Chọn đáp án A

Tập xác định: $D=\mathrm{ℝ}$ Đạo hàm:

Bảng biến thiên:

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$

hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{1}{3};1\right)$

Chọn đáp án A

Ta có

nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án C

Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y(0) = 2; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y(2) = -2

Chọn đáp án B

Ta có

Chọn đáp án C

Ta có

Chọn đáp án A

Ta có

Chọn đáp án C

Ta có $I={\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}\frac{dx}{{\sin }^{2}x}$$=-\frac{\sqrt{3}}{3}+1$

Chọn đáp án D

Chọn đáp án D

*Lời giải

Khối 12 mặt đều là khối đa diện đều thuộc loại (5;3) có 20 đỉnh, 30 cạnh và 12 mặt

Chọn đáp án D

Tam giác ABC vuông tại A nên

Độ dài đường sinh l của hình nón thu được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB là $l=BC=2a$

Chọn đáp án C

Ta có

Chọn đáp án C

Ta có M’ là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ nên $M{M}^{\text{'}}\perp \left(\alpha \right)$ 

Do $\stackrel{\rightharpoonup }{M{M}^{\text{'}}}=\left(4;2;6\right)$ nên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có một vecto pháp tuyến là $\stackrel{\rightharpoonup }{n}=(2;1;3)$ cùng phương với vecto $M{M}^{\text{'}}$

Chọn đáp án D

Giả sử $D\left(x;y;z\right)$

Ta có $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}=\left(-2;2;-2\right)$

và $\stackrel{\rightharpoonup }{DC}=\left(-1-x;3-y;2-z\right)$

Do ABCD là hình bình hành nên $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}=\stackrel{\rightharpoonup }{DC}$

Chọn đáp án D

Ta có định lý: “Nếu hàm số  có đạo hàm tại $y=f\left(x\right)$ thì nó liên tục tại điểm đó”.

Chọn đáp án A

Thể tích của khối hộp chữ nhật là $V=a.3a.5a=15a^3\left(đvtt\right)$

Chọn đáp án D

Ta có

nên hàm số $y=\frac{2x+1}{1-x}$ luôn đồng biến trên đoạn [2;3]

Suy ra $\underset{[2;3]}{min}y=y\left(2\right)=-5$

Chọn đáp án A

Dựa vào hình dáng của đồ thị suy ra a>0. Loại D.

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên ab<0. Loại B.

Đồ thị cắt trục tung tại một điểm (0;c) có tung độ âm nên c<0. Chọn A

Chọn đáp án D

Dựa vào độ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ ta thấy phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ có 4  nghiệm, nhưng giá trị $f^{\text{'}}\left(x\right)$ chỉ đổi dấu 3 lần khi x đi qua các nghiệm.

Suy ra hàm số $y=f\left(x\right)$ có 3 điểm cực trị

Chọn đáp án B

Đồ thị các hàm số $y={\log }_{a}x,y={\log }_{b}x$ và $y={\log }_{c}x$ lần lượt đi qua các điểm $A\left(a;1\right),B\left(b;1\right)$ và $C\left(c;1\right)$

.

Chọn đáp án B

Ta có

Từ giả thiết có $v\left(0\right)=0$ nên C = 10 .

Suy ra

Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 10s kể từ khi chuyển động là

Chọn đáp án B

Ta có

$z^3={\left(1+i\right)}^3=-2+2i$

Suy ra $\left|z^3\right|=\left|-2+2i\right|=2\sqrt{2}$

Chọn đáp án A

Đường thẳng $d_1,d_2$ lần lượt có vecto chỉ phương là $\stackrel{\rightharpoonup }{u_1}=\left(1;1;-1\right)$ và $\stackrel{\rightharpoonup }{u_2}=\left(2;1;2\right)$

Gọi $∆$ là đường thẳng cần tìm và có vecto chỉ phương là $\stackrel{\rightharpoonup }{u_{∆}}$ , khi đó $A\in ∆$ và $∆\perp d_1,∆\perp d_2$ 

Suy ra

Loại ngay C và D (vì hai đường thẳng ở hai phương án này có vecto chỉ phương không cùng phương với $\stackrel{\rightharpoonup }{u_{∆}}$).

Xét A: Ta thấy

nên đường thẳng đi qua điểm A(1;2;1) 

Xét B:  Ta thấy

nên đường thẳng  không đi qua điểm A(1;2;1)

Chọn đáp án D

Chọn đáp án A

Chọn đáp án D

Giả sử đa giác đã cho có n cạnh thì chu vi đa giác đó là $S_n=u_1+u_2+..+u_n$ với $u_1,u_2,..,u_n$ lần lượt là số đo các cạnh của đa giác $\left(0<u_1<u_2<...<u_n=44cm\right)$

Suy ra $S_n=\frac{\left(u_1+u_n\right).n}{2}$

Do $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ nên $u_1+44$ là ước nguyên dương của 316

Mà $316=2^7.79$ nên $u_1=44\in \left\{2;4;79;158;316\right\}$ 

* Với $u_1+44=2\iff u_1=-42<0$ (Loại).

* Với $u_1+44=4\iff u_1=-40<0$ (Loại).

* Với $u_1+44=79\iff u_1=35\iff n=4$ 

* Với $u_1+44=158\iff u_1=114\iff n=2$ (Loại do số cạnh của một đa giác luôn lớn hơn 2, tức là $n>2,n\in \mathrm{\mathbb{N}})$ .

* Với $u_1+44=316\iff u_1=272\iff n=1$ (Loại).

Vậy đa giác đã cho có 4 cạnh.

Chọn đáp án A

Hoành độ giao điểm của đường thẳng $∆$ và đồ thị (C) là nghiệm của phương trình

Đường thẳng $∆$ cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2.

Chọn đáp án C

*Trường hợp 1:

Do hàm số $g_1\left(x\right)=4x+1$ đồng biến trên $(-\infty ;\frac{1}{3}]$

Chọn đáp án A

Ta có

Đặt $t=2^x>0$ thì phương trình đã cho trở thành $t^2-2m.t+m+2=0\left(*\right)$ 

Để phương trình đã cho có hai  nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm $t_1,t_2$ lớn hơn 1.

Chọn đáp án B

Đặt  

Suy ra  

Thay x=2 vào giả thiết ta có  

Thay x=0 vào giả thiết ta có  

Vậy

Chọn đáp án B

Do A, B là giao điểm của $\left(P_1\right)$ và trục hoành nên $A\left(-2;0\right)$ và $B\left(2;0\right)$ 

Gọi M, N là giao điểm của $\left(P_1\right)$ với đường thẳng d thì $M\left(-\sqrt{4-a};a\right)$ và $N\left(\sqrt{4-a};a\right)$

Giả sử phương trình $\left(P_2\right)$ có dạng $y=m{x}^2+nx+p$ 

Ta có

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng, ta có:

$S_1=\frac{4}{3}\left(4-a\right)\sqrt{4-a}$ (đvdt)

$S_2=\frac{8a}{3}$(đvdt)

Theo giả thiết

. Vậy T = 64

Chọn đáp án A

*Với z=0 thì phương trình đã cho trở thành 1=0 (Vô lý).

*Với z ≠ 0 ta chia cả hai vế của phương trình cho $z^2$ và được

Phương trình (*) trở thành

Vậy $T=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|+\left|z_3\right|$$=3$

Chọn đáp án D

Gọi O là tâm đường tròn đáy của hình trụ, R là bán kính đáy trụ

Do $\stackrel{⏜}{AEB}={150}^0$

$\Rightarrow \stackrel{⏜}{AOB}={60}^0$

$\Rightarrow$$∆OAB$ đều.Suy ra R = OA = OB = AB = 4m

Độ dài cung tròn AB là $\frac{1}{6}.2\mathrm{\pi R}=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}\left(\mathrm{m}\right)$

Khi trải tấm kính ra mặt phẳng ta thu được một hình chữ nhật có chiều dài là

$\frac{4\mathrm{\pi }}{3}\left(m\right)$ và chiều rộng là AD = 1,4(m)

 Khi đó diện tích tấm kính cũng chính là diện tích của hình chữ nhật này và bằng $S=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}.1,4=\frac{28\mathrm{\pi }}{15}\left(m^2\right)$

Vậy số tiền mà ông an phải trả $500000.S=500000.\frac{28\mathrm{\pi }}{15}\approx 2930000$ (đồng)

Chọn đáp án A

Ta có $\left(C\right)=\left(S_1\right)\cap \left(S_2\right)$

$\Rightarrow$Mặt phẳng (P) chứa đường tròn (C) có phương trình thỏa mãn

Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

Suy ra (P) // (Q)

Mặt cầu (S) tiếp xúc với ba đường thẳng  AB, BC, CA sẽ giao với mặt phẳng (ABC) theo một đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA.

Trên mặt phẳng (ABC) có 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA; đó là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và ba đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C. Do đó có 4 mặt cầu, tâm nằm trên mặt phẳng (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA

Tâm của 4 mặt cầu này là hình chiếu của tâm 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA lên mặt phẳng (P).

Chọn đáp án A

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(1;-1;2) và song song với $\left(P\right):2x-y+z+1=0$ nên có phương trình:

Chọn đáp án D

Ta có

nên $a_k=C_n^k{(-2)}^k$ 

$\Rightarrow \left|a_k\right|=2^k.C_n^k$ với $0\le k\le n,k\in \mathrm{\mathbb{N}}$ Suy ra 

Xét khai triển

Đạo hàm hai vế của (*):

Nhân cả hai vế của (**) với x:

Thay x=2 vào (1) ta được

$\iff n.3^n=52488=8.3^8$. Suy ra n = 8 

Vậy với n = 8 thì P = 390625

Chọn đáp án C

Gọi độ dài cạnh của hình vuông là x (m) thì độ dài cạnh tam giác đều là 2x (m).

Chiều dài phần dây được uống thành hình vuông (chính là chu vi hình vuông) là 4x (m); chiều dài phần dây được uốn thành tam giác đều (chính là chu vi hình tam giác đều) là 6x(m) .

Suy ra chiều dài phần dây được uốn thành hình tròn là $L-4x-6x=L-10x\left(m\right)$

Từ đó ta có $x\in \left(0;\frac{L}{10}\right)$ 

Gọi r là bán kính của đường tròn thì chu vi đường tròn là

Tổng diện tích của ba hình là

Xét hàm số

trên $\left(0;\frac{L}{10}\right)$ 

Ta có

Lập bảng biến thiên ta thấy

Vậy tổng diện tích của ba hình thu được nhỏ nhất khi $x=\frac{5L}{2\left[25+\left(1+\sqrt{3}\right)\mathrm{\pi }\right]}$

suy ra độ dài cạnh của tam giác đều là $2x=\frac{5L}{25+\left(1+\sqrt{3}\right)\mathrm{\pi }}$

Chọn đáp án C

Từ bảng biến thiên ta có

với x ≠ 3

Ta có

Ta có

Ta có bảng biến thiên:

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy hàm số $g\left(x\right)=f\left(\left|x-3\right|\right)$ có 3 điểm cực trị

Chọn đáp án B

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=4a{x}^3+3b{x}^2+2cx+d$

và $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=2\left(6a{x}^2+3bx+c\right)$ 

Suy ra $g\left(x\right)={\left[f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^2-f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right).f\left(x\right)$ 

Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2,x_3,x_4$ phương trình $f\left(x\right)=0$có 4 nghiệm $x_1,x_2,x_3,x_4$

Suy ra $f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)$

*Khi $x=x_i\left(i=1,2,3,4\right)$ thì

nên $g\left(x\right)>0$

*Khi $x\ne x_i\left(\forall i=1,2,3.4\right)$ thì

và $f^2\left(x\right)>0$ 

Từ (*) suy ra

Chọn đáp án B

*Từ đồ thị

nên  

Số nghiệm của phương trình $g\left(x\right)=x_1$ chính là số giao điểm của đồ thị $y=g\left(x\right)$ với đường thẳng $y=x_1$với $x_1\in \left(-3;-2\right)$.

Suy ra phương trình $g\left(x\right)=x_1$ có đúng 1 nghiệm.

Tương tự, phương trình $g\left(x\right)=-1$ có 3 nghiệm; phương trình $g\left(x\right)=x_2;x_2\in \left(1;2\right)$ có 3 nghiệm;

phương trình $g\left(x\right)=x_3;x_3\in \left(2;3\right)$có 3 nghiệm:  có $g\left(x\right)=x_4;x_4\in \left(4;5\right)$1 nghiệm.

Do các nghiệm trên đều phân biệt nên phương trình $f\left(g\left(x\right)\right)=0$ có 11 nghiệm.

*Từ đồ thị:

nên  

Phương trình $f\left(x\right)=x_5;x_5\in \left(-2;-1\right)$ có 5 nghiệm; phương trình $f\left(x\right)=x_6;x_6\in \left(0;1\right)$ có 5 nghiệm;

phương trình $f\left(x\right)=3$ có 1 nghiệm.

Do các nghiệm này đều phân biệt nên phương trình $g\left(f\left(x\right)\right)=0$ có 11 nghiệm.

Vậy tổng số nghiệm của cả hai phương trình $f\left(g\left(x\right)\right)=0$ và  là 22 nghiệm

Chọn đáp án C

Phương trình đã cho tương đương với

Xét hàm số $f\left(t\right)=2^t+t$ trên $\mathrm{ℝ}$.

Ta có $f^{\text{'}}\left(t\right)=1+2^t.\ln 2>0,\forall t\in$

$\Rightarrow$ Hàm số $f\left(t\right)=2^t+t$ luôn đồng biến trên .

Phương trình (*)

Để phương trình đã cho có nghiệm $\iff$ Phương trình (1) có nghiệm.

Chọn đáp án B

Từ giả thiết ta có

Xét hàm số $f\left(t\right)=t+{\log }_{2}t$ trên $[1;+\infty )$

Ta có

$\Rightarrow$Hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến trên $[1;+\infty )$

Suy ra (*)

Khi đó $P=e^{2x-1}+2x^2-4x$ 

Xét hàm số $g\left(x\right)=e^{2x-1}+2x^2-4x$ trên $[0;+\infty )$ 

Ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=4e^{2x-1}+4>0,\forall x\in \mathrm{ℝ}$ nên hàm số $g^{\text{'}}\left(x\right)$ luôn đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$

Phương trình $g^{\text{'}}\left(x\right)=0$ có nhiều nhất một nghiệm trên  .

Nhận thấy $g^{\text{'}}\left(\frac{1}{2}\right)=0$ nên

Lập bảng biến thiên của hàm số $g\left(x\right)$ ta thấy $\underset{\left[0;+\infty \right]}{min}g\left(x\right)=g\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}$ 

Vậy $m=minP=-\frac{1}{2}$

Chọn đáp án A

Đường elip có trục lớn 28cm và trục bé 25cm thì có phương trình là:

Khi đó thể tích của quả dưa hấu cũng chính là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình elip xung quanh trục Ox. Thể tích đó là

$V=\frac{8750\mathrm{\pi }}{3}\left(c{m}^3\right)$

Số tiền bán nước thu được là $T=\frac{8750\mathrm{\pi }}{3.1000}.2000\approx 183000đ$

Chọn đáp án D

Ta có

Thay x = 0 vào (*) ta được

Suy ra $\frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{f\left(x\right)}=\frac{x^2}{2}+1$

Vậy $1<\ln f\left(1\right)<\frac{3}{2}$

Chọn đáp án A

Giả sử $z_1=x_1+y_{1}i$ có điểm biểu diễn là $M\left(x_1;y_1\right)$ và $z_2=x_2+y_{2}i$ có điểm biểu diễn là $N\left(x_2;y_2\right)$ 

Từ giả thiết ta có

 Suy ra tập hợp các điểm M  là đường tròn (C): ${\left(x+5\right)}^2+y^2=25$

Suy ra tập hợp các điểm N là đường thẳng d: 8x +6y -35 = 0 

Ta thấy đường thẳng d không cắt đường tròn (C) và $\left|z_1-z_2\right|=MN$ 

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho bộ ba điểm (I ,M, N) ta có

với $N_0$ là hình chiếu của I trên d

Khi đó

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $N\equiv N_0$ và $M\equiv M_0$, với $M_0$ là giao điểm của đoạn thẳng $I{N}_0$ với đường tròn (C).

Chọn đáp án B

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên mỗi mặt bên là một tam giác cân tại đỉnh S.

Theo giả thiết ta có

Cắt hình chóp theo cạnh bên SA rồi trải các mặt bên thành một mặt phẳng ta được hình vẽ bên sao cho khí ghép lại thì $A\equiv A^{\text{'}}$

Suy ra $\stackrel{⏜}{AS{A}^{\text{'}}}=4.\stackrel{⏜}{ASB}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$và $∆SA{A}^{\text{'}}$ đều cạnh SA = a

Khi đó tổng AM + MN + NP + PQ là tổng của các đường gấp khúc.

Tổng này đạt nhỏ nhất bằng AQ nếu xảy ra trường hợp các điểm A, M, N, P, Q thẳng hàng.

Mà $∆SA{A}^{\text{'}}$ đều có Q là trung điểm SA nên $AQ=\frac{SA\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ 

Vậy $min\left(AM+MN+NP+PQ\right)=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

Chọn đáp án D

Giả sử mặt cầu (S) có tâm $I\left(m;0;0\right)$ và bán kính là R (do $I\in Ox$).

Ta có

Từ đó suy ra

Để có đúng một mặt cầu (S) thỏa mãn yêu cầu khi và chỉ khi phương trình (*) có đúng một nghiệm m, tức là