c}{a}$x = 8 – $\frac{2\sqrt{7}}{8}x$ = 8 – $\frac{\sqrt{7}}{4}x.$

b) Giả sử M(x; y) nằm trên (E) thoả mãn đề bài. Khi đó:

MF₁ = MF₂ <=> 8 +  = 8 –$\frac{\sqrt{7}}{4}x;$ => x = 0 $\iff [\begin{array}{l}y=6\\ y=-6\end{array}.$

Vậy có hai điểm thoả mãn đề bài là M₁(0; 6) và M₂(0; –6).

Hướng dẫn giải

Vì âm thanh đi từ một tiêu điểm, khi đến một điểm M bất kì trên elip luôn luôn cho tia phản xạ đi qua tiêu điểm còn lại, nghĩa là đi theo các bán kính qua tiêu nên quãng đường âm thanh đã đi là MF₁ + MF₂.

Mà MF₁ + MF₂ = (a + c/a x) + (a – c/a x) = 2a nên quãng đường âm thanh đi luôn không đổi dù đến các điểm khác nhau trên elip, vận tốc âm thanh cũng không đổi nên thời gian âm thanh đã đi cũng không đổi. Do đó âm thanh khi đi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên kia cùng một lúc.

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}=\sqrt{1-e^2}$. Nhận xét:

– Khi tâm sai e càng bé (tức là càng gần 0) thì b càng gần a và elip trông càng "béo".

– Khi tâm sai e càng lớn (tức là càng gần 1) thì tỉ số b/a càng gần 0 và elip trông càng "dẹt".

Có $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}.$

a) Tâm sai của (E) là e = $\sqrt{\frac{100-99}{100}}=\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}=0,1;$

tâm sai của (E') là e' = $\sqrt{\frac{10-1}{10}}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\approx 0,95.$

b) Vì (E') có tâm sai lớn hơn tâm sai của (E) nên (E') có hình dạng "dẹt" hơn.

Hướng dẫn giải

Nhìn hình ta thấy quỹ đạo chuyển động của tiểu hành tinh HD20782b "dẹt" hơn so với quỹ đạo chuyển động của Trái Đất, do đó tâm sai của quỹ đạo chuyển động của Trái Đất nhỏ hơn tâm sai của quỹ đạo chuyển động của tiểu hành tinh HD20782b.

Có a – ex = MF₂ > 0 nên a – ex > 0.

$d(M;{\Delta }_2)=|x-\frac{a}{e}|=\frac{|ex-a|}{e}=\frac{a-ex}{e}$ (vì a – ex > 0).

Hướng dẫn giải

a) Có $a^2 = 4, b^2 = 1$ => a = 2, b = 1 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}.$

Toạ độ hai tiêu điểm của elip là $F_1(-\sqrt{3};0)$ và $F_2(\sqrt{3};0).$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁ là

Δ₁: $x+\frac{a}{e}=0\iff x+\frac{a^2}{c}=0\iff x+\frac{4}{\sqrt{3}}=0;$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂ là

Δ₂: $x-\frac{a}{e}=0\iff x-\frac{a^2}{c}=0\iff x-\frac{4}{\sqrt{3}}=0.$

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Elip có tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6, suy ra c = 3.

– Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 50/3, suy ra $2\frac{a}{e}=\frac{50}{3}$

$\Rightarrow \frac{a}{e}=\frac{25}{3}\Rightarrow \frac{a^2}{c}=\frac{25}{3}\Rightarrow \frac{a^2}{3}=\frac{25}{3}\Rightarrow a^2=25\Rightarrow b^2=a^2-c^2=25-9=16.$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.$

Hướng dẫn giải

a) Có $a^2 = 64, b^2 = 36$ => a = 8, b = 6 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}.$

Tâm sai của (E) là $e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{7}}{8}=\frac{\sqrt{7}}{4}.$

Chiều dài hình chữ nhật cơ sở là 2a = 16, chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 2b = 12.

Vẽ (E):

b) hai bán kính qua tiêu của điểm M(0; 6) là MF₁ = a + c/a x = 8 + $\frac{\sqrt{7}}{4}.0$ = 8,

MF₂ = a – $\frac{c}{a}x$ = 8 ­– $\frac{\sqrt{7}}{4}.0$ = 8.

Hướng dẫn giải

Xét điểm M có toạ độ là (x; y).

+) Xét khoảng cách từ M đến F₁.

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF₁ = a + $\frac{c}{a}$x.

Mặt khác, vì M thuộc elip nên –a ≤ x ≤ a

 $\Rightarrow \frac{c}{a}.(-a)\le \frac{c}{a}x\le \frac{c}{a}.a\Rightarrow -c\le \frac{c}{a}x\le c\Rightarrow a-c\le a+\frac{c}{a}x\le a+c.$

Vậy a – c ≤ MF₁ ≤ a + c.

Vậy độ dài MF₁ nhỏ nhất bằng a – c khi M có hoành độ là –a, lớn nhất bằng a + c khi M có hoành độ bằng a.

+) Xét khoảng cách từ M đến F₂.

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF₂ = a – $\frac{c}{a}$x.

Mặt khác, vì M thuộc elip nên –a ≤ x ≤ a

 $\Rightarrow \frac{c}{a}.(-a)\le \frac{c}{a}x\le \frac{c}{a}.a\Rightarrow -c\le \frac{c}{a}x\le c\Rightarrow c\ge -\frac{c}{a}x\ge -c\Rightarrow a+c\ge a+\frac{c}{a}x\ge a-c.$

Vậy a + c ≥ MF₂ ≥ a – c.

Vậy độ dài MF₂ nhỏ nhất bằng a – c khi M có hoành độ là a, lớn nhất bằng a + c khi M có hoành độ bằng –a.

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Elip có tiêu cự bằng 12, suy ra 2c = 12, suy ra c = 6.

– Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 169/6, suy ra $2\frac{a}{e}=\frac{169}{6}$

$\Rightarrow \frac{a}{e}=\frac{169}{12}\Rightarrow \frac{a^2}{c}=\frac{169}{12}\Rightarrow \frac{a^2}{6}=\frac{169}{12}\Rightarrow a^2=84,5\Rightarrow b^2=a^2-c^2=84,5-36=48,5.$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{84,5}+\frac{y^2}{48,5}=1.$

Lời giải

a) Có $a^2 = 9, b^2 = 1$ => a = 3, b = 1 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$

Tâm sai của (E) là $e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(3; 0) là MF₁ = a +$\frac{c}{a}x$ = 3 + $\frac{2\sqrt{2}}{3}.3$ = 3 + $2\sqrt{2},$ MF₂ = a –$\frac{c}{a}x$ = 3 – $\frac{2\sqrt{2}}{3}.3$ = 3 –$2\sqrt{2},$

b) Gọi toạ độ của N là (x; y). Khi đó NF₁ = a +$\frac{c}{a}x$, NF₂ = a –$\frac{c}{a}x$.

NF₁ = NF₂ => a +$\frac{c}{a}x$ = a –$\frac{c}{a}x$ => x = 0 $\iff [\begin{array}{l}y=1\\ y=-1\end{array}.$

Vậy có hai điểm N thoả mãn là N₁(0; 1) và N₂(0; –1).

c) Gọi toạ độ của S là (x; y). Khi đó SF₁ = a + $\frac{c}{a}x$, SF₂ = a – $\frac{c}{a}x$.

SF₁ = 2SF₂ => a + $\frac{c}{a}x$ = 2$(a-\frac{c}{a}x)$$\iff 3\frac{c}{a}x=a\iff x=\frac{a^2}{3c}=\frac{9}{3.2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$

$\iff [\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}.$

Vậy có hai điểm S thoả mãn là $S_1(\frac{3\sqrt{2}}{4};\frac{\sqrt{3}}{2})$ và $S_2(\frac{3\sqrt{2}}{4};-\frac{\sqrt{3}}{2}).$

*Phương pháp giải:

Từ các thông tin đề bài cho, ta áp dụng các hệ thức:

+ Hai tiêu điểm:$F_1$ (-c; 0) và $F_2$(c; 0)

+ Bốn đỉnh:$A_1$ (-a; 0), $A_2$(a; 0), $B_1$ (0; -b) và $B_2$(0; b)

+ Độ dài trục lớn:${\text{A}}_1{\text{A}}_2=2a$

+ Độ dài trục nhỏ:$B_1{B}_2=2b$

+ Tiêu cự: $F_1{F}_2=2c$

+ Tâm sai của (E): $e=\frac{c}{a}<1$

+ $b^2=a^2-c^2$

Từ đó tìm ra a và b để viết phương trình chính tắc của elip: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

Lý thuyết:

1. Định nghĩa elip

Cho hai điểm cố định $F_1$ và $F_2$ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn $F_1{F}_2$. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $F_{1}M+F_{2}M=2a$.

- Hình dạng của elip: Elip có hai trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc toạ độ.

2. Các thành phần của Elip

Trong mặt phẳng Oxy

II. Phương trình chính tắc của elip

Cho elip (E) có các tiêu điểm $F_1$ và $F_2$. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi $F_{1}M+F_{2}M=2a$. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho $F_1$(-c; 0) và $F_2$(c; 0). Khi đó ta có:

M (x; y) $\in \left(E\right)\iff \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. (1) với $b^2=a^2-c^2$

Phương trình (1) là phương trình chính tắc của elip.

III. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip

+ Từ hệ thức $b^2=a^2-c^2$ ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn

+ Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình $x^2+y^2=a^2$. Với mỗi điểm M (x; y) thuộc đường tròn ta xét điểm M’(x’; y’) sao cho : $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=x\\ y\text{'}=\frac{b}{a}y\end{array}\right.$ với (0 < b < a) thì tập hợp các điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình:

$\frac{x{\text{'}}^2}{a^2}+\frac{y{\text{'}}^2}{b^2}=1$ là một elip (E). Khi đó ta nói đường tròn (C) được co thành elip (E).

Xem thêm

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F₁ của elip và trục Ox đi qua hai tiêu điểm của elip, đơn vị trên các trục toạ độ là triệu kilômét.

Khi đó phương trình của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Gọi toạ độ của Trái Đất là M(x; y) thì khoảng cách giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trời là MF₁ = a – ex ≥ a – ea (vì x ≤ a). Do đó khoảng cách gần nhất giữa Trái Đất và tâm Mặt Trơ là a – ea, suy ra a – ea = 147 => a = $\frac{147}{1-e}.$

Mặt khác vì x ≥ –a nên a – ex ≤ a + ea nên khoảng cách xa nhất giữa Trái Đất và tâm Mặt Trời là a + ea = a(1 + e) = $\frac{147}{1-e}(1+e)\approx$152 (triệu km).

Vậy khoảng cách xa nhất giữa Trái Đất và tâm Mặt Trời là 152 triệu km.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Trái Đất trùng với tiêu điểm F₁ của elip (E) và trục Ox đi qua hai tiêu điểm của elip, đơn vị trên các trục toạ độ là kilômét.

Khi đó phương trình của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Gọi toạ độ của Trái Đất là M(x; y) thì khoảng cách giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là MF₁ = a – ex.

Vì –a ≤ x ≤ a nên a – ea ≤ a –ex ≤ a + ea.

Do đó khoảng cách gần nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là a – ea và khoảng cách xa nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là a + ea $\Rightarrow \{\begin{array}{l}a-ea=6586\\ a+ea=7310\end{array}$.

Cộng theo vế 2 phương trình này ta được 2a = 113896, suy ra a = 6948.

Thay vào phương trình thứ nhất ta được 6948 – 6948e = 6586 =>  e ≈ 0,052.

Vậy tâm sai của quỹ đạo chuyển động của vệ tinh Sputnik I là 0,052.