Câu hỏi:
17/06/2026 342Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm các cạnh BC, CA, AB tương ứng là M(2; 0); N(4; 2); P(1; 3).
Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Gọi tọa độ các điểm A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC).
Vì P(1; 3) là trung điểm của cạnh AB nên
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = 1\\\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2\\{y_A} + {y_B} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 2 - {x_B}\\{y_A} = 6 - {y_B}\end{array} \right.\) (1)
Vì N(4; 2) là trung điểm của cạnh CA nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = 4\\\frac{{{y_A} + {y_C}}}{2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_C} = 8\\{y_A} + {y_C} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 8 - {x_C}\\{y_A} = 4 - {y_C}\end{array} \right.\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}2 - {x_B} = 8 - {x_C}\\6 - {y_B} = 4 - {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = - 6 + {x_C}\\{y_B} = 2 + {y_C}\end{array} \right.\) (3)
Vì M(2; 0) là trung điểm của BC nên
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = 2\\\frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = 4\\{y_B} + {y_C} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4 - {x_C}\\{y_B} = - {y_C}\end{array} \right.\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l} - 6 + {x_C} = 4 - {x_C}\\2 + {y_C} = - {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_C} = 10\\2{y_C} = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 5\\{y_C} = - 1\end{array} \right.\).
Do đó tọa độ điểm C là C(5; – 1).
Thay tọa độ điểm C vào (2) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 8 - 5 = 3\\{y_A} = 4 - \left( { - 1} \right) = 5\end{array} \right.\).
Thay tọa độ điểm C vào (4) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4 - 5 = - 1\\{y_B} = - \left( { - 1} \right) = 1\end{array} \right.\).
Vậy tọa độ các điểm A, B, C là A(3; 5), B(– 1; 1), C(5; – 1).
Hướng dẫn giải
Gọi tọa độ các điểm A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC).
Vì P(1; 3) là trung điểm của cạnh AB nên
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = 1\\\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2\\{y_A} + {y_B} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 2 - {x_B}\\{y_A} = 6 - {y_B}\end{array} \right.\) (1)
Vì N(4; 2) là trung điểm của cạnh CA nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = 4\\\frac{{{y_A} + {y_C}}}{2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_C} = 8\\{y_A} + {y_C} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 8 - {x_C}\\{y_A} = 4 - {y_C}\end{array} \right.\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}2 - {x_B} = 8 - {x_C}\\6 - {y_B} = 4 - {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = - 6 + {x_C}\\{y_B} = 2 + {y_C}\end{array} \right.\) (3)
Vì M(2; 0) là trung điểm của BC nên
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = 2\\\frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = 4\\{y_B} + {y_C} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4 - {x_C}\\{y_B} = - {y_C}\end{array} \right.\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l} - 6 + {x_C} = 4 - {x_C}\\2 + {y_C} = - {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_C} = 10\\2{y_C} = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 5\\{y_C} = - 1\end{array} \right.\).
Do đó tọa độ điểm C là C(5; – 1).
Thay tọa độ điểm C vào (2) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 8 - 5 = 3\\{y_A} = 4 - \left( { - 1} \right) = 5\end{array} \right.\).
Thay tọa độ điểm C vào (4) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4 - 5 = - 1\\{y_B} = - \left( { - 1} \right) = 1\end{array} \right.\).
Vậy tọa độ các điểm A, B, C là A(3; 5), B(– 1; 1), C(5; – 1).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD và CD = 2AB.
Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD và CD = 2AB.
Câu 2:
Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng BC sao cho diện tích của tam giác ABC bằng hai lần diện tích của tam giác ABM.
Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng BC sao cho diện tích của tam giác ABC bằng hai lần diện tích của tam giác ABM.
Câu 4:
B. Bài tập
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow a = \left( { - 1;\,\,2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {3;\,\,1} \right)\), \(\overrightarrow c = \left( {2;\, - 3} \right)\).
Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b - 3\overrightarrow c \).
Câu 5:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G (minh họa ở Hình 20).
Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {OG} \) theo ba vectơ \(\overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {OC} \).
Câu 6:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \) là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy.
Tính \({\overrightarrow i ^2};\,\,{\overrightarrow j ^2};\,\,\overrightarrow i \,\,.\,\overrightarrow {\,j} \).
Câu 7:
Cho hai điểm A(2; 4) và M(5; 7).Tìm tọa độ điểm B sao cho M là trung điểm đoạn thẳng AB.
Câu 8:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 4); B(– 1; 1); C(– 8; 2).
Tính số đo góc ABC (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 4); B(– 1; 1); C(– 8; 2).
Tính số đo góc ABC (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).
Câu 9:
Một vật đồng thời bị ba lực tác động: lực tác động thứ nhất \(\overrightarrow {{F_1}} \) có độ lớn là 1 500 N, lực tác động thứ hai \(\overrightarrow {{F_2}} \) có độ lớn là 600 N, lực tác động thứ ba \(\overrightarrow {{F_3}} \) có độ lớn là 800 N. Các lực này được biểu diễn bằng những vectơ như Hình 23, với \(\left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} } \right) = 30^\circ ,\,\left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} } \right) = 45^\circ \)và \(\left( {\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} } \right) = 75^\circ \). Tính độ lớn lực tổng hợp tác động lên vật (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Một vật đồng thời bị ba lực tác động: lực tác động thứ nhất \(\overrightarrow {{F_1}} \) có độ lớn là 1 500 N, lực tác động thứ hai \(\overrightarrow {{F_2}} \) có độ lớn là 600 N, lực tác động thứ ba \(\overrightarrow {{F_3}} \) có độ lớn là 800 N. Các lực này được biểu diễn bằng những vectơ như Hình 23, với \(\left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} } \right) = 30^\circ ,\,\left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} } \right) = 45^\circ \)và \(\left( {\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} } \right) = 75^\circ \). Tính độ lớn lực tổng hợp tác động lên vật (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Câu 10:
Cho ba điểm A(1; 1) ; B(4; 3) và C (6; – 2).
Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Câu 11:
A. Các câu hỏi trong bài
Trên màn hình ra đa của đài kiểm soát không lưu (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), một máy bay trực thăng chuyển động thẳng đều từ thành phố A có tọa độ (400; 50) đến thành phố B có tọa độ (100; 450) (Hình 17) và thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ. Người ta muốn biết vị trí (tọa độ) của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát t giờ (0 ≤ t ≤ 3).
Làm thế nào để xác định được tọa độ của máy bay trực thăng tại thời điểm trên?
A. Các câu hỏi trong bài
Trên màn hình ra đa của đài kiểm soát không lưu (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), một máy bay trực thăng chuyển động thẳng đều từ thành phố A có tọa độ (400; 50) đến thành phố B có tọa độ (100; 450) (Hình 17) và thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ. Người ta muốn biết vị trí (tọa độ) của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát t giờ (0 ≤ t ≤ 3).
Làm thế nào để xác định được tọa độ của máy bay trực thăng tại thời điểm trên?
Câu 12:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(– 2; 3) ; B(4; 5); C(2; – 3).
Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(– 2; 3) ; B(4; 5); C(2; – 3).
Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Câu 13:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Gọi M(xM; yM) là trung điểm của đoạn thẳng AB (minh họa ở Hình 19).
Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {OM} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \).
Câu 14:
Trong bài toán mở đầu, hãy tìm tọa độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 2 giờ.
Câu 15:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy (Hình 18), cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};\,{y_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\).
Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v \) theo hai vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy (Hình 18), cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};\,{y_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\).
Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v \) theo hai vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \).
