Chọn đáp án B

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^4-4x^2+1$

Phương trình hoành độ giao điểm có bốn nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số $y=x^4-4x^2+1$ cắt trục Ox tại 4 điểm.

Chọn đáp án C

Bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c được tính theo công thức

Chọn đáp án D

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua gốc tọa độ $O\left(0; 0; 0\right)$ luôn có phương trình dạng $Ax+By+Cz=0$ với $\stackrel{\rightharpoonup }{n}=\left(A ;B ;C\right) \left(A^2+B^2+C^2\#0\right)$ là một vec-tơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

Tổng quát: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M\left(x_o;y_o;z_o\right)$ và nhận $\stackrel{\rightharpoonup }{n}=\left(A ;B ;C\right) \left(A^2+B^2+C^2\#0\right)$ làm một vec-tọa độ pháp tuyến thì có phương trình tổng quát được viết theo công thức

$A\left(x-x_o\right)+B\left(y-y_o\right)+C\left(z-z_o\right)=0$

Chọn đáp án A

Số cách chọn cùng lúc 3 học sinh đi tham gia chương trình tình nguyện từ 8 học sinh là $C_8^3=56$

Chọn đáp án D

Ta có: $z_1=1-2i\Rightarrow \overline{z_1}=1+2i$ 

Khi đó

Vậy $\left(x;y\right)=\left(6;4\right)$

Chọn đáp án C

Từ  $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-3 và \underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=3$

suy ra đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ có hai đường tiệm cận ngang là y = 3 và y = -3.

Chọn đáp án D

Ta thấy đồ thị hình vẽ đi qua hai điểm (1;0) và (e;1) nên loại ngay hai phương án A, C.

Với phương án B: Ta thấy hàm số là hàm số chẵn nên có đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng. Vậy đồ thị hình vẽ không thể là đồ thị của hàm số$y=\ln \left|x\right|$

Chọn đáp án C

Chọn đáp án C

Ta có:

Vậy một nguyên hàm của hàm số f(x) là $F\left(x\right)=-\frac{1}{2}cos2x+x^3$

Chọn đáp án A

Số phức $z=a+ai\left(a\in R\right)$ có điểm biểu diễn hình học là $M\left(a;a\right)$ luôn nằm trên đường thẳng y = x

Chọn đáp án A

Ta nhắc lại một số lý thuyết về hình đa diện và khối đa diện :

Như vậy mệnh đề ở phương án A không đúng

Chọn đáp án D

Chọn đáp án D

Đường thẳng (D) có một vec-tơ chỉ phương là $\stackrel{\rightharpoonup }{u_1}=\left(a,b,c\right)$.

Suy ra tất cả các vec-tơ $\stackrel{\rightharpoonup }{u}=k\stackrel{\rightharpoonup }{u_1}=\left(ka;kb;kc\right)\left(k\ne 0;k\in R\right)$ cùng phương với vec-tơ $\stackrel{\rightharpoonup }{u_1}$ đều là vec-tơ chỉ phương của đường thẳng (D).

Vậy đường thẳng (D) có vô số vec-tơ chỉ phương

Chọn đáp án D

Ta có

Suy ra số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$với đường thẳng $y=-m$.

Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

$\iff$Đồ thị hàm số  cắt đường thẳng $y=f\left(x\right)$ tại ba điểm phân biệt.

Quan sát bảng biến thiên của hàm số $y=f\left(x\right)$ ta suy ra

Vậy $m\in \left(-2;1\right)$.

Chọn đáp án D.

Áp dụng công thức ${\log }_{a^{\alpha }}{b}^{\beta }=\frac{\beta }{\alpha }.{\log }_{a}b$ ta có:

Chọn đáp án C

Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số f(x) và g(x) là nghiệm của phương trình

Từ giả thiết, ta có x₁, x₂, x₃ là ba nghiệm của phương trình (1).

Theo định lý Viets thì $x_1+x_2+x_3=3$

Mặt khác ta có 

Suy ra

Chọn đáp án A

Chọn đáp án C

Giả sử $∆x=x-x_o$ là số gia của đối số tại điểm x₀ thì số gia tương ứng của hàm số là

Ta có:

Chọn đáp án C

Do M, N lần lượt là trung điểm của SA và AB nên MN là đường trung bình của $∆SAB$ và $MN//SB$

Ta có

Chọn đáp án D

Tập xác định:

Đạo hàm:

Suy ra hàm số $f\left(x\right)=-2x^3+3x^2-3x$nghịch biến trên R.

Từ $0\le a<b$ ta có $f\left(0\right)\ge f\left(a\right)>f\left(b\right)$,

 hay $f\left(b\right)<f\left(a\right)\le 0$

Chọn đáp án A

Ta thấy f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x = 0 nên hàm số f có đúng một điểm cực tiểu là x = 0

Chọn đáp án C

Mệnh đề 1 và mệnh đề 3 đúng.

Mệnh đề 2 sai tại điều kiện $x>y>0$, sửa lại:

Nếu $x>0, y>0$ và 0 < a ≠ 1 thì mệnh đề

Chọn đáp án B

Ta có

Chọn đáp án A

Diện tích của hình phẳng (H) là

Chọn đáp án D

Số phức $z=1+\sqrt{3}i$ có: * Phần thực là 1, phần ảo là $\sqrt{3}$

*  Điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là $M\left(1;\sqrt{3}\right)$

* Số phức liên hợp $\overline{z}=1-\sqrt{3}i$ Vậy khẳng định D sai.

Chọn đáp án A

Thể tích của khối hộp chữ nhật có chiều cao bằng h, đáy là hình vuông cạnh a được tính theo công thức:

.

Diện tích toàn phần của hình hộp là:

Chọn đáp án A

Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu $S\left(O; R\right)$có thể kẻ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu.

Chọn đáp án B.

Phương trình mặt phẳng (ABC) là 

Chọn đáp án D

Tập xác định:D = R .

Ta có $\forall x\in D\Rightarrow \left(-x\right)\in D$.

Để f(x) là hàm số lẻ thì $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$.

Chọn đáp án D

Viên gạch được gắn vào hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

Diện tích của một cánh hoa là diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

$y=\frac{1}{20}{x}^2$ và $y=\sqrt{20x}$

Diện tích đó là S = $\frac{400}{3}\left(c{m}^2\right)$

Chọn đáp án C.

Ta có

Phương trình $x^2+y^2+z^2+2\left(m-2\right)y-2\left(m+3\right)z+3m^2+7=0$

là phương trình của một mặt cầu khi $a^2+b^2+c^2-d>0$

Do $m\in N$ nên $m\in \left(0; 1; 2; 3\right)$

Vậy có 4 giá trị $m\in N$ thỏa mãn bài toán

Chọn đáp án A

Áp dụng công thức

Suy ra $V_{S.ABCD}=a^2\sqrt{2}\left(đvtt\right)$

Chọn đáp án D

Cạnh của hình vuông A₂B₂C₂D₂ là $A_2{B}_2=A_1{B}_1.\frac{\sqrt{2}}{2}$

Cạnh của hình vuông A₃B₃C₃D₃ là

Cạnh của hình vuông A₄B₄C₄D₄ là

Tương tự, ta tính được cạnh của hình vuông  A₂₀₁₈B₂₀₁₈C₂₀₁₈D₂₀₁₈ là

Chu vi của hình vuông

Chọn đáp án B

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là nghiệm của phương trình :

Để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1

Chọn đáp án C

Khoảng cách từ A đến bờ sông là $AH=118m$; khoảng cách từ B đến bờ sông là $BK=487m$(hình vẽ).

ta có

$\Rightarrow HK=492 m$.

Người đó đi từ A đến vị trí M trên bờ sông để lấy nước, sau đó mang về B.

Đoạn đường người đó đi được là

Đạo hàm

Vậy đoạn đường ngắn nhất người đó có thể đi là $\approx 779,8 m$

Chọn đáp án C

Chọn đáp án D

Điều kiện: x > 0

Đặt ${\log }_{3}x\iff x=3^t$

Phương trình đã cho trở thành:

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ $\iff$ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Giả sử (*) có hai nghiệm  và .

Khi đó

Suy ra

là hai nghiệm của phương trình

·         Với  thay vào (*) ta được : (thỏa mãn).

·         Với  thay vào (*) ta được : (thỏa mãn).

Vậy  là giá trị cần tìm.

Chọn đáp án B

Do hàm số $f\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^2+1$ làm hàm chẵn và liên tục trên đoạn $\left[-1;1\right]$ nên ta có

Suy ra

Chọn đáp án C

Xét mặt cắt là một hình parabol, chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ bên.

Phương trình parabol (P) có dạng $y=a{x}^2$với $a>0$.

Ta thấy (P) đi qua các điểm (-4; 8) và (4; 8) nên $a=\frac{1}{2}$.

Suy ra phương trình parabol (P) là $y=\frac{1}{2}{x}^2$

Diện tích mặt cắt parabol của bồn nước cùng chính là diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y=\frac{1}{2}{x}^2$ và  y = 8.

Diện tích đó là:

Do đó thể tích của bồn nước là: $V=\frac{2560}{3}d{m}^3$

Chọn đáp án D

Từ giả thiết

 ta có:

Phương trình (*) (ẩn z) có bậc là 2019, nên phương trình (*) có 2019 nghiệm phức dạng $z=a+bi$ với $a, b\in R$.

Vậy có 2019 cặp có thứ tự (a; b) thỏa mãn bài toán.

Chọn đáp án D

Gọi M là trung điểm của BC. Suy ra

Ta có

$∆A^{\text{'}}AM$ vuông tại A, AH là đường cao nên

Thể tích khối lăng trụ là:$V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{3\sqrt{2}{a}^3}{16}$

Chọn đáp án C

Trước khi hoàn thiện, mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ với đáy là hình lục giác đều có diện tích là

Thể tích mỗi khối lăng trụ lúc đầu là: $V_1=S_1.h=240000\sqrt{3}\left(c{m}^3\right)$

Thể tích mỗi khối cột hình trụ sau khi hoàn thiện là:

Suy ra thể tích lượng vừa trát thêm vào cho cả 10 cây cột là:

$V=10\left(V_2-V_1\right)\approx 1384847,50$

Số bao xi măng loại 50kg cần dùng là:

$\frac{V_{xm}}{64000}\approx 17,3106$

Vậy cần ít nhất 18 bao xi măng để hoàn thiện toàn bộ hệ thống cột

Chọn đáp án A

Mặt cầu (S):

có tâm $T\left(1;1;3\right)$ và bán kính R = 2.

Từ giả thiết ta có ba điểm A, M, B nằm trên mặt cầu và thỏa mãn $\stackrel{⏜}{AMB}={90}^0$ nên AB đi qua I, hay .

Lại có

Dấu “=” xảy ra

Chọn đáp án D

Bất phương trình tương đương với

Xét hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x^2-4x+5}-x^2+4x$ trên đoạn $\left[2;3\right]$

Đạo hàm

Bảng biến thiên:

Để bất phương trình đã cho có nghiệm thực trên $\left[2;3\right]$ khi và chỉ khi $m\le \underset{\left[2;3\right]}{max}f\left(x\right)=5$

Do $m\in \left(-2018;2018\right)$và $m\in Z$ nên tất cả các giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán là

Vậy có 2024 giá trị m nguyên thỏa mãn

Chọn đáp án B

Gọi r₁, r₂, r₃, r₄ lần lượt là khoảng cách từ điểm M đến các mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD), (ABC)

Gọi S là diện tích một mặt của tứ diện đều thì 

Thể tích tứ diện đều ABCD là $V_{ABCD}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Ta có $V_{ABCD}=V_{M.BCD}+V_{M.ACD}+V_{M.ABD}+V_{M.ABC}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Chọn đáp án C

Tập xác định: D = R.

Gọi $∆$ là đường thẳng đi qua $M\left(0; m\right)$và có hệ số góc là k, phương trình đường thẳng $∆:y=kx+m$.

Đường thẳng $∆$ là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm :

Hệ phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{x+2}{2\sqrt{x^2+x+1}}$ trên R.

Đạo hàm

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình (*) có nghiệm

$\iff -\frac{1}{2}<m\le -1$ hay $m\in (-\frac{1}{2};1]$.

Chọn đáp án A

Đặt $t=\sin x, t\in \left[0;1\right]$ thì phương trình đã trở thành:

Xét hàm số $f\left(t\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^t+3^{1-2t}$ trên đoạn $\left[0;1\right]$

Ta có

$\Rightarrow$Hàm số f’(t) đồng biến trên $\left[0;1\right]$

$\Rightarrow$Hàm số f(t) nghịch biến trên đoạn $\left[0;1\right]$.

$\Rightarrow f\left(1\right)\le f\left(t\right)\le f\left(0\right)$ hay $1\le f\left(t\right)\le \le 4$.

Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left(t\right)$trên đoạn $\left[0;1\right]$.

Suy ra $1\le m\le 4$.

Chọn đáp án A

Từ giả thiết, ta có

Suy ra

Với $x=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ ta có

Với  $x=\frac{\mathrm{\pi }}{6}$ ta có

Suy ra

Chọn đáp án B

Từ giả thiết ta có:

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là miền mặt phẳng

(T) thỏa mãn (miền tô đậm trong hình vẽ bên

Gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng $2x+y+2=0$ và đường tròn (C’) : ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=25$

Ta tìm được A(2; -6) và B(-2; 2)

Ta có :

Đường tròn (C) cắt miền (T) khi và chỉ khi

Chọn đáp án C

Dễ thấy mặt phẳng (P) nằm giữa hai mặt phẳng (Q) và (R) ; ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song với nhau.

Trên mặt phẳng (P) lầy điểm M(1; 0; 0)

Gọi B’, C’, lần lượt là hình chiếu của A trên hai mặt phẳng (Q) và (R). Ta có :

Khi đó

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi