Đáp án đúng: D

*Phương pháp giải:

- dựa theo công thức tính thể tích hình lăng trụ

*Lời giải:

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V = B.h

* Lý thuyết và các dạng bài về tính thể tích khối lăng trụ:

 Các lăng trụ đặc biệt

a) Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy. Các mặt bên là các hình chữ nhật. Cạnh bên bằng đường cao của lăng trụ.

b) Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng và có đáy là đa giác đều. Các mặt bên của lăng trụ đều là các hình chữ nhật và bằng nhau.

c) Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

+) 6 mặt của hình hộp là các hình bình hành.

+) Hai mặt đối diện song song và bằng nhau.

+) Bốn đường chéo của hình hộp đồng quy tại trung điểm của mỗi đường.

d) Hình hộp chữ nhật: là hình hộp có 6 mặt đều là các hình chữ nhật.

e) Hình lập phương: Là hình hộp có 6 mặt đều là các hình vuông (bằng nhau).

Công thức thể tích:

a) Thể tích khối lăng trụ

$V_{LT}=S.h$

với: S: Diện tích đáy

h: Chiều cao.

b) Thể tích khối hộp chữ nhật

$V=a.b.c$

với a, b, c là ba kích thước.

c) Thể tích khối lập phương

$V=a^3$

Trong đó a là độ dài cạnh.

PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

Bước 1: Xác định và tính chiều cao của khối đa diện

Bước 2: Tìm diện tích đáy bằng các công thức.

Bước 3: Sử dụng công thức tính thể tích.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Ôn tập chương 1 – Toán 12

Bài toán về thể tích khối lăng trụ (có đáp án) – Toán 12 

Chuyên đề Thể tích khối đa diện (2022) - Toán 12

Đáp án đúng: D

* Lời giải:

Ta có: $d=u_2-u_1=6.$

* Phương pháp giải:

un+1=un+d,n∈N∗

* Lý thuyết nắm thêm

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

- Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Nếu (u_n) là một cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi

$u_{n+1}=u_n+d,n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Nhận xét:

- Cấp số cộng (u_n) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d > 0.

- Cấp số cộng (u_n) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d < 0.

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ + (n - 1)d với $n\ge 1,n\in \mathbb{N}$.

3) Tính chất của cấp số cộng

Ba số hạng $u_{k-1},u_k,u_{k+1}\left(k\ge 2\right)$

là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi $u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$

4) Tổng n số hạng đầu tiên S_n được xác định bởi công thức:

Sn=u1+u2+...+un=n(u1+un)2=n[2u1+(n−1)d]2

Các dạng bài tập cấp số cộng

Dạng 1. Xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số cộng

Phương pháp giải:

- Dãy số (u_n) là một cấp số cộng khi và chỉ khi u_{n + 1} – u_n = d không phụ thuộc vào n và d là công sai của cấp số cộng đó.

- Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Ta thiết lập một hệ phương trình hai ẩn u­₁ và d. Tìm u­₁ và d.

- Tìm số hạng thứ n dựa vào công thức tổng quát: u_n = u₁ + (n – 1)d hoặc công thức truy hồi u_n = u_{n - 1} + d.

Dạng 2. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng. Chứng minh cấp số cộng

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Ba số hạng u_k-1; u_k; u_k+1 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi $u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Cấp số cộng – Toán 11 Kết nối tri thức 

50 bài tập về Cấp số cộng (có đáp án 2024) và cách giải 

Chọn D

Dựa vào BBT ta thấy hàm số y= f(x) đồng biến trên $\left(-1;3\right)$

Chọn A

$V=a.2a.3a=6a^3$ (đvtt)

Đáp án đúng: C

*Lời giải:    

Mỗi cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 7 phần tử. Số cách chọn 2 học sinh của 7 học sinh là:  $C_7^2.$

*Phương pháp giải:

- Chọn ngẫu nhiên ra 2 học sinh từ 7 học sinh nên ta sẽ dùng tổ hợp:

*Lý thuyến cần nắm về tổ hợp - xác suất

1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện.

2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

3. Hoán vị:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.

- Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n(n-1)...2.1 = n!

4. Chỉnh hợp:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

5. Tổ hợp:

Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. (1 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:

6. Công thức nhị thức Niu-tơn:

    (a + b)n = Cn0an + Cn1an - 1b + … + Cnkan - kbk + … + Cnn-1abn-1 + Cnnbn

7. Phép toán trên các biến cố:

- Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử.

Khi đó, tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A−.

- Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử:

    + Tập A ⋃ B được gọi là hợp của các biến cố A và B.

    + Tập A ⋂ B được gọi là giao của các biến cố A và B.

    + Nếu A ⋂ B = ∅ thì ta nói A và B xung khắc.

8. Xác suất của biến cố:

Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó, xác suất của biến cố A là: 

trong đó: n(A) là số phần tử của A; còn n(Ω) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

9. Tính chất của xác suất:

Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.

    P(∅) = 0, P(Ω) = 1

    0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A.

    Nếu A và B xung khắc, thì P(AB) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)

    Với mọi biến cố A, ta có: P(A−) = 1 – P(A).

    A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Tổ hợp - xác suất hay, chi tiết 

Giải Toán 11 Chương 2: Tổ hợp – xác suất 

Các dạng bài tập Tổ hợp - Xác suất 

Đáp án A

$I=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(2x+1\right)dx={\left.\left(x^2+x\right)\right|}_{-1}^0=0-0=0$

Chọn A

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số là -4

Chọn A

Ta có: $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[2f\left(x\right)-3g\left(x\right)\right]dx=2\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-3\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx=2.3-3.\left(-2\right)=12$

Đáp án A

Bán kính đường tròn đáy của khối nón là $r=\sqrt{l^2-h^2}=3$

Vậy thể tích của khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=12\pi$

Đáp án B

Ta có: $z_1+z_2=3-4i$

Đáp án B

Ta có: $2^{2x-1}=8\iff 2x-1=3\iff x=2$

Chọn A

$M\left(3;-5\right)$ là điểm biểu diễn của số phức $z=3-5i$.

Số phức liên hợp $\overline{z}$ của z là: $\overline{z}=3+5i.$

Đáp án đúng:A 

*Lời giải

ta có số phức z = 1 + 3i 

nên ta có  1/z = 1/ 1+3i = 1-3i/10

*Phương pháp giải

- để tìm số phức nghịch đảo của số phức z ta chỉ cần tìm số phức 1/z 

*Lý thuyến cần nắm về số phức:

1.1. Số i

Số i là số thỏa mãn: i2 = – 1.

1.2. Định nghĩa số phức

Mỗi biểu thức dạng a + bi , trong đó $a;b\in R$; i2 = – 1 được gọi là một số phức.

Đối với số phức z = a + bi, ta nói: a là phần thực, b là phần ảo của z.

Tập hợp các số phức kí hiệu là C.

1.3. Số phức bằng nhau

– Định nghĩa: Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau :

a + bi = c + di a = c và b = d.

– Chú ý :

a) Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0 : a = a + 0i.

Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có: $R\subset C$

b) Số phức 0 + bi được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản là bi : bi = 0 + bi

Đặc biệt: i = 0 + 1.i

Số i được gọi là đơn vị ảo.

1.4. Biểu diễn hình học số phức

Điểm M(a ; b) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi.

1.5. Môđun của số phức.

Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) trên mặt phẳng tọa độ.

Độ dài của vecto $\overrightarrow{OM}$ được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là |z|.

Vậy $\left|z\right|=\left|\overrightarrow{OM}\right|$ hay $\left|a+bi\right|=\left|\overrightarrow{OM}\right|$.

Ta thấy: $\left|a+bi\right|=\sqrt{a^2+b^2}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Ôn tập chương 4 (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

190 Bài trắc nghiệm Số phức từ đề thi đại học cực hay có lời giải 

Đáp án B

$F\left(x\right)=\int \frac{1}{x+1}\text{d}x=\ln \left|x+1\right|+C$ mà $F\left(0\right)=2$ nên $F\left(x\right)=\ln \left|x+1\right|+2$.

Do đó $F\left(1\right)=2+\ln 2$

Chọn B

Ta có: $z\left(1+i\right)=3-5i\iff z=\frac{3-5i}{1+i}=-1-4i$$\Rightarrow \left|z\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}=\sqrt{17}$

Chọn C

$f^{\text{'}}\left(x\right)=27+\cos x\Rightarrow \int f^{\text{'}}\left(x\right)dx=\int \left(27+\cos x\right)dx\Rightarrow f\left(x\right)=27x+\sin x+C$

Mà $f\left(0\right)=2019\Rightarrow 27.0+\sin 0+C=2019$$\iff C=2019\Rightarrow f\left(x\right)=27x+\sin x+2019$ 

Chọn C

Theo công thức tọa độ trọng tâm ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{1+2+0}{3}=1\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{3+0+9}{3}=4\\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}=\frac{5+1+0}{3}=2\end{array}\right.$$\Rightarrow G\left(1;4;2\right)$

Chọn B

Xét phương trình 

$$\begin{gathered} -\frac{x^4}{2}+x^2+\frac{3}{2}=0\iff x^4-2x^2-3=0 \\ \iff \left(x^2+1\right)\left(x^2-3\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}{x}^2+1=0\\ x^2-3=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2=-1\left(VN\right)\\ x=\sqrt{3}\\ x=-\sqrt{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy đồ thị hàm số $y=-\frac{x^4}{2}+x^2+\frac{3}{2}$ cắt trục hoành tại hai điểm.

Chọn D

Đồ thị hàm số $y=\frac{2x-3}{x+4}$ có TCN y=2 và TCĐ x=-4. Vậy tọa độ điểm I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{2x-3}{x+4}$ là: $I\left(-4;2\right)$

Đáp án A

Dạng hàm bậc ba nên loại C và loại D

Từ đồ thị ta có a>0 do đó loại B

Đáp án A

Ta có ${\log }_{\sqrt{a}}\left(a^{2}b\right)=2{\log }_a\left(a^{2}b\right)=2\left[{\log }_a{a}^2+{\log }_{a}b\right]=2(2+{\log }_{a}b)=4+2{\log }_{a}b$

Đáp án B

$S_{xq}=2\pi rh=70\pi \left(c{m}^2\right)$

Chọn B

Hàm số $y=\frac{x^3}{3}+2x^2+3x-4$ xác định và liên tục trên $\left[-4;0\right]$

$y\text{'}=x^2+4x+3,$ $y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\left(n\right)\\ x=-3\left(n\right)\end{array}\right.$. $f\left(0\right)=-4,f\left(-1\right)=-\frac{16}{3},f\left(-3\right)=-4,f\left(-4\right)=-\frac{16}{3}$

Vậy $M=-4,m=-\frac{16}{3}$ nên $M+m=-\frac{28}{3}$

Chọn A

Ta có $\log {\left(x-1\right)}^2=2=\log {10}^2\iff {\left(x-1\right)}^2=100\iff \left[\begin{array}{l}x=11\\ x=-9\end{array}\right.$

Chọn B

Ta có $P={\left(x.x^{\frac{1}{4}}\right)}^{\frac{1}{3}}={\left(x^{\frac{5}{4}}\right)}^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{5}{12}}$ 

Chọn A

Thế vào. 

Chọn C

Mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x-3=0$ có a = 1; b = 0; c = 0; d = -3 $\Rightarrow R=\sqrt{1^2+0^2+0^2-(-3)}=2$

Chọn A

Ta có: $y\text{'}=\left(3^{x+1}\right)\text{'}=3^{x+1}\ln 3$

Chọn B

Nhận thấy y’ đổi dấu từ - sang + 2 lần

=> Hàm số có 2 điểm cực tiểu

Đáp án B

$5^{1-2\text{x}}>5^{-3}\Rightarrow 1-2\text{x}>-3\Rightarrow x<2$

Chọn A

Mặt phẳng chứa trục Oz $\Rightarrow$ mặt phẳng cần tìm có 1 VTCP là $\overrightarrow{k}=\left(0;1;1\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{k}\perp \overrightarrow{n}$ với $\overrightarrow{n}$ là VTPT của mặt phẳng cần tìm.

+) Xét đáp án A: có $\overrightarrow{n}=\left(2;-1;0\right)\Rightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{k}=2.0+\left(-1\right).0+0.1=0$

Thay tọa độ điểm $I\left(1;2;3\right)$ vào phương trình ta được: $2.1-2=0\Rightarrow$thỏa mãn

Chọn C

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(2;-4;-2\right)=-2\left(-1;2;1\right)$

Đáp án A

Đường thẳng d đi qua điểm $A\left(1;2;0\right)$ và nhận $\overrightarrow{n_P}=\left(2;1;-3\right)$ là một VTCP

$\Rightarrow d:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+t\\ z=-3t\end{array}\right..$

Với t=1 thì ta được điểm $M\left(3;3;-3\right)$

Thay tọa độ điểm $M\left(3;3;-3\right)$ vào phương trình đường thẳng ở đáp án A nhận thấy thỏa mãn vậy chúng ta chọn đáp án A.

Chọn A

Tâm $I\left(2;2;2\right),R=\frac{AB}{2}=\sqrt{2}$. Mặt cầu đường kính AB: ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=2$

Chọn B