Cho tam gác ABC đều có cạnh bằng 2. Qua ba phép biến hình liên tiếp

Giải Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chuyên đề 1

Bài 2 trang 40 Chuyên đề Toán 11: Cho ∆ABC đều có cạnh bằng 2. Qua ba phép biến hình liên tiếp: Phép tịnh tiến ${\mathrm{T}}_{\overrightarrow{\mathrm{BC}}}$, phép quay Q_{(B, 60°)}, phép vị tự V_{(A, 3)}, ∆ABC biến thành ∆A₁B₁C₁. Tìm diện tích ∆A₁B₁C₁.

Lời giải:

Ta có ∆ABC đều có cạnh bằng 2. Suy ra AB = AC = 2 và $\widehat{\mathrm{BAC}}=60°$.

Vì phép tịnh tiến và phép quay đều là phép dời hình nên ảnh của ∆ABC qua phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{\mathrm{BC}}}$ và phép quay Q_{(B, 60°)} đều có các kích thước bằng các kích thước tương ứng của ∆ABC.

Gọi f là phép biến hình có được bằng thực hiện hai phép biến hình liên tiếp là phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{\mathrm{BC}}}$ và phép quay Q_{(B, 60°)}.

Suy ra f là phép dời hình.

Do đó phép đồng dạng tỉ số 3 có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép dời hình f và phép vị tự V_{(A, 3)} biến ∆ABC thành ∆A₁B₁C₁.

Vì vậy phép đồng dạng tỉ số 3 biến các điểm A, B, C theo thứ tự thành các điểm A₁, B₁, C₁.

Khi đó A₁B₁ = 3AB = 3.2 = 6 và A₁C₁ = 3AC = 3.2 = 6.

Vì ∆ABC và ∆A₁B₁C₁ đồng dạng với nhau nên $\widehat{B_1{A}_1{C}_1}=\widehat{\mathrm{BAC}}=60°$.

Ta có $S_{{\mathrm{\Delta A}}_1{B}_1{C}_1}=\frac{1}{2}.A_1{B}_1.A_1{C}_1.\sin \widehat{B_1{A}_1{C}_1}=\frac{1}{2}.6.6.\sin 60°=9\sqrt{3}$.

Vậy diện tích ∆A₁B₁C₁ bằng $9\sqrt{3}$.