Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính của quả bóng bàn. Gọi $S_1$ là tổng diện tích ba quả bóng bàn,$S_2$là diện tích xung quanh hình trụ. Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, gọi $\phi$là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;2;0\right),\overrightarrow{b}=\left(2;0;-1\right)$. Khi đó giá trị $\cos \phi$ bằng

Môđun của số phức $z=-3+4i$ bằng:

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn

${\log }_3{\left(x^2+y^2+7x+14y\right)}^2+{\log }_2\left(x^2+y^2\right)\le {\log }_2\left(x^2+y^2+30x+60y\right)+2{\log }_3\left(x+2y\right)$ 

Cho đồ thị (C) của hàm số đa thức bậc ba và parabol (P) có đỉnh trên Ox và trục đối xứng của (P) vuông góc với trục hoành như hình vẽ. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C) và (P) (phần tô đen)

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ

Tổng giá trị cực đại và cực tiểu đã cho bằng

Phần thực của số phức $z=3-\left(2i-4\right)$ là

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+5}{2-x}$ là đường thẳng có phương trình nào dưới đây?

Cho khối tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc vầB = AC = 2a, AD = 3a. Thể tích của khối tứ diện đã cho bằng

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-3) và phương trình hai mặt phẳng (P): 2x + 2y + z +1 = 0, (Q): 2x – y + 2z – 1 = 0. Phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với cả (P) và (Q) là:

Cho $\int \frac{1}{x^2}\text{d}x=F\left(x\right)+C$ với $x\ne 0$ và C là hằng số. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;6] và thỏa mãn $f\left(0\right)=\mathrm{2,}\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(2x-4\right)f^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=4.$ Tính $\underset{0}{\overset{6}{\int }}f\left(\frac{x}{3}\right)\text{d}x.$

Cho số phức z thỏa mãn $\left|z-1\right|=1.$ Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w=\left(1+i\sqrt{3}\right)z+2$ là một đường tròn. Bán kính R của đường tròn đó là:

Tính tổng tất cả các nghiệm nguyên của phương trình

${\log }_3\left(x^2+8\right)-{\log }_{3}x+x^2-9x+6\le 0$.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=9$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+2y+2z+6=0;\left(Q\right):x-2y+z+2023=0$. Điểm N di động trên (S), điểm (M) đi động trên (P) sao cho MN vuông góc với (Q). Độ dài lớn nhất của đoạn thẳng MN bằng