Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác

Giải Toán 7 Luyện tập trang 73

Video giải Bài 42 trang 73 Toán lớp 7 Tập 2

Bài 42 trang 73 Toán lớp 7 Tập 2: Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.

Gợi ý: Trong ΔABC, nếu AD vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác thì kéo dài AD một đoạn DA₁, sao cho DA₁ = AD.

Lời giải:

 Giả sử AD vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác của tam giác ABC.

Ta cần chứng minh ∆ABC cân tại A.

Kéo dài AD một đoạn DA₁ sao cho DA₁ = AD.

Xét ∆ADB và ∆A₁DC có:

AD = DA₁ 

BD = CD (do D là trung điểm BC)

$\widehat{BDA}=\widehat{CD{A}_1}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆ADB = ∆A₁DC (c.g.c).

Suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{C{A}_{1}D}$ (hai góc tương ứng)

Suy ra AB = A₁C (hai cạnh tương ứng)   (1)

Mà $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (do AD là phân giác góc BAC).

Suy ra $\widehat{CAD}=\widehat{C{A}_{1}D}$ (do cùng bằng góc BAD).

Do đó ∆ACA₁ cân tại C suy ra AC = A₁C   (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = AC.

Vậy ∆ABC cân tại A.

Tức là: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 hay, chi tiết khác:

Bài 39 trang 73 Toán 7 Tập 2: Cho hình 39. a) Chứng minh ΔABD = ΔACD...

Bài 40 trang 73 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm, I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó...

Bài 41 trang 73 Toán 7 Tập 2: Hỏi trọng tâm của một tam giác đều có cách đều ba cạnh của nó hay không? Vì sao?...

Bài 43 trang 73 Toán 7 Tập 2: Đố: Có hai con đường cắt nhau và cùng cắt một con sông tại hai địa điểm khác nhau (h.40)...