Một cổng chào có dạng  hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m. Người ta căng sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số $\frac{AB}{CD}$ bằng :

Cho ${\int }_1^2\frac{dx}{x^2+5x+6}=a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5$ với a, b, c là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $\left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$ thỏa mãn $f\left(0\right) = 0; {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^{2}dx = \frac{\mathrm{\pi }}{4}$; ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin x.f\left(x\right)dx = \frac{\mathrm{\pi }}{4}$ Tính tích phân ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(x\right)dx$

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-6; 5] có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ.  Tính giá trị $I={\int }_{-6}^5\left[f\right(x)+2]dx$

Cho f(x)  là hàm số liên tục thỏa ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx = 7$ Tính ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\cos xf\left(\sin x\right)dx$

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục thỏa mãn $f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right) = 0$${\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\mathrm{\pi }}{[f\text{'}(x\left)\right]}^{2}dx = \frac{\mathrm{\pi }}{4}$ và ${\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\mathrm{\pi }}\cos xf\left(x\right)dx = \frac{\mathrm{\pi }}{4}$ Tính $f\left(2018\mathrm{\pi }\right)$

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên R và thỏa mãn $f\text{'}\left(x\right) \in [-1;1]$ với $\forall x\in (0;2)$ Biết f(0) = f(2) = 1 Đặt $I = {\int }_0^{2}f\left(x\right)dx$ phát biểu dưới đây là ĐÚNG ?

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một parabol và một đường thẳng tiếp xúc parabol đó tại điểm A(2;4) như hình vẽ bên. Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng (H) khi quay xung quanh trục Ox.

Tích phân ${\int }_0^{1}x(x^2+3)dx$bằng:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^2-2x$ và đường thẳng y = x

Tích phân $I = {\int }_0^1{e}^{x+1}dx$ bằng

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành và hai đường thẳng x=a; x=b (a<b). Diện tích hình phẳng D được tính bởi công thức.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] và có đồ thị hàm số như hình vẽ sau: Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đó và các đường thẳng x = a; x = b (a < b). Diện tích S của hình phẳng D được tính theo công thức

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn ${\int }_0^{1}xf\left(x\right)dx = 0$ và $\underset{[0;1]}{max}\left|f\left(x\right)\right|=1$ Tích phân $I = {\int }_0^1{e}^{x}f\left(x\right)dx$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (hình vẽ). Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ($-1\le x\le 1$) thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích V của vật thể đó