Từ các công thức khai triển:

${(a + b)}^0$= 1;

${(a + b)}^1$ = a + b;

${(a + b)}^2 = a^2 + 2ab + b^2$;

${(a + b)}^3 = a^3 + 3a^{2}b + 3a{b}^2 + b^3$;

${(a + b)}^4 = a^4 + 4a^{3}b + 6a^2{b}^2 + 4a{b}^3 + b^4;$

${(a + b)}^5 = a^5 + 5a^{4}b + 10a^3{b}^2 + 10a^2{b}^3 + 5a{b}^4 + b^5;$

các hệ số được viết thành bảng số như Hình 2 sau đây. Nếu sử dụng kí hiệu tổ hợp thì nhận được bảng như Hình 3.

Từ các đẳng thức như

$\begin{array}{ll}{C}_3^0=C_3^3=1,& C_4^1=C_4^3=4,\\ C_3^0+C_3^1=C_4^1,& C_4^2+C_4^3=C_5^3,\end{array}$

có thể dự đoán rằng, với mỗi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$,

$C_n^k=C_n^{n-k}(0\le k\le n);$

 

$C_n^{k-1}+C_n^k=C_{n+1}^k(1\le k\le n).$

Hãy chứng minh các công thức trên.

Gợi ý: Sử dụng công thức $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},n\in \mathbb{N},0\le k\le n.$

Tìm hệ số của x¹⁰ trong khai triển của biểu thức (2 – x)¹².

Khai triển biểu thức:

a) ${(x – 2y)}^6$

b) ${(3x – 1)}^5$

Biết rằng (3x – 1)⁷ = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + a₅x⁵ + a₆x⁶ + a₇x⁷. Hãy tính:

a) a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇;

b) a₀ + a₂ + a₄ + a₆.

Biết rằng a là một số thực khác 0 và trong khai triển của (ax + 1)⁶, hệ số của x4 gấp bốn lần hệ số của x². Tìm giá trị của a.

Chứng minh rằng, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, ta có

Biết rằng hệ số của x² trong khai triển của (1 + 3x)ⁿ là 90. Tìm giá trị của n.

Chứng minh công thức nhị thức Newton (công thức (1), trang 35 ) bằng phương pháp quy nạp toán học.

Một tập hợp có 12 phần tử thì có tất cả bao nhiêu tập hợp con?

Trong hộp A có 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Người ta lấy một số quả cầu từ hộp A rồi cho vào hộp B. Có tất cả bao nhiêu cách lấy, tính cả trường hợp lấy không quả (tức không lấy quả nào)?

Từ 15 bút chì màu có màu khác nhau đôi một,

a) Có bao nhiêu cách chọn ra một số bút chì màu, tính cả trường hợp không chọn cái nào?

b) Có bao nhiêu cách chọn ra ít nhất 8 bút chì màu?

Xác định hệ số của x2 trong khai triển ${(3x + 2)}^9$.

Biết rằng trong khai triển ${(x + a)}^6$ với a là một số thực, hệ số của $x^4$ là 60. Tìm giá trị của a.

Có ba hộp, mỗi hộp đựng hai quả cầu được dán nhãn a và b (xem Hình 1).

Lấy từ mỗi hộp một quả cầu. Có bao nhiêu cách lấy để trong ba quả cầu lấy ra:

a) có 3 quả cầu dán nhãn b?

b) có 2 quả cầu dán nhãn b?

c) có 1 quả cầu dán nhãn b?

d) không có quả cầu nào dán nhãn b?

Sử dụng tam giác Pascal, hãy khai triển:

a) ${(2x + 1)}^6$ ;

b)${(x – y)}^7$

.