Đáp án đúng là: C

Ta có $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{4.1+3.7}{\sqrt{4^2+3^2}.\sqrt{1^2+7^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 

Vậy $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = 45^o.

Đáp án đúng là: D

Ta có MN = $\sqrt{{\left(x_N-x_M\right)}^2+{\left(y_N-y_M\right)}^2}$ = $\sqrt{{\left(-3-1\right)}^2+{\left(4+2\right)}^2}=2\sqrt{13}$.

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC có:

$\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)$ ⇒ AB = $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$;

$\overrightarrow{BC}=\left(0;-4\right)$⇒ BC = $\sqrt{0^2+4^2}=4$

$\overrightarrow{AC}=\left(2;-2\right)$ ⇒ AC = $\sqrt{2^2+{\left(-2\right)}^2}=2\sqrt{2}$

Phát biểu A, C sai

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=2.2+2.(-2)=0$

⇒ $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ = 90^o $\Rightarrow \hat{A}$ = 90^o

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A. Do đó phát biểu D đúng và B sai.

Đáp án đúng là: A

Xét đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{c}x=5+t\\ y=-9-2t\end{array}\right.$

Đường thẳng d đi qua M(5; – 9) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ (1; – 2) và vectơ pháp tuyến

$\overrightarrow{n}$(2; 1).

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 2(x – 5) + 1(y + 9) = 0 ⇔ 2x + y – 1 = 0.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Gọi đường thẳng ∆ đi qua M(1; 0) và song song với đường thẳng d: 4x + 2y + 1 = 0 có phương trình tổng quát là 4x + 2y + c = 0 (c ≠ 1).

Vì M $\in$ ∆ nên ta có: 4.1 + 2.0 + c = 0 ⇔ c = – 4 (thỏa mãn).

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: 4x + 2y – 4 = 0 ⇔ 2x + y – 2 = 0.

Đáp án đúng là: D

Đường tròn tâm I(0; – 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x – 4y – 23 = 0 có bán kính R = d_{(I, ∆)} = $\frac{\left|3.0-4.(-2)-23\right|}{\sqrt{3^2+{(-4)}^2}}=3$.

Vậy bán kính đường tròn cần tìm là 3.

Đáp án đúng là: A

Đường tròn (C): x² + y² + 2x + 4y – 20 = 0 có a = – 1; b = – 2; c = – 20

Suy ra đường tròn (C) có tâm I(– 1; – 2); bán kính R = $\sqrt{{(-1)}^2+{(-2)}^2+20}=5$.

Phát biểu A sai, phát biểu B đúng.

Thay điểm M(2; 2) vào phương trình đường tròn (C) ta có: 2² + 2² + 2.2 + 4.2 – 20 = 0 thoả mãn phương trình đường tròn. Suy ra (C) đi qua điểm M

Phát biểu C đúng.

Thay điểm A(1; 1) vào phương trình đường tròn (C) ta có: 1² + 1² + 2.1 + 4.1 – 20 = – 12 ≠ 0 không thoả mãn phương trình đường tròn. Suy ra (C) không đi qua điểm A

Phát biểu D đúng.

Vậy đáp án đúng là A.

Đáp án đúng là: A

Ta có 3² + 4² – 2.3 – 44 – 3 = 0 nên điểm M thuộc đường tròn (C)

Đường tròn (C) có tâm I(1; 2)

Phương trình tiếp tuyến của d với (C) tại điểm M(3; 4)

(1 – 3)(x – 3) + (2 – 4)(y – 4) = 0

⇔ – 2x – 2y + 14 = 0

⇔ x + y – 7 = 0.

Đáp án đúng là: C

Ta có a = 3; c = 1 suy ra b = a² – c² = 3² – 1² = 8.

Phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$.

Đáp án đúng là: B

Ta có a = 4; c = 5 suy ra $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$ 

Vậy phương trình chính tắc của Hypebol là: $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 

Đáp án đúng là: A

Ta có tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)$ suy ra p = 4

Vậy phương trình chính tắc của parabol là: y² = 8x.

Đáp án đúng là: C

Elip có độ dài hai trục lần lượt là:

Trục lớn 2a = 20 ⇒ a = 10;

Trục bé 2b = 12 ⇒ b = 6.

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$ 

$\Rightarrow \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}$ nên hai vectơ cùng phương hay OA song song với BC và OA = BC = $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$.

Do đó tứ giác OABC là hình bình hành.

Ta có $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}=2.(-1)+2.1=0$ $\Rightarrow \overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OC}$ hay OA $\perp$ OC

Tứ giác OABC là hình bình hành và có 1 góc vuông nên tứ giác OABC là hình chữ nhật.

b) Tâm I(x; y) của hình chữ nhật OABC là trung điểm của OB

Ta có $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{x_O+x_B}{2}=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}\\ y=\frac{y_O+y_B}{2}=\frac{0+3}{2}=\frac{3}{2}\end{array}\right.$ 

Vậy $I\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$ .

b) $d_1:\left\{\begin{array}{c}x=9+9t\\ y=7+18t\end{array}\right.$ và $d_2:4x-l2y+13=0$;

Hai đường thẳng d₁ và d₂ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ = (2; - 1); $\overrightarrow{n_2}$= (1; -3)

Ta có ${\text{cos(d}}_1,d_2)=\frac{\left|2.1+(-1).(-3)\right|}{\sqrt{2^2+{(-1)}^2}.\sqrt{1^2+{(-3)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 

Vậy (d₁, d₂) = 45^o

Ta có phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B(3; 1) có vectơ chỉ phương là vectơ $\overrightarrow{BC}=(-2;2)$ và có vectơ pháp tuyến là vectơ

$\overrightarrow{n}$ (1; 1)

Phương trình tổng quát của BC là: (x – 3) + (y – 1) = 0 ⇔ x + y – 4 = 0.

Đường cao AH đi qua điểm A(1; 1) có véc tơ pháp tuyến là vectơ $\overrightarrow{BC}$ (– 2; 2) có phương trình là: – 2(x – 1) + 2(y – 1) = 0 ⇔ – x + y = 0.

Toạ độ điểm H là giao điểm của đường thẳng AH và đường thẳng BC ta có hệ

$\left\{\begin{array}{l}x+y-4=0\\ -x+y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2\end{array}\right.$                .

Suy ra toạ độ điểm H(2; 2)

Ta có AH = $\sqrt{{(x_H-x_A)}^2+{(y_H-y_A)}^2}=\sqrt{{(2-1)}^2+{(2-1)}^2}=\sqrt{2}$ .

Vậy độ dài đường cao AH là $\sqrt{2}$.

Bán kính của đường tròn tâm J(1; 0) và tiếp xúc với đường thẳng d: 8x – 6y + 22 = 0 là R = d_{(J, d)} = $\frac{\left|8.1-6.0+22\right|}{\sqrt{8^2+{(-6)}^2}}=3$.

Vậy bán kính của đường tròn đã cho là 3.

Lấy điểm M(0; $\frac{-c}{d}$) ∈ ∆. Vì ∆ // ∆’ nên M ∉ ∆’.

Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆’ bằng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆’ và bằng:

d_{(∆, ∆’)} = d_(M,∆’)$=\frac{\left|a.0+b.\frac{-c}{b}+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\left|d-c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

a) (x + 1)² + (y + 2)² = 225 ⇔ (x + 1)² + (y + 2)² = 15²

Vì vậy đường tròn có tâm I(– 1; – 2), bán kính R = 15.

b) x² + (y – 7)² = 5 ⇔ x² + (y – 7)² = ${\left(\sqrt{5}\right)}^2$

Vì vậy đường tròn có tâm I(0; 7), bán kính R = $\sqrt{5}$.

c) x² + y² – 10x – 24y = 0 ⇔ x² + y² – 2.5x – 2.12.y = 0

Phương trình đường tròn có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 với a = 5; b = 12; c = 0

Ta có R² = a² + b² – c = 25 + 144 – 0 = 169 ⇒ R = $\sqrt{169}=13$.

Vậy đường tròn có tâm I(5; 12) bán kính R = 13.

a) Đường tròn tâm I(2; 2) và bán kính bằng 7 có phương trình:

(x – 2)² + (y – 2)² = 49.

Vậy phương trình đường tròn là (x – 2)² + (y – 2)² = 49.

b) Đường tròn tâm J(0; - 3) đi qua điểm M(- 2; - 7) có bán kính R = JM

Ta có JM = $\sqrt{{(x_M-x_J)}^2+{(y_M-y_J)}^2}=\sqrt{{\left(-2-0\right)}^2+{\left(-7+3\right)}^2}=2\sqrt{5}$ 

Đường tròn tâm J(0; - 3) bán kính R = $2\sqrt{5}$ có phương trình là

(x – 0)² + (y + 3)² = 20 $\iff$ x² + (y + 3)² = 20

c) Gọi tâm I(a; b) vì tâm I thuộc đường thẳng x – y = 0 nên ta có a – b = 0 $\iff$ a = b

Vậy tâm I(a; a)

Đường tròn đi qua hai điểm A(2; 2); B(6; 2) nên ta có AI² = BI²

$\iff$ (a – 2)² + (a – 2)² = (a – 6)² + (a – 2)²

$\iff$ a² – 4a + 4 = a² – 12a + 36

$\iff$8a = 32

$\iff$ a = 4

Vậy tâm I(4; 4)

Ta có bán kính R = IA = $\sqrt{{(4-2)}^2+{(4-2)}^2}=2\sqrt{2}$ 

Phương trình đường tròn tâm I(4; 4) bán kính R = $2\sqrt{2}$ có phương trình

(x – 4)² +(y – 4)² = 8

Ta thay toạ độ điểm A vào phương trình đường tròn (C): (4 – 1)² + (5 – 1)² = 25. Suy ra A thuộc đường tròn (C)

Đường tròn (C) có tâm I(1; 1)

Phương trình tiếp tuyến tại của đường tròn (C) tại A là

(1 – 4)(x – 4) + (1 – 5)(x – 5) = 0 ⇔ – 3x – 4y + 32 = 0.

a) Hình vẽ đã cho biểu diễn đường Elip.

b) Hình vẽ đã cho biểu diễn đường Parabol.

c) Hình vẽ đã cho biểu diễn đường Hypebol.

Lời giải

a) Ta có 2a = 26 ⇒ a = 13; 2b = 10 ⇒ b = 5.

Suy ra phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^2}{{13}^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\iff \frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$.

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$.

b) Ta có 2a = 10 ⇒ a = 5; 2c = 6 ⇒ c = 3 và b = $\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$ 

Suy ra phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1\iff \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

Vậyphương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

a) $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{144}=1\iff \frac{x^2}{5^2}-\frac{y^2}{{12}^2}=1$

Suy ra a = 5; b = 12 và $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+{12}^2}=13$.

Toạ độ các đỉnh A₁(- 5; 0); A₂(5; 0)

Tiêu điểm F₁(- 13; 0); F₂(13; 0)

Độ dài trục thực 2a = 10; độ dài trục ảo 2b = 24.

b) $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\iff \frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$

Suy ra a = 4; b = 3 và $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$ 

Khi đó:

Toạ độ các đỉnh A₁(- 4; 0); A₂(4; 0);

Tiêu điểm F₁(- 5; 0); F₂(5; 0).

Độ dài trục thực 2a = 8; độ dài trục ảo 2b = 6.

a) Ta có các đỉnh A₁(- 6; 0); A₂(6; 0) $\Rightarrow$ a = 6

Các tiêu điểm F₁(- 10; 0); F₂(10; 0) $\Rightarrow$ c = 10

$\Rightarrow$ b = $\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{{10}^2-6^2}=8$ 

Khi đó phương trình chính tắc của Hypebol là: $\frac{x^2}{6^2}-\frac{y^2}{8^2}=1\iff \frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$.

Vậy phương trình chính tắc của Hypebol là: $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$.

b) Ta có:

Độ dài trục thực 2a = 10 $\Rightarrow$a = 5;

Độ dài trục ảo 2b = 20 $\Rightarrow$ b = 10.

Khi đó phương trình chính tắc của Hypebol là: $\frac{x^2}{5^2}-\frac{y^2}{{10}^2}=1\iff \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{100}=1$.

Vậy phương trình chính tắc của Hypebol là: $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{100}=1$.

a) Xét parabol y² = 4x

Ta có 2p = 4 ⇔ p = 2 suy ra tiêu điểm F(1; 0) và đường chuẩn ∆: x + 1 = 0.

b) Xét parabol y² = 2x

Ta có 2p = 2 ⇔ p = 1 suy ra tiêu điểm $F\left(\frac{1}{2};0\right)$ và đường chuẩn ∆: $x+\frac{1}{2}=0$.

c) Xét parabol y² = – 6x

Ta có 2p = – 6 ⇔ p = – 3 suy ra tiêu điểm $F\left(-\frac{3}{2};0\right)$ và đường chuẩn ∆: $x-\frac{3}{2}=0$.

a) Ta có tiêu điểm F(8; 0) nên $\frac{p}{2}=8$ ⇒ p = 16

Vì vậy phương trình chính tắc của Parabol: y² = 32x.

b) Ta có khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 4 nên p = 4

Vì vậy phương trình chính tắc của Parabol: y² = 8x.

b) Gọi điểm A là điểm có khoảng cách 4m từ chân vách nên OA = 8 – 4 = 4 m. Từ điểm A dõng lên cắt mái vòm tại B khi đó B(4; y).

Suy ra độ dài AB là khoảng cách từ chân vách đến mái vòm và bằng y.

Vì B thuộc Elip nên ta có $\frac{4^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1\iff y=\sqrt{36\left(1-\frac{4^2}{64}\right)}=3\sqrt{3}$.

Vậy khoảng cách từ điểm cách chân vách 4m lên đến mái vòm là $3\sqrt{3}$ ≈ 5,2 m.

Ta có:

2a = 768800 $\Rightarrow$ a = 384400;

2b = 767619 $\Rightarrow$ b = $\frac{767619}{2}$.

Khi đó phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^2}{{384400}^2}+\frac{4y^2}{{767619}^2}=1$.

b) Khoảng cách giữa máy bay và trạm không điều khiển bằng OA

Ta có OA = $\sqrt{{(x_A-x_O)}^2+{(y_A-y_O)}^2}=\sqrt{{(181-0)}^2+{(-179-0)}^2}=\sqrt{64802}\approx$ 255 km.

Vậy khoảng cách giữa máy bay và trạm không điều khiển khoảng 255 km.