50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải ( đề 13)

20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải

20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải ( đề 13)

5850 lượt thi
50 câu hỏi
60 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

∆ABC có 2 điểm B, C cố định, A chạy trên đường tròn (C) tâm O bán kính R. Biết (C) không qua B, C. Gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm ∆ABC. Khi A chạy trên (C) thì G chạy trên đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép biến hình nào sau đây?

A. Phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{A G}$

B. Phép vị tự tâm A tỉ số $\frac{2}{3}$

C. Phép vị tự tâm M tỉ số $\frac{1}{3}$

D. Phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{M G}$

Đáp án C.

Ta có $\vec{M G} = \frac{1}{3} \vec{M A} \Rightarrow V_{(M; \frac{1}{3})} (A) = G$ và $A \in (C)$ $\Rightarrow G \in (C')$ là ảnh của (C qua $V_{(M; \frac{1}{3})}$ .

Câu 2:

Cho hàm số $y = \sqrt{2 x - x^{2}}$ . Chọn đẳng thức đúng

A. $y^{3} . y " + 1 = 0$

B. $y^{3} . y' - 1 = 0$

C. $y^{2} . y " + 1 = 0$

D. $y^{3} . y " - 1 = 0$

Đáp án A.

Ta có

$\begin{array}{l} y' = \frac{1 - x}{\sqrt{2 x - x^{2}}} \\ \Rightarrow y'' = \frac{- 1}{\sqrt{2 x - x^{2}} (2 x - x^{2})} \\ \Rightarrow y'' = \frac{- 1}{y^{3}} \end{array}$

$\Rightarrow y^{3} . y'' + 1 = y^{3} . (\frac{- 1}{y^{3}}) + 1 = 0$

Câu 3:

Các cạnh của một đa giác theo thứ tự từ bé đến lớn thì cạnh sau lớn hơn cạnh trước 3 cm. Biết cạnh ngắn nhất là 25 cm và chu vi của đa giác đó là 155 cm. Đa giác đó là hình:

A. Lục giác

B. Ngũ giác

C. Tứ giác

D. Tam giác

Đáp án B.

Các cạnh từ bé đến lơn tạo thành một cấp số cộng có $u_{1} = 25$ và công sai $d = 3$ . Gọi số cạnh của đa giác là $n \geq 3$

Chu vi là

$\begin{array}{l} S_{n} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + \dots + u_{n} \\ = n u_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 155 = n 25 + \frac{n (n - 1)}{2} .3 \\ \Rightarrow [\begin{array}{l} n = 5 \\ n = - \frac{62}{3} (1) \end{array} \end{array}$ .

Vậy đa giác đó là ngũ giác.

Nhận xét: Độc giả có thể thử từng phương án vào để tìm kết quả.

Câu 4:

Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 người vào 10 chỗ ngồi được sắp cách đều nhau bên bàn tròn mà em bé ngồi cạnh và giữa hai vợ chồng (trong 10 người thì có 2 vợ chồng và 1 em bé)?

A. 3.7!

B. 9!

C. 3!.7!

D. 2.7!

Đáp án D.

Cố định em bé => Có 2 cách sắp xếp 2 vợ chông và 7! Cách sắp xếp 7 người còn lại => Có 2.7! cách sắp xếp

Câu 5:

Lớp 12A có 8 bạn giỏi toán, 7 bạn giỏi lý và 10 bạn giỏi hóa. Cần chọn 8 bạn bất kỳ trong đó để đi dự đại hội đoàn trường. Tính xác suất để 8 bạn được chọn có đủ cả 3 môn.

A. $\frac{74457}{1081575}$

B. $\frac{74549}{1081575}$

C. $\frac{1001118}{1081575}$

D. $\frac{1007118}{1081575}$

Đáp án D.

+ Số cách chọn 8 bạn bất kì : $n (Ω) = C_{25}^{8}$

+ 8 bạn giỏi toán có $C_{8}^{8}$ cách chọn.

8 bạn giỏi hóa có $C_{10}^{8}$ cách chọn.

8 bạn giỏi cả toán và lý có $C_{15}^{8} - C_{8}^{8}$ cách chọn.

8 bạn giỏi cả toán và hóa có $C_{18}^{8} - C_{8}^{8} - C_{10}^{8}$ cách chọn.

8 bạn giỏi cả lý và hóa có $C_{17}^{8} - C_{10}^{8}$ cách chọn.

8 bạn giỏi cả toán, lý, hóa là:

$n (A) = C_{25}^{8} - (C_{8}^{8} + C_{10}^{8} + C_{15}^{8} - C_{8}^{8} + C_{18}^{8} - C_{8}^{8} - C_{10}^{8} + C_{17}^{8} - C_{10}^{8})$

$\Rightarrow P (A) = \frac{1007118}{1081575}$ .

Câu 6:

Cho khai triển ${(1 - \frac{2 x}{3})}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ . Tìm max $\{a_{0}; a_{1}; a_{2}; \dots; a_{n}\}$ biết $A_{n - 2}^{2} + C_{n}^{n - 2} = 188.$

A. $C_{13}^{6} . {(- \frac{2}{3})}^{6} .$

B. $C_{12}^{8} . {(- \frac{2}{3})}^{8} .$

C. $C_{13}^{7} {(- \frac{2}{3})}^{7} .$

D. $C_{13}^{8} . {(\frac{2}{3})}^{7} .$

Đáp án A.

+ Ta có

$\begin{array}{l} A_{n - 2}^{2} + C_{n}^{n - 2} = 188 \\ \Rightarrow \frac{(n - 2)!}{(n - 4)!} + \frac{n!}{(n - 2)! 2!} = 188 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (n - 2) (n - 3) + \frac{n (n - 1)}{2} = 188 \\ \Leftrightarrow 3 n^{2} - n - 364 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = - \frac{28}{3} (1) \\ n = 13 \end{array} \end{array}$

+ Tìm hệ số lớn nhất trong các số hạng của khai triển ${(1 - \frac{2 x}{3})}^{13}$ .

Số hạng tổng quá $T_{k + 1} = C_{13}^{k} 1^{13 - k} {(- \frac{2 x}{3})}^{k}$

$\Rightarrow a_{k} = c_{13}^{k} {(- \frac{2}{3})}^{k} \Rightarrow a_{k}$ là giá trị lớn nhất $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a_{k} \geq a_{k + 1} \\ a_{k} \geq a_{k - 1} \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} C_{13}^{k} {(- \frac{2}{3})}^{k} \geq C_{13}^{k + 1} {(- \frac{2}{3})}^{k + 1} \\ C_{13}^{k} {(- \frac{2}{3})}^{k} \geq C_{13}^{k - 1} {(- \frac{2}{3})}^{k - 1} \end{cases}$ với $\{\begin{cases} 0 \leq k \leq 13 \\ k \in ℕ \end{cases} \Rightarrow k = 6$

Vậy hệ số max là $a_{8} = C_{13}^{6} {(- \frac{2}{3})}^{8}$ .

Cách 2: Dùng MTCT

+ Dùng công cụ nhập MODE 7 nhập $f (X) = (X - 2) P 2 + X C (X - 2) - 188$

Start: 3 Bảng giá trị x f(x)

End: 23

Step: 1 13 0

Từ bảng giá trị tìm x sao cho $f (x) = 0 \Rightarrow x = 13$ . Vậy n=13.

+ Có

$\begin{array}{l} {(1 - \frac{2 x}{3})}^{13} \\ = \sum_{k = 0}^{13} C_{13}^{k} . {(- \frac{2}{3})}^{k} . x^{k} \\ \Rightarrow a_{k} = C_{13}^{k} . {(- \frac{2}{3})}^{k} \end{array}$

+ Nhập vào máy tính $f (x) = (13 C X) {(- \frac{2}{3})}^{k}$

Start: 0 Bảng giá trị x f(x)

End: 13

Step: 1 6 150.65 -> max

Từ bảng giá trị f(x) chọn f(x) lớn nhất => Giá trị x cần tìm là k

$\to k = x = 6$ thì $f (x) = 150.65$ là giá trị lớn nhất.

Câu 7:

Số nghiệm của phương trình ${(\sin 5 x + \cos 5 x)}^{2} + \sqrt{3} \cos 10 x = - 1$ trên $[0; 10]$ là

A. 1

B. 2

C. 15.

D. 16

Đáp án D.

Ta có phương trình $\Leftrightarrow \sin 10 x + \sqrt{3} \cos$ $\Leftrightarrow 1 + 2 \sin 5 x c o s 5 x + \sqrt{3} \cos 10 x = - 1$

$\Leftrightarrow \sin (x + a) = \frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ $\sin 10 x + \sqrt{3} \cos 10 x = - 2$

$\Leftrightarrow \sin (10 x + \frac{π}{3}) = - 1$ $\Leftrightarrow x = - \frac{π}{12} + k \frac{π}{5}$ $(k \in ℤ)$

Vì

$\begin{array}{l} x \in [0; 10] \\ \Rightarrow \{\begin{cases} k \in ℤ \\ 0 \leq - \frac{π}{12} + k \frac{π}{5} \leq 10 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} k \in ℤ \\ \frac{5}{12} \leq k \leq \frac{10 + \frac{π}{12}}{\frac{π}{5}} \end{cases} \end{array}$

$k \in \{1,2,3, \dots,16\} \Rightarrow$ Có 16 nghiệm thỏa mãn.

Câu 8:

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. M là trung điểm cảu BC, K là điểm thuộc BD sao cho BK = 2KD. I là trung điểm của AC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (IMK) và hình chóp.

A. $\frac{a^{2}}{4} .$

B. $\frac{a^{2} \sqrt{51}}{26} .$

C. $\frac{5 a^{2} \sqrt{51}}{144} .$

D. $\frac{4 a^{2}}{9} .$

Đáp án C.

+ (ABD) và (IMK) có điểm chung là k và lần lượt chứa hai đường thẳng AB // MI

=>Giao tuyến của (ABD) và (IMK) là đường thẳng đi qua K và song song với AB và AD tại E =>Thiết diện cần tìm là tứ giác MKEI có $\{\begin{cases} M I / / K E \\ M I > K E \end{cases}$ (1)

+ $Δ B M K = Δ A I E \Rightarrow I E = M K$ (2)

Từ (1) và (2) =>Tứ giác MKEI là hình thang cân với đáy lớn là MI

+ Có $E K = \frac{1}{3}; A B = \frac{a}{3}; M I = \frac{a}{2}$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên MI =>2IH + EK = IM => $I H = \frac{a}{12}$

$\begin{array}{l} I E = \sqrt{A I^{2} + A E^{2} - 2 A I . A E . c o s 60 °} \\ = \frac{a \sqrt{13}}{6} \\ \Rightarrow E H = \sqrt{\frac{13 a^{2}}{36} - \frac{a^{2}}{144}} = \frac{a \sqrt{51}}{12} \end{array}$

$\begin{array}{l} S_{I M K E} = \frac{1}{2} (E K + I M) . E H \\ = \frac{5 a^{2} \sqrt{51}}{144} \end{array}$

Câu 9:

Xét các mệnh đề sau:

(I) Có một và chỉ một đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt.

(II) Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt.

(III) Nếu 2 mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có duy nhất một điểm chung khác nữa.

(IV) Nếu 1 đường thẳng có 2 điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng.

Số mệnh đề sai là:

A. 1

B. 2.

C. 3

D. 4.

Đáp án B.

Xét các mệnh đề sau: II và III sai.

Số mệnh đề sai là 2.

Câu 10:

Cho dãy số $u_{n} = {(- 2)}^{n} .$ chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. Dãy số $(u_{n})$ không bị chặn

B. Dãy số $(u_{n})$ bị chặn.

C. Dãy số tăng

D. Dãy số giảm.

Đáp án A

Câu 11:

Tính $\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt[3]{x^{3} + 1}}{x} = \sqrt[a]{b} + c$ thì $a + b + c$ bằng:

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Đáp án C.

Ta có

$\begin{array}{l} \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt[3]{3 x^{3} + 1}}{x} \\ = \lim_{x \to - \infty} \frac{|x| \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + x . \sqrt[3]{3 + \frac{1}{x^{3}}}}{x} \end{array}$

$= \lim_{x \to - \infty} (- \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt[3]{3 + \frac{1}{x^{3}}}) = \sqrt[3]{3} - 1$

=>a + b + c = 3 + 3 – 1 = 5

Câu 12:

Đẳng thức $1 + a + a^{2} + \dots + a^{n} + \dots = \frac{1}{1 - a}$ đúng khi

A. $a \neq 1.$

B. $|a| < 1.$

C. $a < 1.$

D. $|a| \geq 1.$

Đáp án B.

Ta có $1 + a + a^{2} + \dots + a^{n} = \frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a}$

$|a| < 1 \Rightarrow a^{n + 1} \to 0$ khi

$n \to - \infty \Rightarrow 1 + a + a^{2} + \dots + a^{n} + \dots = \frac{1}{1 - a}$

Câu 13:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x^{3} - 4 x} .$ Kết luận nào sau đây đúng?

A. Hàm số liên tục tại điểm x=2

B. Hàm số liên tục tại điểm x= -2

C. Hàm số liên tục tại điểm $x = - \frac{1}{2} .$

D. Hàm số liên tục tại điểm x=0

Đáp án C.

Hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x^{3} - 4 x}$ có tập xác định $D = ℝ \ \{- 2; 0; 2\}$ nên C là đáp án đúng.

Câu 14:

Một chất điểm chuyển động với phương trình quãng đường theo thời gian là $s = \frac{1}{3} t^{3} - 2 t^{2} + 6 t - 1$ trong đó t tính bằng giây, s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm giấy thứ 3 là:

A. 1 $m / s^{2} .$

B. 4 $m / s^{2} .$

C. 3 $m / s^{2} .$

D. 2 $m / s^{2} .$

Đáp án D.

Gia tốc của chuyển động khi t = 3 là s" (3)

Có

$\begin{array}{l} s' (t) = t^{2} - 4 t + 6 \\ \Rightarrow s " (t) = 2 t - 4 \\ \Rightarrow s " (3) = 2 \end{array}$

=>Gia tốc cần tìm là a = 2 $m / s^{2}$

Câu 15:

Số tiếp tuyến của đổ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{2 x + 3}$ mà cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A và B sao cho ∆0AB cân là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Đáp án B.

$Δ O A B$ cân =>Tiếp tuyến tạo với Ox một góc $45 °$

Hệ số góc của tiếp tuyến tại $M (x_{0}; y_{0}) \in (C)$ là $y' (x_{0}) = \pm \tan 45 °$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{- 1}{{(2 x_{0} + 3)}^{2}} = 1 (V N) \\ \frac{- 1}{{(2 x_{0} + 3)}^{2}} = - 1 \end{array} \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x_{0} + 3 = 1 \\ 2 x_{0} + 3 = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = - 2 \\ x_{0} = - 1 \end{array} \end{array}$

-Với $x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = 1 \Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến:

$y = - 1 (x + 1) + 1 \Rightarrow y = - x$

-Với $x_{0} = - 2 \Rightarrow y_{0} = 0 \Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến:

$y = - 1 (x + 2) \Rightarrow y = - x - 2$

Câu 16:

Cho $S_{n} =5+55+555+…+ \underset{n số 5}{\underset{⎵}{5555…}}$ thì giá trị của $S_{2018}$ là:

A. $\frac{10}{9} . \frac{10^{2018} - 1}{9} - \frac{2018}{9}$

B. $\frac{5}{9} . \frac{10^{2018} - 1}{9} - \frac{2018}{9}$

C. $\frac{5}{9} . \frac{10^{2019} - 10}{9} - \frac{20180}{9}$

D. $\frac{50}{9} . \frac{10^{2018} + 1}{9} - \frac{2018}{9}$

Đáp án C.

Ta có $S_{n} = 5 (1 + 11 + 111 + \dots \underset{n sè 1}{\underset{⏟}{111 \dots 1}})$

Tính $A_{n} = 1 + 11 + 111 + \dots + \underset{n sè 1}{\underset{⏟}{111 \dots 1}}$

Xét:

$\begin{array}{l} u_{1} = 1 \\ u_{2} = 1 + 10 \\ u_{3} = 1 + 10 + 10^{2} \\ u_{4} = 1 + 10 + 10^{2} + 10^{3} \\ ⋮ \\ u_{n} = 1 + 10 + 10^{2} + 10^{3} + \dots + 10^{n - 1} \end{array}$

$A_{n} = n .1 + (n - 1) 10 + (n - 2) {.10}^{2}$ $+ \dots + [n - (n - 1)] 10^{n - 1}$

$\Rightarrow 10 A_{n} = 10 n + 10^{2} (n - 1) + 10^{3} (n - 2)$ $+ \dots + [n - (n - 1)] 10^{n}$

$\begin{array}{l} (2) - (1) \Rightarrow 9 A_{n} \\ = (- n + 10 + 10^{2} + 10^{3} + \dots + 10^{n - 1} + 10^{n}) \\ = (- n + 10. \frac{1 - 10^{n}}{1 - 10}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A_{n} = \frac{1}{9} . \frac{10^{n + 1} - 10}{9} - \frac{n}{9} \\ \Rightarrow S_{2018} = 5. A_{2018} \\ = \frac{5}{9} (\frac{10^{2019} - 10}{9} - \frac{2018}{8}) \end{array}$

Câu 17:

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ độ dài cạnh bên là 2a, dáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, AC $= a \sqrt{3}$ . Hình chiếu của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm I của BC. Khi đó $\cos (A A'; B' C')$ là:

A. $\frac{1}{2} .$

B. $\frac{1}{4} .$

C. $\frac{\sqrt{2}}{2} .$

D. $\frac{\sqrt{3}}{2} .$

Đáp án B.

Ta có

$\begin{array}{l} A I = \frac{1}{2} B C = a \\ \Rightarrow A' I = \sqrt{A A'^{2} - A I^{2}} = a \sqrt{3} \end{array}$

$Δ I A' B'$ vuông tại A’ ( do IA’ vuông góc với đáy) $\Rightarrow I B' = \sqrt{I A'^{2} + A' B'^{2}} = 2 a$

Ta có $\{\begin{cases} AA' / / B B' \\ B B' / / B C \end{cases}$ $\Rightarrow \hat{(AA', B' C')} = \hat{(B B', B C)}$

Xét $Δ B B' I$ có $\cos \hat{B' B I} = \frac{B' B^{2} + B I^{2} - B' I^{2}}{2 B B' . B I}$

Câu 18:

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, O $= A C \cap B D$ , M, N lần lượt là trung điểm cảu Bb’ và C’D’. Mặt phẳng (MNO) cắt B’C’ tại E thì tỉ số $\frac{B' E}{E C'}$ là:

A. $\frac{7}{5}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{2}$

Đáp án C.

+ Trong mặt phẳng (BB’D’D) gọi $I = M O \cap DD', H = M O \cap B' D'$

Trong mặt phẳng (DD’C’C) gọi $J = N I \cap D C$

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi $K = J O \cap A B$

Trong mặt phẳng (AA’B’B) gọi $F = M K \cap A' B'$

Trong mặt phẳng (A’B’C’D’) gọi

$\begin{array}{l} E = B' C' \cap F N \\ \Rightarrow E = B C \cap (M N O) \end{array}$

BO = B’H = OD $\Rightarrow \frac{C D}{H D'} = \frac{1}{3}$ (OD // D’H) $\Rightarrow \frac{I D}{I D'} = \frac{O D}{H D'} = \frac{1}{3}$

Mà $J D / / N D' \Rightarrow \frac{J D}{N D'} = \frac{I D}{I D'} = \frac{1}{3}$

Có $N D' = N C'$

$\begin{array}{l} J D = K B = K B' \\ \Rightarrow \frac{F B'}{C N} = \frac{1}{3} = \frac{B' E}{E C} = \frac{1}{3} \end{array}$

Câu 19:

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA $= a \sqrt{3}$ và vuông góc với đáy, I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách giữa SI và BC.

A. $d_{(S I; B C)} = a .$

B. $d_{(S I; B C)} = \frac{a \sqrt{3}}{4} .$

C. $d_{(S I; B C)} = a \sqrt{3} .$

D. $d_{(S I; B C)} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Đáp án D.

Ta có

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{cases} \\ \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \\ \Rightarrow B C ⊥ S I \end{array}$

Gọi H là hình chiếu của B lên SI $\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} B H ⊥ S I \\ B H ⊥ B C \end{cases} \\ \Rightarrow B H = d (B C; S I) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow Δ B H I ∽ Δ S A I \\ \Rightarrow \frac{B H}{S A} = \frac{B I}{S I} \\ \Rightarrow B H = \frac{S A . B I}{S I} \\ = \frac{a \sqrt{3} . a}{2 a} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \end{array}$

Câu 20:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và BD. Khi đó gọi $V_{1}$ là thể tích cảu ABCD và $V_{2}$ là thể tích của ABMN thì tỉ số $\frac{V_{2}}{V_{1}}$ là:

A. $\frac{1}{4} .$

B. $\frac{1}{2} .$

C. $\frac{1}{8} .$

D. $\frac{1}{3} .$

Đáp án A.

Ta có $V_{1} = \frac{1}{3} S_{B C D} . d (A; (B C D))$ ; $V_{2} = \frac{1}{3} S_{B M N} . d (A; (B C D))$

$\Rightarrow \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{S_{B M N}}{S_{B C D}} = \frac{B M . B N . s i n \hat{D B C}}{B C . B D . \sin \hat{D B C}} = \frac{1}{4}$

Câu 21:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + m$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

A. 30

B. 31

C. 32

D. Vô số.

Đáp án B.

Số giao điểm là số nghiệm của phương trình $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + m = 0$

$\Leftrightarrow m = - x^{3} + 3 x^{2} + 9 x$

Xét

$\begin{array}{l} f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 9 x \\ \Rightarrow f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 9 \end{array}$

$f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 3 \end{array}$

Từ bảng biến thiên $\Rightarrow - 5 < m < 27$ thỏa mãn yêu cầu đề bài toán.

=>Có 31 giá trị m thỏa mãn.

Câu 22:

Cho hàm số $y = \frac{m x^{3} + 3 x}{x - 1}$ . Đồ thị (C) của hàm số có tiệm cận đứng là 1 khi:

A. $\forall m \in ℝ$

B. $m \in ℝ \ \{3\}$

C. $m \in ℝ \ \{- 3\}$

D. $m \in ℝ \ \{\pm 3\}$

Đáp án C.

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 1 là đường tiệm cân đứng $\Leftrightarrow m {.1}^{3} + 3.1 \neq 0$

$\Leftrightarrow m \neq 3 \Rightarrow m \in ℝ \ \{- 3\}$

Câu 23:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m lớn hơn -2018 để hàm số $y = - x^{3} - 3 x^{2} + 4 m x - 2018$ nghịch biến trên $(- \infty; 0)$ ?

A. 2017

B. 2018.

C. 2019

D. Vô số

Đáp án A.

Ta có $y' = - 3 x^{2} - 6 x + 4 m$ =>Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 0)$

$\Leftrightarrow y' \leq 0$ $\forall x \in (- \infty; 0) \Leftrightarrow 4 m \leq 3 x^{2} + 6 x$ $\forall x \in (- \infty; 0)$

Bảng biến thiên:

$\Rightarrow 3 x^{2} + 6 x \geq - 3$ $\forall x \in (- \infty; 0) \Rightarrow 4 m \leq 3 x^{2} + 6 x$ $\forall x \in (- \infty; 0)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4 m \leq - 3 \Leftrightarrow m \leq \frac{- 3}{4} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} m \in (- 2018; - \frac{3}{4}) \\ m \in ℤ \end{cases} \end{array}$

Câu 24:

Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

A. $y = |\frac{x + 1}{x - 1}|$

B. $y = \frac{|x| + 1}{|x| - 1}$

C. $y = \frac{|x + 1|}{x - 1}$

D. $y = \frac{x + 1}{|x - 1|}$

Đáp án C.

Ta có $y = \frac{|x + 1|}{x - 1} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{x + 1}{x - 1} khi x \geq - 1 (1) \\ - \frac{x + 1}{x - 1} khi x < - 1 (2) \end{cases}$

Từ đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ giữ nguyên phần đồ thị thỏa mãn $x \geq - 1$ , bỏ phần dồ thị thỏa mãn $x < - 1$ sau khi đã lấy qua trục Ox.

Câu 25:

Mặt tiền của một ngôi nhà có hai mái chạm đến nền nhà (hình vẽ) là một tam giác, biết chiều dài mỗi mái là 5 m, bề ngang nền là 6 m. Người ta muốn lắp cửa vào một ô hình chữ nhật thì diện tích lớn nhất mà hình chữ nhật đó tạo thành là:

A. 3 $m^{2}$

B. 6 $m^{2}$

C. 9 $m^{2}$

D. 8 $m^{2}$

Đáp án B.

+ Gọi phần lắp cửa là hình chữ nhật ABCD (hình vẽ) và mặt là $Δ M N P$

Đặt $D C = 2 x \Rightarrow N D = 3 - x$ (Điều kiện: 0 < x < 3)

$\begin{array}{l} Δ N D A ∽ Δ N H M \\ \Rightarrow \frac{D A}{H M} = \frac{N D}{N H} \\ \Rightarrow D A = \frac{H M . N D}{N H} \\ \Rightarrow D A = \frac{4}{3} (3 - x) \end{array}$

Diện tích ABCD là

$\begin{array}{l} S = D C . D A \\ = 2 X . \frac{4}{3} (3 - x) \\ = - \frac{8}{3} x^{2} + 8 x \end{array}$

Bảng biến thiên:

$\Rightarrow S_{\max} = 6 m^{2}$

Câu 26:

Để thi học kỳ bằng hình thức vấn đáp, thầy cô đã chuẩn bị 50 câu hỏi cho ngân hàng đề thi. Bạn A đã học và làm được 20 câu trong đó. Để hoàn thành bài thi thì bạn A phải rút và trả lời 4 câu trong ngân hàng đề. Tính xác suất để bạn đó rút được 4 câu mà trong đó có ít nhất 1 câu đã học.

A. $\frac{C_{20}^{4}}{C_{50}^{4}}$

B. $1 - \frac{C_{30}^{4}}{C_{50}^{4}}$

C. $\frac{C_{30}^{4}}{C_{50}^{4}}$

D. $1 - \frac{C_{20}^{4}}{C_{50}^{4}}$

Đáp án B.

+ Rút ra 4 câu bất kì =>Có $C_{50}^{4}$ cách.

+ Rút ra 4 câu mà không có câu nào học thuộc =>Có $C_{30}^{4}$ cách.

Xác suất để bạn đó rút được 4 câu trong đó có ít nhất một câu đã học là $1 - \frac{C_{30}^{4}}{C_{50}^{4}}$

Câu 27:

Trong các khối trụ có thể tích V không đổi thì hình trụ có diện tích toàn phần lớn nhất khi tỉ lệ giữa chiều cac h và bán kính đáy R là

A. $\frac{h}{R} = 1$

B. $\frac{h}{R} = 2$

C. $\frac{h}{R} = \sqrt{2}$

D. $\frac{h}{R} = \frac{1}{2}$

Đáp án B.

Ta có: $V = π R^{2} h \Rightarrow h = \frac{V}{π R^{2}}$ (1)

$S_{x q} = 2 π R h = 2 π . R . \frac{V}{π R^{2}} = \frac{2 V}{R}$ ; $S_{t p} = S_{x q} + 2 S_{đ} = \frac{2 V}{R} + 2 π R^{2}$

Xét hàm số $f (R) = \frac{2 V}{R} + 2 π R^{2}$ (V là hằng số)

$\begin{array}{l} f' (R) = - \frac{2 V}{R^{2}} + 4 π R = 0 \\ \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{\frac{V}{2 π}} \end{array}$

Bảng biến thiên:

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{t p \min} = f (R_{\min}) \\ \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{\frac{V}{2 π}} \\ \Rightarrow v = 2 π R^{3} \end{array}$

Từ (1)

$\begin{array}{l} \Rightarrow h = \frac{V}{π R^{2}} = \frac{2 π R^{3}}{π R^{2}} = 2 R \\ \Rightarrow \frac{h}{R} = 2 \end{array}$

Câu 28:

Với giá trị nào của m thì tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{3 x + 2 m}{m x + 1}$ cùng với 2 trục tọa độ tạo thành 1 hình chữ nhật có diện tích là 12?

A. $m = 2$

B. $m = \pm 2$

C. $m = \pm \frac{1}{2}$

D. $m = - 1$

Đáp án C.

+ Tiệm cận đứng nếu có là $x = - \frac{1}{m}$

+ Tiệm cận ngang là $y = \frac{3}{m}$

+ Diện tích hình chữ nhật tạo thành là $S = |\frac{3}{m}| . |- \frac{1}{m}|$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{3}{m^{2}} = 12 \\ \Leftrightarrow m^{2} = \frac{1}{4} \\ \Rightarrow m = \pm \frac{1}{2} \end{array}$

(thỏa mãn)

Câu 29:

Cho x, y là các số thực không âm và $x + y = 1$ . Gọi M, m lần lượt là giá trị max, min của $P = \frac{x}{y + 1} + \frac{y}{x + 1}$ . Khi đó M+m bằng:

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{5}{3}$

D. $\frac{7}{10}$

Đáp án C.

Ta có

$\begin{array}{l} 1 = x + y \geq 2 \sqrt{x y} \\ \Rightarrow \sqrt{x y} \leq \frac{1}{2} \Rightarrow 0 \leq x y \leq \frac{1}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow P = \frac{x^{2} + x + y^{2} + y}{x y + x + y + 1} \\ = \frac{{(x + y)}^{2} - 2 x y + 1}{x y + 1 + 1} = \frac{2 - 2 x y}{x y + 2} \end{array}$

Đặt $t = x y \Rightarrow t \in [0; \frac{1}{4}]$ $\Rightarrow P = \frac{2 - 2 t}{t + 2} = f (t)$

Bảng biến thiên:

=> $M + m = \frac{5}{3}$

Câu 30:

Cho hàm số $y = {log}_{3} (2 x + 1)$ , ta có

A. $y' = \frac{1}{2 x + 1}$

B. $y' = \frac{1}{(2 x + 1) \ln 3}$

C. $y' = \frac{2}{(2 x + 1) \ln 3}$

D. $y' = \frac{2}{2 x + 1}$

Đáp án C.

Câu 31:

Cho ${log}_{a b} c = \frac{1}{3}$ ; $\log_{b} c = 5$ với a,b là các số thực lớn hơn 1. Khi đó $\log_{a b} c$ là:

A. $\log_{a b} c = \frac{16}{3}$

B. $\log_{a b} c = \frac{3}{5}$

C. $\log_{a b} c = \frac{3}{16}$

D. $\log_{a b} c = \frac{5}{16}$

Đáp án D

$\begin{array}{l} \log_{a} c = \frac{1}{3} \Rightarrow \log_{c} a = 3; \\ \log_{b} c = 5 \Rightarrow \log_{c} b = \frac{1}{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \log_{a . b} c = \frac{1}{\log_{c} a . b} \\ = \frac{1}{\log_{c} a + \log_{c} b} \\ = \frac{1}{3 + \frac{1}{5}} = \frac{5}{16} \end{array}$

Câu 32:

Hàm số $y = \ln (x^{2} - 2 x + m)$ có tập xác định là R khi:

A. $m > 1$

B. $m \geq 1$

C. $m > 0$

D. $m \geq 0$

Đáp án A.

Hàm số xác định trên $ℝ \Rightarrow x^{2} - 2 x + m > 0$ $\forall x \in ℝ$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ' < 0 \\ a > 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} 1^{2} - m < 0 \\ 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m > 1 \end{array}$

Câu 33:

Số nghiệm của phương trình $9^{x} + 2 (x - 2) {.3}^{x} + 2 x - 5 = 0$ là:

A. 0.

B. 1

C. 2.

D. Vô số

Đáp án B.

Đặt $3^{x} = t > 0$ .

Phương trình

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow t^{2} + 2 (x - 2) t + 2 x - 5 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 (1) \\ t = - 2 x + 5 \end{array} \\ \Rightarrow 3^{x} = - 2 x + 5 (*) \end{array}$

Có $f (x) = 3^{x}$ là hàm số đồng biến trên R

$g (x) = - 2 x + 5$ là hàm số nghịch biến trên R

Phương trình (*) $\Leftrightarrow f (x) = g (x)$ có nhiều nhất l nghiệm

Có $f (1) = g (1) \Rightarrow x = 1$ là nghiệm của phương trình

Câu 34:

Số nghiệm nghiệm nguyên nhỏ hơn 2018 của bất phương trình: $(x + 1) \log_{\frac{1}{2}}^{2} x + (2 x + 5) \log_{\frac{1}{2}} x + 6 \geq 0$ là:

A. 2016

B. 2017

C. 2018

D. Vô số

Đáp án A.

+ Điều kiện: x > 0

+ Đặt $\log_{\frac{1}{2}} x = t$ . Bất phương trình $\Leftrightarrow (x + 1) t^{2} + (2 x + 5) t + 6 \geq 0$

$Δ = {(2 x + 5)}^{2} - 4 (x + 1) + 6 = {(2 x - 1)}^{2}$

Bất phương trình

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{2}} x \leq - 2 \\ \log_{\frac{1}{2}} x \geq - \frac{3}{x + 1} \end{array} \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \geq {(\frac{1}{2})}^{- 2} \\ 0 < c \leq {(\frac{1}{2})}^{\frac{- 3}{x + 1}} \end{array} \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \geq 4 (1) \\ 0 < x \leq 2^{\frac{3}{x + 1}} \end{array} \end{array}$

+ Xét hàm số $f (x) = x - 2^{\frac{3}{x + 1}}$ có $f' (x) = 1 - 2^{\frac{3}{x + 1}} . \ln 2. \frac{- 3}{{(x + 1)}^{2}} > 0 \forall x > 0$

Hàm số đồng biến trên $(0; + \infty)$

+ Có $f (2) = 0 \Rightarrow f (x) = 0$ coa nghiệm là x=2

Bảng biến thiên:

Bất phương trình $x \leq 2^{\frac{3}{x + 1}} \Leftrightarrow f (x) \leq 0 \Leftrightarrow 0 < x \leq 2 (2)$

Từ (1) và (2) => Tập nghiệm của bất phương trình là $S = (0; 2] \cup [4; + \infty)$

Vậy có 2016 nghiệm nguyên thỏa mãn.

Câu 35:

Biết $\int_{2}^{3} f (x) d x = 5$ . Khi đó $\int_{2}^{3} [3 - 5 f (x)] d x$ bằng:

A. -22

B.-28

C.-26

D.-15

Đáp án B

$\begin{array}{l} \int_{2}^{3} [3 - 5 f (x)] d x \\ = \int_{2}^{2} 3 d x - 5 \int_{2}^{3} f (x) d x = 3 x |_{2}^{3} - 5.5 \\ = 9 - 6 - 25 = - 28 \end{array}$

Câu 36:

Nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{x^{2} - a^{2}}$ (a > 0) là:

A. $\int \frac{1}{x^{2} - a^{2}} d x$ $= \frac{1}{a} \ln |\frac{x - a}{x + a}| + C$

B. $\int \frac{1}{x^{2} - a^{2}} d x$ $= \frac{1}{2 a} \ln |\frac{x - a}{x + a}| + C$

C. $\int \frac{1}{x^{2} - a^{2}} d x$ $= \ln |\frac{x - a}{x + a}| + C$

D. $\int \frac{1}{x^{2} - a^{2}} d x$ $= \frac{1}{2 a} \ln |\frac{x + a}{x - a}| + C$

Đáp án B.

Ta có

$\int \frac{1}{x^{2} - a^{2}} d x = \int \frac{1}{2 a} (\frac{1}{x - a} - \frac{1}{x + a}) d x$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{2 a} (\ln |x - a| - \ln |x + a|) + C \\ = \frac{1}{2 a} \ln |\frac{x - a}{x + a}| + C \end{array}$

Câu 37:

Biết $f (3) = 3$ ; $\int_{0}^{3} f (x) d x = 14$ . Tính $I = \int_{0}^{1} 2 x . f' (3 x) d x$

A. $I = \frac{2}{9}$

B. $I = \frac{10}{9}$

C. $I = - \frac{10}{9}$

D. $I = - \frac{2}{9}$

Đáp án C.

Đặt

$\begin{array}{l} 3 x = t \Rightarrow 3 d x = d t \\ \Rightarrow d x = \frac{1}{3} d t \end{array}$

Đổi cận $x = 0 \Rightarrow t = 0$ $x = 1 \Rightarrow t = 3$

$\Rightarrow I = \int_{0}^{3} \frac{2 t}{3} . f' (t) . \frac{1}{3} d t$ $= \frac{2}{9} \int_{0}^{3} t d (f (t)) = \frac{2}{9} (t . f (t) |_{0}^{3} - \int_{0}^{3} f (t) d t)$

$\begin{array}{l} = \frac{2}{9} [3. f (3) - 14] \\ = \frac{2}{9} (3.3 - 14) = - \frac{10}{9} \end{array}$

Câu 38:

Cho A, B, C lần lượt là 3 điểm biểu diễn các số phức $z_{1} = \frac{- 4 i}{1 - i}$ ; $z_{2} = (1 + i) (1 + 2 i)$ ; $z_{3} = \frac{2 + 6 i}{3 - i}$ . Biết A, B, C tạo thành một tam giác, diện tích của tam giác đó là:

A. S=10

B. S=5

C. $S = 5 \sqrt{2}$

D. $S = 10 \sqrt{2}$

Đáp án B.

Ta có $\frac{- 4 i}{1 - i} = 2 - 2 i \Rightarrow A (2; - 2)$

$\begin{array}{l} (1 - i) (1 + 2 i) = 3 + i \\ \Rightarrow B (3; 1); \frac{2 + 6 i}{3 - i} = 2 i \\ \Rightarrow C (0; 2) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A B = \sqrt{10}, \\ A C = \sqrt{20}, \\ B C = \sqrt{10} \\ \Rightarrow A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} \end{array}$

Tam giác vuông cân tại B $\Rightarrow S_{A B C} = \frac{1}{2} B A . B C = 5$

Câu 39:

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x {(x - 1)}^{2}$ và trục hoành. Khi quay (H) quanh trục Ox ta được một khối tròn xoay có thể tích là:

A. $\frac{1}{12}$

B. $\frac{π}{12}$

C. $\frac{1}{105}$

D. $\frac{π}{105}$

Đáp án D.

Ta có: $x {(x - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array} \Rightarrow$ Thể tích (H) là: $v = π \int_{0}^{1} {[x {(x - 1)}^{2}]}^{2} d x = \frac{π}{105}$

Câu 40:

Cho $z_{1}, z_{2}$ là nghiệm phương trình $|6 - 3 i + i z| = |2 z - 6 - 9 i|$ và thỏa mãn $|z_{1} - z_{2}| = \frac{8}{5}$ . Tìm giá trị lớn nhất cảu $|z_{1} + z_{2}|$ .

A. $\frac{56}{5}$

B. $\frac{28}{5}$

C. 6

D. 5

Đáp án A.

Đặt $z = x + y i$ với $x, y \in ℝ$ ; $z_{1} = x_{1} + y_{1} i$ ; $z_{2} = x_{2} + y_{2} i$

$\begin{array}{l} |6 - 3 i + i z| = |2 z - 6 + 9 i| \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + 24 = 0 \end{array}$

Tập hợp điểm điểm biểu diễn z là đường tròn (C) tâm $I (3; 4)$ và bán kính R=1.

+ Có $|z_{1} - z_{2}| = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ $= |\vec{M_{1} M_{2}}|$ với $M_{1} (x_{1}; y_{1})$ là điểm biểu diễn số phức $z_{1}$ , $M_{2} (x_{2}; y_{2})$ là điểm biểu diễn số phức $z_{2}$

$\Rightarrow M_{1} M_{2} = \frac{8}{5}$ ( $M_{1}, M_{2}$ thuộc đường trong $(C)$ )

$|z_{1} + z_{2}| = \sqrt{{(x_{1} + x_{2})}^{2} {(y_{1} + y_{2})}^{2}}$ $= |\vec{O M_{1}} + \vec{O M_{2}}| = 2 |\vec{O H}|$ với H là trung điểm của $M_{1}; M_{2}$ (hình vẽ)

$\Rightarrow {|z_{1} + z_{2}|}_{\max} \Leftrightarrow O H_{\max}$ mà $O H \leq O I + I H$

$\begin{array}{l} \Rightarrow O H_{\max} = O I + I H \\ = 5 + I H = 5 + \sqrt{1 - {(\frac{8}{10})}^{2}} = \frac{28}{5} \\ \Rightarrow {|z_{1} + z_{2}|}_{\max} = 2 O H_{\max} = \frac{56}{5} \end{array}$

Câu 41:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $|z| = \sqrt{2}$ và $z^{2}$ là số thuần ảo?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án D.

Đặt $z = x + y i$ , $x, y \in ℝ$ $\Rightarrow |z| = \sqrt{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 2 (1)$

$z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2 x y i$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - y^{2} = 0 (2) \\ x y \neq 0 \end{cases}$

Từ (1) và (2) ta có hệ $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 2 \\ x^{2} - y^{2} = 0 \end{cases}$ (ĐK: $x y \neq 0$ )

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x^{2} = 2 \\ x^{2} - y^{2} = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \end{array} \\ y^{2} = 1 \end{cases} \\ \Rightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = - 1 \\ y = - 1 \end{cases} \end{array} \end{array}$

Có 4 số phức z thỏa mãn.

Câu 42:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\vec{a} = (- 3; 5; 2)$ , $\vec{b} = (0; - 1; 3)$ , $\vec{c} = (1; - 1; 1)$ thì tọa độ $\vec{v} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b} + 15 \vec{c}$ là:

A. $\vec{v} = (9; 2; 10)$

B. $\vec{v} = (9; - 2; 10)$

C. $\vec{v} = (- 9; 2; 10)$

D. $\vec{v} = (9; - 1; 10)$

Đáp án B

Câu 43:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $A (3; - 1; - 3)$ , $B (- 3; 0; - 1)$ , $C (- 1; - 3; 1)$ và mặt phẳng $(P) : 2 x + 4 y + 3 z - 19 = 0$ . Tọa độ $M (a, b, c)$ thuộc (P) sao cho $|\vec{M A} + 2 \vec{M B} + 5 \vec{M C}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $a + b + c$ bằng:

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Đáp án C.

Gọi $I (x; y; z)$ thỏa mãn

$\vec{I A} + 2 \vec{I B} + 5 \vec{I C} = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x = \frac{3 + 2. (- 3) + 5. (- 1)}{8} = - 1 \\ y = \frac{- 1 + 2.0 + 5. (- 3)}{8} = - 2 \\ z = \frac{- 3 + 2. (- 1) + 5.1}{8} = 0 \end{cases}$

$\Rightarrow I = (- 1; - 2; 0)$

Ta có

$\begin{array}{l} \vec{M A} + 2 \vec{M B} + 5 \vec{M C} \\ = \vec{M I} + \vec{I A} + 2 \vec{M I} + 2 \vec{I B} + 5 \vec{M I} + 5 \vec{I C} \end{array}$

$= 8 \vec{M I} + \vec{I A} + 2 \vec{I B} + 5 \vec{I C} = 8 \vec{M I}$

$\Rightarrow |\vec{M A} + 2 \vec{M B} + 5 \vec{M C}|$ min $\Leftrightarrow 8 |\vec{M I}|$ min <=> M là hình chiếu của I lên (P)

Gọi $Δ$ là đường thẳng đi qua $I (- 1; 2; 0)$ và vuông góc với

$(P) : 2 x + 4 y + 3 z - 19 = 0$ có vectơ chỉ phương là $(2; 4; 3)$ $\Rightarrow Δ : \{\begin{cases} x = - 1 + 2 t \\ y = - 2 + 4 t \\ z = 3 t \end{cases}$

Thế vào (P)

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 (- 1 + 2 t) + 4 (- 2 + 4 t) + 3 (3 t) - 19 \\ \Leftrightarrow t = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 \end{cases} \Rightarrow M (1; 2; 3) \\ \Rightarrow a + b + c = 6 \end{array}$

Câu 44:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $(a) : 2 x - 2 y - z + 14 = 0$ , mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y - 6 z - 11 = 0$ . Mặt phẳng (P)//(a) cắt (S) theo thiết diện là một hình tròn có diện tích $16 π$ . Khi đó phương trình mặt phẳng (P) là:

A. $2 x - 2 y - z + 14 = 0$

B. $2 x - 2 y - z + 4 = 0$

C. $2 x - 2 y - z + 16 = 0$

D. $2 x - 2 y - z - 4 = 0$

Đáp án D.

(P )//( $α$ ) $\Rightarrow (P) : 2 x - 2 y - z + c = 0 (c \neq 14)$

(S) có tâm $I (1; 2; 3)$ , bán kính R=5

Hình tròn thiết diện (C) có $S = 16 π$ =>Bán kính $r = 4$

Gọi H là hình chiếu của I lên (P) =>H là tâm của (C)

$\Rightarrow I H = d_{(I; (P))} = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 3$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{|2.1 - 2.2 - 3 + c|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 3 \\ \Leftrightarrow |c - 5| = 9 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} c = 14 (1) \\ c = - 4 \end{array} \\ \Rightarrow (P) : 2 x - 2 y - z - 4 = 0 \end{array}$

Câu 45:

Chia tấm bìa hình tròn bán kính R=30 cm thành 3 phần (như hình vẽ). lấy một phần và uốn thành một hình nón có đường sinh là bán kính của hình tròn trên. Khi đó thể tích của khối nón tạo thành là:

A. $\frac{2 π R^{3} \sqrt{2}}{81}$

B. $\frac{π R^{3}}{27}$

C. $\frac{2 π R^{3} \sqrt{2}}{27}$

D. $\frac{π R^{3}}{81}$

Đáp án A.

Gọi hình nón tạo thành có bán kính là r

Chu vi đáy là $2 π r = \frac{1}{3} .2 π R$ (bằng $\frac{1}{3}$ chu vi của hình tròn đầu) $\Rightarrow r = \frac{1}{3} R$

Hình nón có đường sinh là R => Chiều cao

$\begin{array}{l} h = \sqrt{R^{2} - r^{2}} \\ = \sqrt{R^{2} - \frac{R^{2}}{9}} = \frac{2 R \sqrt{2}}{3} \end{array}$

Thể tích khối nón tạo thành là

$\begin{array}{l} V = \frac{1}{3} π r^{2} h \\ = \frac{1}{3} . π . \frac{R^{2}}{9} . \frac{2 R \sqrt{2}}{3} \\ = \frac{2 R^{3} π \sqrt{2}}{81} \end{array}$

Câu 46:

Cho tứ diện ABCD có $A B = 3 a$ , AC = 5a, AD = 4a, các góc $\hat{B A C} = \hat{D A C} = \hat{B A D} = 60 °$ . Khi đó thể tích khối ABCD là:

A. $5 a^{3} \sqrt{3}$

B. $5 a^{3} \sqrt{2}$

C. $a^{3} \sqrt{2}$

D. $10 a^{3} \sqrt{2}$

Đáp án B.

Gọi B’, C’, D’ lần lượt thuộc AB, AC, AD sao cho $A B' = A C' = A D' = a$

Tứ diện AB’C’D’ là tứ diện đều cạnh a $\Rightarrow V_{A B' C' D'} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$ (công thức cần nhớ)

Mà

$\begin{array}{l} \frac{V_{A B C D}}{V_{A B' C' D'}} = \frac{A B}{A B'} . \frac{A C}{A C'} . \frac{A D}{A D'} = 3.4.5 \\ \Rightarrow V_{A B C D} = 12.5. V_{A B' C' D'} = 5 a^{3} \sqrt{2} \end{array}$

Câu 47:

Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC cạnh a, $S A = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}$ . Gọi D là điểm đối xứng với B qua C. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.

A. R = a

B. $R = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Đáp án C.

Gọi G là trọng tâm $Δ A B C \Rightarrow S G ⊥ (A B C)$ , I là trung điểm AB

$\begin{array}{l} A G = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3} \\ \Rightarrow S G = \sqrt{S A^{2} - A G^{2}} = a \end{array}$

$I G = \frac{1}{3} C I = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

$C G = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: Ox qua G và song song AB

$\Rightarrow G (0; 0; 0)$ , $S (0; 0; a)$ , $C (0; \frac{a \sqrt{3}}{3}; 0)$ ; $B (\frac{a}{2}; \frac{a \sqrt{3}}{6}; 0)$

$C A = C B = C D \Rightarrow$ C là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ A B D$

Gọi d là đường thẳng qua $C (0; \frac{a \sqrt{3}}{3}; 0)$ và vuông góc với (ABD)

$\begin{array}{l} \Rightarrow V T P T \vec{k} = (0; 0; 1) \\ \Rightarrow d : \{\begin{cases} x = 0 \\ y = \frac{a \sqrt{3}}{3} \\ z = t \end{cases} \end{array}$

Gọi tâm mặt cầu ngoại tiếp SABD là $J \in d \Rightarrow J (0; \frac{a \sqrt{3}}{3}; t)$

Mà $\begin{array}{l} J S = J B \\ \Leftrightarrow 0^{2} + {(- \frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2} + {(a - t)}^{2} \\ = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(- \frac{a \sqrt{3}}{6} - \frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2} + t^{2} \\ \Leftrightarrow t = \frac{1}{6} a \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow R = \sqrt{0^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2} + {(a - \frac{1}{6} a)}^{2}} \\ = \frac{a \sqrt{37}}{6} \end{array}$

Câu 48:

Thể tích khối tròn xoay gây nên bởi hình tròn $x^{2} + {(y - a)}^{2} \leq R^{2} (0 < R < a)$ khi quay quanh trục Ox là:

A. $8 π^{2} a R^{2}$

B. $4 π^{2} a R^{2}$

C. $π^{2} a R^{2}$

D. $2 π^{2} a R^{2}$

Đáp án D.

Ta có

$\begin{array}{l} x^{2} + {(y - a)}^{2} = R^{2} \\ \Leftrightarrow y = a \pm \sqrt{R^{2} - x^{2}} \end{array}$

Nửa trên hình tròn có phương trình là $y = a + \sqrt{R^{2} - x^{2}}$

Nửa dưới hình tròn có phương trình là $y = a - \sqrt{R^{2} - x^{2}}$

Thể tích của hình xuyến là

$\begin{array}{l} V = V_{1} - V_{2} \\ = π \int_{- R}^{R} {(a + \sqrt{R^{2} - x^{2}})}^{2} d x - π \int_{- R}^{R} {(a - \sqrt{R^{2} - x^{2}})}^{2} d x \\ = 4 π a \int_{- R}^{R} \sqrt{R^{2} - x^{2}} d x \end{array}$

Đặt $\{\begin{cases} x = R \sin t \Rightarrow d x = R costdt \\ x = - R \Rightarrow t = - \frac{π}{2}; x = R = t = \frac{π}{2} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V = 4 π a \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{R^{2} - R^{2} \sin^{2} t} . R \cos t d t \\ = 4 π a R^{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} t d t = 2 π^{2} a R^{2} \end{array}$

Câu 49:

Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác đều, trọng tâm G. $Δ$ là đường thẳng qua G và vuông góc với (BCD). A chạy trên $Δ$ sao cho mặt câu ngoại tiếp ABCD có thể tích nhỏ nhất. Khi đó thể tích khối ABCD là:

A. $\frac{a^{3}}{12}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Đáp án A.

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD $\Rightarrow I \in Δ$ và $I A = I B = R$

Thể tích mặt cầu ngoại tiếp ABCD nhỏ nhất <=> IB nhỏ nhất

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow I B ⊥ Δ \Leftrightarrow I \equiv G \\ \Rightarrow I A = I B = B G = \frac{a \sqrt{3}}{3} = A G \\ \Rightarrow V_{A B C D} = \frac{1}{3} S_{B C D} . A G \\ = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} . a . \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{3} = \frac{a^{2}}{12} \end{array}$

Câu 50:

Số điểm cố định của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 (m + 1) x^{2}$ $+ 2 (m^{2} + 4 m + 1) x - 4 m (m + 1)$ khi m thay đổi là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án B.

Gọi điểm cố định là $A (x_{0}; y_{0})$

$\Rightarrow y_{0} = {x_{0}}^{3} - 3 (m + 1) {x_{0}}^{2}$ $+ 2 (m^{2} + 4 m + 1) x_{0} - 4 m (m + 1) \forall m$

$\Leftrightarrow 2 (x_{0} - 2) m^{2} - (3 {x_{0}}^{2} - 8 x_{0} + 4) m$ $+ {x_{0}}^{3} - 3 {x_{o}}^{2} + 2 x_{0} - y_{0} = 0 \forall m$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{0} - 2 = 0 \\ 3 {x_{0}}^{2} - 8 x_{0} + 4 = 0 \\ {x_{0}}^{3} - 3 {x_{0}}^{2} + 2 x_{0} - y_{0} = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{0} = 2 \\ y_{0} = 0 \end{cases} \Rightarrow A (2; 0) \end{array}$

=>Có một điểm cố định

Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan