49 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 9)

Câu 1:

08/07/2026

Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ?

Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ? (ảnh 1)

A. $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 1$

B. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 1$

C. $y = x^{3} - x^{2} + x - 1$

D. $y = - x^{4} - 2 x^{2} - 1$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số a<0 và có 3 điểm cực trị.

Câu 2:

08/07/2026

Một đội văn nghệ có 6 bạn nam và 4 bạn nữ. Có bao nhiêu cách chọn gồm 1 bạn nam và 1 bạn nữ để thể hiện một tiết mục song ca?

A. 45

B. 10

C. 24

D. 90

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Có 6 cách chọn 1 bạn nam từ 6 bạn.

Có 4 cách chọn 1 bạn nữ từ 4 bạn.

Áp dụng quy tắc nhân, ta có 6.4 = 24 cách chọn gồm 1 bạn nam và 1 bạn nữ để thể hiện một tiết mục song ca.

Câu 3:

08/07/2026

Trong không gian $O x y z$ , đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = - 2 - 4 t \\ z = 3 - 5 t \end{cases}$ đi qua điểm nào dưới đây?

A. $(3; 4; 5)$

B. (-1;2;-3)

C. (-3;4;5)

D. (1;-2;3)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = - 2 - 4 t \\ z = 3 - 5 t \end{cases}$ đi qua điểm $(1; - 2; 3)$

Câu 4:

08/07/2026

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 5}{2 - x}$ là đường thẳng có phương trình nào dưới đây?

A. y = -5

B. y = 2

C. y = 1

D. y = -2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Vì $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x + 5}{2 - x} = - 2$ nên $y = - 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 5:

08/07/2026

Cho $\int_{0}^{2} f (x) d x = 3$ và $\int_{0}^{2} g (x) d x = - 1$ . Giá trị của tích phân $\int_{0}^{2} [f (x) - g (x)] d x$ bằng

A. -2

B. 2

C. 4

D. -3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\int_{0}^{2} [f (x) - g (x)] d x = \int_{0}^{2} f (x) d x - \int_{0}^{2} g (x) d x = 3 - (- 1) = 4$

Câu 6:

08/07/2026

Môđun của số phức $z = - 3 + 4 i$ bằng:

A. 7

B. $\sqrt{2}$

C. 5

D. 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $|z| =$ $|- 3 + 4 i| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$

Câu 7:

08/07/2026

Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là a; 2a; 3a là:

A. $V = 6 a^{3}$

B. $V = 2 a^{3}$

C. $V = a^{3}$

D. $V = 3 a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là $a, 2 a, 3 a$ là: $V = a .2 a .3 a = 6 a^{3}$ .

Câu 8:

08/07/2026

Đồ thị của hàm số $y = \frac{2 x - 4}{x + 1}$ cắt trục hoành tại điểm nào dưới đây?

A. (-2;0)

B. (-4;0)

C. (0;-4)

D. (2;0)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{2 x - 4}{x + 1} = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Vậy đồ thị của hàm số $y = \frac{2 x - 4}{x + 1} \vec{n_{2}} = (0; 1; - 2)$ cắt trục hoành tại điểm $(2; 0)$

Câu 9:

08/07/2026

Trong không gian $O x y z$ , mặt phẳng $(P) : x - 2 z + 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là:

A. $\vec{n_{1}} = (1; 0; - 2)$

B. $\vec{n_{3}} = (1; - 2; 0)$

C. $\vec{n_{4}} = (1; - 2; 3)$

D. $\vec{n_{2}} = (1; 2; 3)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng $(P) : x - 2 z + 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là (1;0;-2).

Câu 10:

08/07/2026

Cho mặt cầu tâm O có đường kính 12 cm. Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu đã cho khi và chỉ khi khoảng cách từ O đến (P) bằng

A. 6cm

B. 4 cm

C. 24cm

D. 12 cm

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tâm O có đường kính 12 cm khi và chỉ khi khoảng cách từ O đến (P) bằng bán kính mặt cầu và bằng .

Câu 11:

08/07/2026

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

của đồ thị hàm số đã cho là:

A. (-1;4)

B. (-1;0)

C. (3;-2)

D. (0;4)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Quan sát bảng biến thiên của hàm số y = f(x) ta thấy điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là (-1;4)

Câu 12:

08/07/2026

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ

Tổng giá trị cực đại và cực tiểu đã cho bằng

A. 3

B. 0

C. 2

D. 5

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số lần lượt là 3 và -1.

Vậy tổng giá trị cực đại và cực tiểu đã cho bằng 3 + (-1) = 2

Câu 13:

08/07/2026

Cho khối tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc vầB = AC = 2a, AD = 3a. Thể tích của khối tứ diện đã cho bằng

A. $V = 2 a^{3} .$

B. $V = 3 a^{3} .$

C. $V = 4 a^{3} .$

D. $V = a^{3} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $A D ⊥ A B$ và $A D ⊥ A C \Rightarrow A D ⊥ (A B C)$

Thể tích khối tứ diện ABCD là $V = \frac{1}{3} S_{A B C} \cdot A D = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot A D = 2 a^{3}$ .

Câu 14:

08/07/2026

Đạo hàm của hàm số $y = 9^{x} + 2023$ là:

$y^{'} = x {.9}^{x - 1} \cdot$

B. $y^{'} = \frac{9^{x}}{\ln 9} \cdot$

C. $y^{'} = \frac{9^{x - 1}}{\ln 9} \cdot$

D. $y^{'} = 9^{x} \ln 9 \cdot$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $y^{'} = {(9^{x} + 2023)}^{'} = 9^{x} \ln 9$

Câu 15:

08/07/2026

Cho cấp số cộng

(u_{n})

, biết

u_{1} = 1

và công sai d = 2. Giá trị

u_{15}

bằng

A. 29

B. 35

C. 27

D. 31

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $u_{15} = u_{1} + 14 d = 1 + 14 \cdot 2 = 29$

Câu 16:

08/07/2026

Cho $\int \frac{1}{x^{2}} d x = F (x) + C$ với $x \neq 0$ và C là hằng số. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $F^{'} (x) = 2 \ln |x|$

B. $F^{'} (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

C. $F^{'} (x) = \frac{1}{x^{2}}$

D. $F^{'} (x) = - \frac{1}{x}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có $\int \frac{1}{x^{2}} d x = F (x) + C \Rightarrow {(\int \frac{1}{x^{2}} d x)}^{'} = {[F (x) + C]}^{'} \Leftrightarrow F^{'} (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

Câu 17:

08/07/2026

Phần thực của số phức $z = 3 - (2 i - 4)$ là

A. 7

B. 1

C. - 2

D. -1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $z = 3 - (2 i - 4) = 7 - 2 i$ có phần thực là .

Câu 18:

08/07/2026

Trên khoảng $(0; + \infty)$ , đạo hàm của hàm số $y = x^{e}$ là

A. $y^{'} = e x^{e - 1}$

B. $y^{'} = \frac{1}{e} x^{e - 1}$

C. $y^{'} = x^{e - 1}$

D. $y^{'} = \frac{x^{e + 1}}{e + 1}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $y^{'} = {(x^{e})}^{'} = e . x^{e - 1}$ .

Câu 19:

08/07/2026

Tập nghiệm của bất phương trình $4^{2 x + 1} \geq 64$ là

A. $[1; + \infty)$

B. $(- \infty; 1)$

C. $(- \infty; - 1)$

D. $[- 1; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $4^{2 x + 1} \geq 64 \Leftrightarrow 2 x + 1 \geq \log_{4} 64 \Leftrightarrow 2 x + 1 \geq 3 \Leftrightarrow x \geq 1$ .

Tập nghiệm của bất phương trình là $S = [1; + \infty)$ .

Câu 20:

08/07/2026

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x + 1) > - 3$ là

A. $(- 1; 5)$

B. $(7; + \infty)$

C. $(- 1; 7)$

D. $[- 1; 7)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\log_{\frac{1}{2}} (x + 1) > - 3 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 1 < {(\frac{1}{2})}^{- 3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > - 1 \\ x < 7 \end{cases} \Leftrightarrow - 1 < x < 7$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương là $S = (- 1; 7)$ .

Câu 21:

08/07/2026

Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình $2 f (x) + m = 0$ có bốn nghiệm thực phân biệt là

A. 7

B. 4

C. 6

D. 5

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có : $2 f (x) + m = 0 \Leftrightarrow f (x) = - \frac{m}{2}$ .

Phương trình $2 f (x) + m = 0$ có bốn nghiệm thực phân biệt $\Leftrightarrow - 2 < - \frac{m}{2} < 1 \Leftrightarrow - 2 < m < 4$ .

Kết hợp với điều kiện $m \in ℤ \Rightarrow m \in \{- 1; 0; 1; 2; 3\}$ .

Vậy có 5 giá trị m nguyên để phương trình $2 f (x) + m = 0$ có bốn nghiệm thực phân biệt.

Câu 22:

08/07/2026

Cho hai số phức $z_{1} = 1 - i, z_{2} = 5 i - 3$ . Phần ảo của số phức $w = z_{1} \cdot {\bar{z}}_{2} + z_{2}$ là

A. -1

B. 3

C. -3

D. 11

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $w = z_{1} . {\bar{z}}_{2} + z_{2} = (1 - i) . (- 3 - 5 i) + 5 i - 3 = - 11 + 3 i$ .

Phần ảo của số phức w là 3.

Câu 23:

08/07/2026

Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính của quả bóng bàn. Gọi $S_{1}$ là tổng diện tích ba quả bóng bàn, $S_{2}$ là diện tích xung quanh hình trụ. Tỉ số $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{3}{2}$

C. $\frac{2}{3}$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi là bán kính của các quả bóng bàn.

Tổng diện tích ba quả bóng bàn là: $S_{1} = 3.4 π r^{2} = 12 π r^{2}$ .

Diện tích xung quanh hình trụ là: $S_{2} = 2 π r .6 r = 12 π r^{2}$ .

Vậy: $\frac{S_{1}}{S_{2}} = 1$ .

Câu 24:

08/07/2026

Trong không gian $O x y z$ , gọi $φ$ là góc giữa hai vectơ $\vec{a} = (1; 2; 0), \vec{b} = (2; 0; - 1)$ . Khi đó giá trị $\cos φ$ bằng

A. $\cos φ = \frac{2}{5}$

B. $\cos φ = \frac{\sqrt{2}}{5}$

C. $\cos φ = 0$

D. $\cos φ = - \frac{\sqrt{2}}{5}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\cos φ = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{1.2}{\sqrt{5} . \sqrt{5}} = \frac{2}{5}$ .

Câu 25:

08/07/2026

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-3) và phương trình hai mặt phẳng (P): 2x + 2y + z +1 = 0, (Q): 2x – y + 2z – 1 = 0. Phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với cả (P) và (Q) là:

A. $\frac{x - 1}{5} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 3}{- 6}$

B. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 3}{- 6}$

C. $\frac{x - 1}{5} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 3}{6}$

D. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 3}{- 4}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{P}} = (2; 2; 1)$ .

Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{Q}} = (2; - 1; 2)$ .

Đường thẳng d song song với cả (P) và (Q) nên có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = [\vec{n_{P}}, \vec{n_{Q}}] = (5; - 2; - 6)$ .

Vậy đường thẳng d cần tìm có phương trình là: $\frac{x - 1}{5} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 3}{- 6}$ .

Câu 26:

08/07/2026

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(2;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0 có bán kính bằng

A. R = 3

B. R = 9

C. R = 4

D. R = 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $R = d (I; (P) =) \frac{|2.2 - 1 + 2.1 + 1|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} = 2$ .

Câu 27:

08/07/2026

Nếu $\int_{1}^{3} [2 f (x) + 1] d x = 5$ thì $\int_{1}^{3} f (x) d x$ bằng

A. 3

B. 2

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{3}{4}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có

$\int_{1}^{3} [2 f (x) + 1] d x = 2 \int_{1}^{3} f (x) d x + \int_{1}^{3} 1 d x = 2 \int_{1}^{3} f (x) d x + 2 = 5 \Leftrightarrow \int_{1}^{3} f (x) d x = \frac{3}{2}$ .

Câu 28:

08/07/2026

Cho hàm số $f (x) = \sin x + 5 x^{4}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\int f (x) d x = - \cos x + 20 x^{3} + C$

B. $\int f (x) d x = \cos x + 20 x^{3} + C$

C. $\int f (x) d x = - \cos x + x^{5} + C$

D. $\int f (x) d x = \cos x + x^{5} + C$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có $\int f (x) d x = \int (\sin x + 5 x^{4}) d x = - \cos x + x^{5} + C$ .

Câu 29:

08/07/2026

Cho các số thực dương phân biệt $a, b$ đều khác 1 và thỏa mãn $\ln a = x, \ln b = y$ . Tính giá trị của biểu thức $P = \ln (a^{5} b^{4})$ theo x và y.

A. $P = 5 x + 4 y$

B. $P = 20 x y$

C. $P = x^{5} y^{4}$

D. $P = x^{5} + y^{4}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $P = \ln (a^{5} b^{4}) = 5 \ln a + 4 \ln b = 5 x + 4 y$ .

Câu 30:

08/07/2026

Biết phương trình $\log_{2}^{2} x + 3 \log_{2} x^{2} - 7 = 0$ có hai nghiệm là $x_{1}, x_{2} (x_{1} > x_{2})$ . Giá trị của $x_{1} - 2 x_{2}$ bằng

A. $\frac{127}{64}$

B. 15

C. $\frac{129}{64}$

D. 14

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x > 0

\log_{2}^{2} x + 3 \log_{2} x^{2} - 7 = 0 \Leftrightarrow \log_{2}^{2} x + 6 \log_{2} x - 7 = 0

Đặt $t = \log_{3} x$ , phương trình trở thành:

$t^{2} + 6 t - 7 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 7 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{2} x = 1 \\ \log_{2} x = - 7 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = 2 \\ x_{2} = \frac{1}{128} \end{array}$ (do $x_{1} > x_{2}$ )

Khi đó $x_{1} - 2 x_{2} = 3 - 2. \frac{1}{2187} = \frac{127}{64}$ .

Câu 31:

08/07/2026

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ$ , có đạo hàm $f^{'} (x) = x^{3} {(x - 1)}^{2} (x + 2)$ , $\forall x \in ℝ$ . Khoảng nghịch biến của hàm số $y = f (x)$ là:

A. $(- 2; 0)$

B. $(- 2; 0)$ và $(1; + \infty)$ .

C. $(- \infty; - 2)$ và

(0; 1)

.

D. $(- \infty; - 2)$ và $(0; + \infty)$ .

Xem đáp án

Ta có: $f^{'} (x) = 0$ $\Leftrightarrow x^{3} {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 2 \end{array}$ .

Bảng xét dấu

Cho hàm số y = f(x) xác định trên R, có đạo hàm f'(x) = x^3(x-1)^2(x+1), với mọi x thuộc R . Khoảng nghịch biến của hàm số (ảnh 1)

Dựa vào bảng xét dấu hàm số nghịch biến trên khoảng (-2;0).

Câu 32:

08/07/2026

Cho hình phẳng (H) giới hạn với đường $y = \sqrt{x - 2}$ , trục hoành và đường thẳng x = 9. Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) xung quanh trục hoành có thể tích V bằng:

A. $V = \frac{11 π}{6}$

B. $V = \frac{5 π}{6}$

C. $V = \frac{13 π}{6}$

D. $V = \frac{7 π}{6}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình hoành độ giao điểm $y = \sqrt{x - 2}$ và trục hoành y = là

$\sqrt{x} - 2 = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ \sqrt{x} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x = 4 \end{cases} \Leftrightarrow x = 4$ .

Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:

$V = π \int_{4}^{9} {(\sqrt{x} - 2)}^{2} d x = π \int_{4}^{9} (x - 4 \sqrt{x} + 4) d x = π {(\frac{x^{2}}{2} - \frac{8}{3} \sqrt{x^{3}} + 4 x)|}_{4}^{9} = \frac{11 π}{6}$ .

Câu 33:

08/07/2026

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = a \sqrt{3}$ , $A C = a \sqrt{2}$ (tham khảo hình bên dưới)

Số đo góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng

A. $60 ° .$

B. $90 ° .$

C. $30 ° .$

D. $45 ° .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\begin{array}{l} D C ⊥ A D \\ D C ⊥ S A \end{array}\} \Rightarrow D C ⊥ (S A D) \Rightarrow S D ⊥ D C$

Khi đó $\begin{array}{l} S D ⊥ D C \\ A D ⊥ D C \end{array}\} \Rightarrow ((S C D); (A B C D)) = (S D; A D) = \hat{S D A}$

Xét tam giác ADC có: $A C = \frac{A D}{\sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = a .$

Xét tam giác vuông SCD vuông tại D có:

\tan \hat{S D A} = \frac{S A}{A D} = \frac{a \sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{S D A} = 60 ° .

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng $60 °$ .

Câu 34:

08/07/2026

Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Xếp ngẫu nhiên các học sinh đó thành hàng ngang để chụp ảnh. Tính xác suất không có 2 học sinh nữ nào đứng cạnh nhau

A. $\frac{65}{66}$

B. $\frac{1}{22}$

C. $\frac{1}{66}$

D. $\frac{7}{99}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Số phần tử của không gian mẫu: $n (Ω) = 11! = 39 916 800$ .

Gọi là biến cố “Không có 2 học sinh nữ nào đứng cạnh nhau”.

Bước 1: Xếp 6 bạn nam thành một hàng ngang có $6! = 720$ cách.

Bước 2: Giữa 6 bạn nam có 7 khoảng trống. Xếp 5 bạn nữ vào 7 vị trí xem giữa hai bạn nam hoặc ngoài cùng (để 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau).

Như vậy có $A_{7}^{5} = 2 520$ cách xếp.

\Rightarrow n (A) = 720 \cdot 2 520 = 1 814 400

Xác suất của biến cố A là: $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{1 814 400}{39 916 800} = \frac{1}{22}$ .

Câu 35:

08/07/2026

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;6] và thỏa mãn $f (0) = 2, \int_{0}^{2} (2 x - 4) f^{'} (x) d x = 4.$ Tính $\int_{0}^{6} f (\frac{x}{3}) d x .$

A. I = 18

B. I = -6

C. I = -18

D. I = 6

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đặt $\frac{x}{3} = t \Rightarrow d x = 3 d t .$ Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = 6 \Rightarrow t = 2 \end{cases} \Rightarrow \int_{0}^{6} f (\frac{x}{3}) d x = 3 \int_{0}^{2} f (t) d t$ .

Đặt: $\{\begin{cases} 2 x - 4 = u \\ f^{'} (x) d x = d v \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 2 d x = d u \\ f (x) = v \end{cases}$ .

$\Rightarrow \int_{0}^{2} (2 x - 4) f^{'} (x) d x = {(2 x - 4) f (x)|}_{0}^{2} - 2 \int_{0}^{2} f (x) d x$ $= 4 f (0) - 2 \int_{0}^{2} f (x) d x = 4$ .

$\Rightarrow 4 \cdot 2 - 2 \int_{0}^{2} f (x) d x = 4 \Rightarrow \int_{0}^{2} f (x) d x = 2$ .

Nên: $\int_{0}^{6} f (\frac{x}{3}) d x = 3 \int_{0}^{2} f (x) d x = 6$ .

Câu 36:

08/07/2026

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 1| = 1.$ Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w = (1 + i \sqrt{3}) z + 2$ là một đường tròn. Bán kính R của đường tròn đó là:

A. R = 8

B. R = 2

C. R = 16

D. R =

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $w = (1 + i \sqrt{3}) z + 2 = (1 + i \sqrt{3}) (z - 1) + 3 + i \sqrt{3}$ .

$\Rightarrow |w - 3 - i \sqrt{3}| = |(1 + i \sqrt{3}) (z - 1)| = |1 + i \sqrt{3}| |z - 1| = 2 \cdot 1 = 2$ .

Gọi số phức $w = x + y i$ .

$\Rightarrow |w - 3 - i \sqrt{3}| = |x - 3 + (y - \sqrt{3}) i| = 2$

$\Rightarrow \sqrt{{(x - 3)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2}} = 2 \Leftrightarrow {(x - 3)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 2^{2}$ .

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w = (1 + i \sqrt{3}) z + 2$ là một đường tròn có bán R = 2

Câu 37:

08/07/2026

Có bao nhiêu số phức z thỏa $|z + 1 - 2 i| = |\bar{z} + 3 + 4 i|$ và $\frac{z - 2 i}{\bar{z} + i}$ là một số thuần ảo?

A. 0

B. 1

C. Vô số

D.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Giả sử $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ , điều kiện: $(x, y) \neq (0; 1)$ theo giả thiết: $|z + 1 - 2 i| = |\bar{z} + 3 + 4 i|$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2}} = \sqrt{{(x + 3)}^{2} + {(4 - y)}^{2}}$

$\Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = {(x + 3)}^{2} + {(4 - y)}^{2}$

$\Leftrightarrow x - y + 5 = 0 \Leftrightarrow x = y - 5$

Ta có:

$\frac{z - 2 i}{\bar{z} + i} = \frac{x + (y - 2) i}{x + (1 - y) i} = \frac{[x + (y - 2) i] [x - (1 - y) i]}{[x + (1 - y) i] [x - (1 - y) i]}$

Vì $\frac{z - 2 i}{\bar{z} + i}$ thuần ảo nên $x^{2} + (y - 2) (1 - y) = 0 \Leftrightarrow x^{2} = y^{2} - 3 y + 2 (*)$

Thế $x = y - 5$ vào (*) ta được: ${(y - 5)}^{2} = y^{2} - 3 y + 2 \Leftrightarrow 7 y = 23 \Leftrightarrow y = \frac{23}{7} (* *)$

Với $y = \frac{23}{7} \Rightarrow x = \frac{23}{7} - 5 = - \frac{12}{7}$ .

Vậy tồn tại 1 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 38:

08/07/2026

Trong không gian Oxyz cho điểm M(4;2;0) và mặt phẳng (P): 2x + y – z – 4 = 0. Điểm H (a;b;c) là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P). Tính a + b + c.

A. $a + b + c = 6$

B. $a + b + c = 4$

C. $a + b + c = - 3$

D. $a + b + c = 2$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Phương trình đường thẳng HM đi qua M(4;2;0) nhận vectơ pháp tuyến của (P) là $\vec{n_{P}} = (2; 1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là $\{\begin{cases} x = 4 + 2 t \\ y = 2 + t \\ z = - t \end{cases}$

$\Rightarrow H (4 + 2 t; 2 + t; - t)$ .

Mà $H \in (P) \Rightarrow 2 (4 + 2 t) + 2 + t + t - 4 = 0$ $\Leftrightarrow t = - 1$

$\Rightarrow H (2; 1; 1)$ $\Rightarrow a + b + c = 2 + 1 + 1 = 4$ .

Câu 39:

08/07/2026

Tính tổng tất cả các nghiệm nguyên của phương trình

$\log_{3} (x^{2} + 8) - \log_{3} x + x^{2} - 9 x + 6 \leq 0$ .

A. 72

B. 28

C. 36

D. 45

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Điều kiện x > 0

$\log_{3} (x^{2} + 8) - \log_{3} x + x^{2} - 9 x + 6 \leq 0$

$\Leftrightarrow \log_{3} (x^{2} + 8) + x^{2} + 8 \leq \log_{3} x + 2 + 9 x$

$\Leftrightarrow \log_{3} (x^{2} + 8) + x^{2} + 8 \leq \log_{3} 9 x + 9 x$

$\Leftrightarrow f (x^{2} + 8) \leq f (9 x)$ .

Với $f (t) = \log_{3} t + t$ luôn đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ .

Do đó $x^{2} + 8 \leq 9 x$ $\Leftrightarrow x^{2} - 9 x + 8 \leq 0$ $\Leftrightarrow 1 \leq x \leq 8$

Vậy tổng tất cả nghiệm nguyên của phương trình là: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36$ .

Câu 40:

08/07/2026

Cho đồ thị (C) của hàm số đa thức bậc ba và parabol (P) có đỉnh trên Ox và trục đối xứng của (P) vuông góc với trục hoành như hình vẽ. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C) và (P) (phần tô đen)

Cho đồ thị (C) của hàm số đa thức bậc ba và parabol (P) có đỉnh trên Ox và trục đối xứng của (P) vuông góc với trục hoành như hình (ảnh 1)

A. $\frac{3017}{192}$

B. $\frac{343}{192}$

C. $\frac{1393}{192}$

D. $\frac{937}{192}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Xét $(P) : f (x) = a x^{2} + b x + c$ có đỉnh $I (- 1; 0)$ và có $f (- 1) = 0; f (1) = 2$

$\Rightarrow \{\begin{cases} - \frac{b}{2 a} = - 1 \\ a - b + c = 0 \\ a + b + c = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b = 1 \\ c = \frac{1}{2} \end{cases}$

Vậy $(P) : f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{1}{2}$ .

Xét $(C) : g (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ $\Rightarrow g^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ .

Ta có $\{\begin{cases} g' (- 2) = 0 \\ g' (0) = 0 \\ g (0) = - 2 \\ g (1) = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 12 a - 4 b + c = 0 \\ c = 0 \\ d = - 2 \\ a + b + c + d = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 3 \\ c = 0 \\ d = - 2 \end{cases}$

Vậy $(C) : g (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 2 = 0$

Phương trình hoành độ giao điểm

$x^{3} + 3 x^{2} - 2 = \frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} - x - \frac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{- 5}{2}; x = - 1; x = 1$ .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C)và (P) là:

$S = \int_{- \frac{5}{2}}^{1} |(x^{3} + 3 x^{2} - 2) - (\frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{1}{2})| d x$

$= \int_{- \frac{5}{2}}^{1} |x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} - x - \frac{5}{2}| d x$ $= \int_{- \frac{5}{2}}^{- 1} |x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} - x - \frac{5}{2}| d x + \int_{- 1}^{1} |x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} - x - \frac{5}{2}| d x$

$= \int_{- \frac{5}{2}}^{- 1} (x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} - x - \frac{5}{2}) d x + \int_{- 1}^{1} (- x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + x + \frac{5}{2}) d x$

$= \frac{99}{64} + \frac{10}{3} = \frac{937}{192}$ .

Câu 41:

08/07/2026

Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} + m - 3$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [- 5; 100]$ để tam giác OAB có góc OAB không tù (O là gốc tọa độ)?

A. 102

B. 101

C. 100

D. 103

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} + 6 x$ . Từ đó $y^{'} = 3 x^{2} + 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \end{array}$

Vậy $A (0; m - 3); B (- 2; m + 1); O A^{2} = {(m - 3)}^{2}; O B^{2} = 4 + {(m + 1)}^{2}; A B^{2} = 20$ .

Áp dụng định lí côsin trong $Δ A O B$ có: $\cos \hat{A O B} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2. O A . O B}$ .

Khi đó để tam giác OAB có góc OAB không tù thì $\cos \hat{A O B} \geq 0$

\Leftrightarrow O A^{2} + O B^{2} - A B^{2} \geq 0 \Leftrightarrow 2 m^{2} - 4 m - 6 \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 1 \\ m \geq 3 \end{array}

Lại có $m \in ℤ$ và $m \in [- 5; 100]$ suy ra $m \in \{- 5; - 4; ...; - 1; 3; 4; ...; 100\}$ .

Vậy có 103 giá trị của m.

Câu 42:

08/07/2026

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông cân tại C, $B C = a \sqrt{2}$ và gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’B’. Biết khoảng cách từ A’ đến mặt phẳng (AC’M) bằng $\frac{2 \sqrt{2}}{3} a$ . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

A. $4 \sqrt{2} a^{3}$

B. $\sqrt{2} a^{3}$

C. $2 \sqrt{2} a^{3}$

D. $\frac{2 \sqrt{6}}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có $S_{A B C} = \frac{1}{2} B C^{2} = a^{2}; A B = A' B' = B C . \sqrt{2} = 2 a; A' M = a$

Kẻ $A^{'} H ⊥ A M$ .

Ta có $C^{'} M ⊥ (A^{'} A M) \Rightarrow C^{'} M ⊥ A^{'} H$ .

Từ đó suy ra $A^{'} H ⊥ (A M C^{'}) \Rightarrow d (A^{'}; (A C^{'} M)) = A^{'} H = \frac{2 \sqrt{2} a}{3}$ .

Xét tam giác A'AM có $\frac{1}{A^{'} H^{2}} = \frac{1}{A^{'} A^{2}} + \frac{1}{A M^{2}} \Rightarrow A^{'} A = 2 a \sqrt{2}$

Vậy $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = A^{'} A \cdot S_{A B C} = 2 \sqrt{2} a^{3}$ .

Câu 43:

08/07/2026

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a, AB = 2a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB và

S H = \frac{a \sqrt{6}}{2}

. Tính khoảng cách d từ trọng tâm G của tam giác SCD đến mặt phẳng (SBC).

A. $d = \frac{2 a}{3}$

B. $d = a \frac{\sqrt{6}}{6}$

C. $d = \frac{2 \sqrt{15} a}{15}$

D. $d = \frac{a \sqrt{6}}{12}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a, AB = 2a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy trùng (ảnh 1)

Ta có: ABCD là hình thang vuông tại A và D; $A D = C D = a; A B = 2 a$ ;

Hơn nữa H là trung điểm của AB do đó ADCH là hình vuông, DHBC là hình bình hành, tam giác BHC vuông cân tại H.

Gọi K là trung điểm của BC. Suy ra $H K ⊥ B C$

Từ H kẻ $H I ⊥ S K$

Do $B C ⊥ H K, B C ⊥ S H \Rightarrow B C ⊥ (S H K) \Rightarrow B C ⊥ H I$

Mà $H I ⊥ S K \Rightarrow H I ⊥ (S B C)$ .

Vậy $d (H, (S B C)) = H I$

Tam giác BHC vuông cân tại H với HB = HC = a nên $H K = H B . \frac{\sqrt{2}}{2} = a \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHK ta có:

$\frac{1}{H I^{2}} = \frac{1}{S H^{2}} + \frac{1}{H K^{2}} = \frac{4}{6 a^{2}} + \frac{4}{2 a^{2}} = \frac{8}{3 a^{2}} \Rightarrow H I = \frac{a \sqrt{6}}{4}$

$d (G, (S B C)) = \frac{2}{3} d (M, (S B C)) = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} d (D, (S B C)) = \frac{1}{3} d (H, (S B C)) = \frac{1}{3} H I = \frac{a \sqrt{6}}{12}$ .

Câu 44:

08/07/2026

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$ và mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 2 z + 6 = 0; (Q) : x - 2 y + z + 2023 = 0$ . Điểm N di động trên (S), điểm (M) đi động trên (P) sao cho MN vuông góc với (Q). Độ dài lớn nhất của đoạn thẳng MN bằng

A. $9 \sqrt{6}$

B. $20 \sqrt{6}$

C. $9 + 2 \sqrt{3}$

D. $11 \sqrt{6}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Xét (S) có tâm I ( -1;2;1) và bán kính R =3.

Ta có: $d (I, (P)) = \frac{|- 1 + 2.2 + 2.1 + 6|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = \frac{11}{3} > R$ .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng (P) và $α$ là góc giữa MN và NH.

Vì $\vec{M N} ⊥ (Q)$ nên góc $α$ có số đo không đổi, $α = \hat{H N M}$ .

Ta có $H N = M N . \cos α \Rightarrow M N = \frac{1}{\cos α} . H N$ nên MN lớn nhất $\Leftrightarrow H N$ lớn nhất. $H N = d (I, (P)) + R = \frac{20}{3}$ .

Lại có $\cos α = |\cos (\vec{u}, \vec{n_{P}})| = \frac{1}{3 \sqrt{6}}$ nên $M N \leq \frac{1}{\cos α} H N = \frac{1}{3 \sqrt{6}} \cdot \frac{20}{3} = 20 \sqrt{6}$ .

Câu 45:

08/07/2026

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $a \in (- 100; + \infty)$ để hàm số $y = |x^{4} + 2 a x^{2} + 8 x - a^{2} + 55|$ nghịch biến trên khoảng $(- 2; - 1)$ ?

A. 93

B. 102

C. 104

D. 103

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số $f (x) = x^{4} + 2 a x^{2} + 8 x - a^{2} + 55$

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 a x + 8$

Để $y = |f (x)|$ nghịch biến trên khoảng (-2;-1)

· Trường hợp 1: $\{\begin{cases} f' (x) \geq 0, \forall x \in (- 2; - 1) \\ f (- 1) \leq 0 \end{cases}$

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 a x + 8 \geq 0 \Leftrightarrow a \leq \frac{- x^{3} - 2}{x}, \forall x \in (- 2; - 1) \Leftrightarrow a \leq \underset{(- 2; - 1)}{M i n} \frac{- x^{3} - 8}{x} = - 3$ .

$f (- 1) \leq 0 \Leftrightarrow 1 + 2 a - 8 - a^{2} + 55 \leq 0 \Leftrightarrow - a^{2} + 2 a + 48 \leq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a \leq - 6 \\ a \geq 8 \end{array}$

$f (- 1) \leq 0 \Leftrightarrow 1 + 2 a - 8 - a^{2} + 55 \leq 0 \Leftrightarrow - a^{2} + 2 a + 48 \leq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a \leq - 6 \\ a \geq 8 \end{array}$ .

Suy ra $a \leq - 6$ .

Kết hợp với điều kiện $a \in (- 100; + \infty) \Rightarrow a = \{- 99; - 98; ...; - 6\}$ có 94 giá trị.

· Trường hợp 2: $\{\begin{cases} f' (x) \leq 0, \forall x \in (- 2; - 1) (3) \\ f (- 1) \geq 0 (4) \end{cases}$

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 a x + 8 \leq 0 \Leftrightarrow a \geq \frac{- x^{3} - 2}{x}, \forall x \in (- 2; - 1) \Leftrightarrow a \geq \underset{(- 2; - 1)}{M a x} \frac{- x^{3} - 8}{x} = 1$

f (- 1) \geq 0 \Leftrightarrow 1 + 2 a - 8 - a^{2} + 55 \geq 0 \Leftrightarrow - a^{2} + 2 a + 48 \geq 0 \Leftrightarrow - 6 \leq a \leq 8

Suy ra $1 \leq a \leq 8$ .

Kết hợp với điều kiện $a \in (- 100; + \infty) \Rightarrow a = \{1; 2; ...; 8\}$ có 8 giá trị.

Kết luận: Có tất cả 94 + 8 = 102 giá trị thoả mãn

Câu 46:

08/07/2026

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;2), trong đó a, b là các số hữu tỷ dương tùy ý và mặt phẳng (P) có phương trình2x – 2y + 1 = 0. Biết rằng (ABC) vuông góc với (P) và khoảng cách từ O đến (ABC) bằng $\frac{2}{\sqrt{33}}$ . Giá trị của ab bằng:

A. 0

B. 4

C. $\frac{1}{4}$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A (a; 0; 0)$ , $B (0; b; 0)$ , $C (0; 0; 2)$ là

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{2} = 1$ , a, b là các số hữu tỷ dương.

Đặt $m = \frac{1}{a}; n = \frac{1}{b}$ ta có phương trình mặt phẳng $(A B C) : m x + m y + \frac{1}{2} z - 1 = 0$ .

Vì $a, b$ là các số hữu tỉ dương nên $m > 0; n > 0$ $\vec{n_{(A B C)}} \vec{n_{(P)}} = 0 \Leftrightarrow 2 m - 2 n = 0 \Leftrightarrow m = n$ .

Do (ABC) vuông góc với (P) nên $\vec{n_{(A B C)}} \vec{n_{(P)}} = 0 \Leftrightarrow 2 m - 2 n = 0 \Leftrightarrow m = n$ .

Ta có $d (O, (A B C)) = \frac{1}{\sqrt{m^{2} + m^{2} + \frac{1}{4}}} = \frac{2}{\sqrt{33}} \Rightarrow [\begin{array}{l} m = 2 \\ m = - 2 \end{array}$ .

Kết hợp với điều kiện m > 0 ta chọn m = 2.

Với $m = 2 \Rightarrow n = 2 \Rightarrow m n = \frac{1}{a b} = 4 \Rightarrow a b = \frac{1}{4}$ .

Câu 47:

08/07/2026

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn

$\log_{3} {(x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y)}^{2} + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) + 2 \log_{3} (x + 2 y)$

A. 21

B. 20

C. 23

D. 22

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Điều kiện $\{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y \neq 0 \\ x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y > 0 \\ x + 2 y > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow x + 2 y > 0$ .

$\log_{3} {(x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y)}^{2} + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) + 2 \log_{3} (x + 2 y)$

$\Leftrightarrow 2 \log_{3} (x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y) + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) + 2 \log_{3} (x + 2 y) \Leftrightarrow 2 \log_{3} (x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y) + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) + 2 \log_{3} (x + 2 y) \Leftrightarrow 2 \log_{3} (x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y) + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) + 2 \log_{3} (x + 2 y)$

$\Leftrightarrow 2 \log_{3} (x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y) - 2 \log_{3} (x + 2 y) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) - \log_{2} (x^{2} + y^{2})$

$\Leftrightarrow 2 \log_{3} \frac{x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y}{x + 2 y} \leq \log_{2} \frac{x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y}{x^{2} + y^{2}}$

$\Leftrightarrow 2 \log_{3} (\frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y} + 7) \leq \log_{2} (1 + 30 \frac{x + 2 y}{x^{2} + y^{2}})$ .

$\Leftrightarrow 2 \log_{3} (\frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y} + 7) - \log_{2} (1 + 30 \frac{x + 2 y}{x^{2} + y^{2}}) \leq 0$

Đặt $t = \frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y}$ với $t > 0$ .

Khi đó, bất phương trình tương đương $2 \log_{3} (t + 7) - \log_{2} (1 + \frac{30}{t}) \leq 0$

Xét hàm số $f (t) = 2 \log_{3} (t + 7) - \log_{2} (1 + \frac{30}{t})$ .

Ta có $f^{'} (t) = \frac{2}{(t + 7) \ln 3} + \frac{\frac{30}{t^{2}}}{(1 + \frac{30}{t}) \ln 2} > 0, \forall t > 0$ .

Nên f(t) đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

Mặt khác $f (t) = 0 \Leftrightarrow t = 2$ nên $2 \log_{3} (t + 7) - \log_{2} (1 + \frac{30}{t}) \leq 0 \Leftrightarrow t \leq 2$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y} \leq 2 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \leq 2 x + 4 y \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} \leq 5$ .

Mà $x + 2 y > 0$ nên ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} \leq 5$ .

Vậy có tất cả 20 cặp (x,y) thỏa mãn.

Câu 48:

08/07/2026

Cho hai số phức $z, w$ thỏa mãn $|w + i| = \frac{3}{\sqrt{10}}$ và $10 w = (3 - i) (z - 3)$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z - 2 - i| + |z - 6 - i|$ bằng

A. $3 + \sqrt{10}$

B. $2 \sqrt{58}$

C. $3 \sqrt{10}$

D. $2 \sqrt{53}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $10 w = (3 - i) (z - 3) \Leftrightarrow 10 (w + i) = (3 - i) (z - 3) + 10 i$ .

Môđun hai vế ta được:

$\begin{array}{l} |10 (w + i)| = |(3 - i) (z - 3) + 10 i| \Leftrightarrow 10 |(w + i)| = |(3 - i) [(z - 3) + \frac{10 i}{3 - i}]| \\ \Leftrightarrow 10. \frac{3}{\sqrt{10}} = |(3 - i) [(z - 3) - 1 + 3 i]| \Leftrightarrow 3 \sqrt{10} = |3 - i| . |z - 4 + 3 i| \Leftrightarrow 3 \sqrt{10} = \sqrt{10} . |z - 4 + 3 i| \\ \Leftrightarrow |z - 4 + 3 i| = 3 \end{array}$ Đặt $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ có điểm biểu diễn là $M (x; y)$ .

Khi đó $|z - 4 + 3 i| = 3 \Leftrightarrow {(x - 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$ nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn (C) có tâm I = (4;-3) và bán kính bằng R = 3.

Ta có $P = |z - 2 - i| + |z - 6 - i| = |z - (2 + i)| + |z - (6 + i)| = M A + M B$ với $A (2; 1); B (6; 1)$ .

Cho hai số phức z, w thỏa mãn |w + i| = 3/căn 10 và 10ww = (3 - i)(z - 3) . Giá trị lớn nhất của biểu thức (ảnh 1)

Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra E (4;1).

Xét tam giác MAB ta có:

$M E^{2} = \frac{2 (M A^{2} + M B^{2}) - A B^{2}}{4} \Rightarrow 2 (M A^{2} + M B^{2}) = 4 M E^{2} + A B^{2} = 4 M E^{2} + 16$ .

Ta có:

$P^{2} = {(M A + M B)}^{2} = {(1. M A + 1. M B)}^{2} \leq (1^{2} + 1^{2}) (M A^{2} + M B^{2})$

$= 2 (M A^{2} + M B^{2}) = 4 M E^{2} + 16$

$\Rightarrow P^{2} \leq 4 M E^{2} + 16 \leq 4 {(I M_{\max} + I E)}^{2} + 16 = 4 {(3 + 4)}^{2} + 16 = 212 \Rightarrow P \leq \sqrt{212} = 2 \sqrt{53}$ .

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là $2 \sqrt{53}$ .

Câu 49:

08/07/2026

Cho hình nón (N) có đỉnh O, chiều cao h = 12 cm. Một khối nón (N’) có đỉnh là tâm đáy của (N) và có đáy là một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh O đã cho (tham khảo hình vẽ). Tính chiều cao x, (0 < x < 12) của khối nón (N’) để thể tích của nó là lớn nhất.

Cho hình nón (N) có đỉnh O, chiều cao h = 12 cm. Một khối nón (N’) có đỉnh là tâm đáy của (N) và có đáy là một thiết diện song song (ảnh 1)

A. x= 6cm

B. $x = 6 \sqrt{3} cm$

C. x = 4 cm

D. x = 8

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Gọi x là chiều cao cần tìm; R,r lần lượt là chiều cao của khối nón lớn và bé.

Khi đó $\frac{r}{R} = \frac{h - x}{h} \Rightarrow r = \frac{R (h - x)}{h} .$

Thể tích khối nón đỉnh (N') là

$V = \frac{1}{3} π {[\frac{R (h - x)}{h}]}^{2} x = \frac{π R^{2}}{6 h^{2}} {(h - x)}^{2} 2 x$ $\overset{}{\leq} \frac{π R^{2}}{6 h^{2}} \frac{{(h - x + h - x + 2 x)}^{3}}{27} = \frac{4 π R^{2} h}{81} .$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $h - x = 2 x \Leftrightarrow x = \frac{h}{3} = \frac{12}{3} = 4.$

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3