Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $\left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$ thỏa mãn $f\left(0\right) = 0; {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^{2}dx = \frac{\mathrm{\pi }}{4}$; ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin x.f\left(x\right)dx = \frac{\mathrm{\pi }}{4}$ Tính tích phân ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(x\right)dx$

Cho ${\int }_1^2\frac{dx}{x^2+5x+6}=a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5$ với a, b, c là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục thỏa mãn $f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right) = 0$${\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\mathrm{\pi }}{[f\text{'}(x\left)\right]}^{2}dx = \frac{\mathrm{\pi }}{4}$ và ${\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\mathrm{\pi }}\cos xf\left(x\right)dx = \frac{\mathrm{\pi }}{4}$ Tính $f\left(2018\mathrm{\pi }\right)$

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-6; 5] có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ.  Tính giá trị $I={\int }_{-6}^5\left[f\right(x)+2]dx$

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên R và thỏa mãn $f\text{'}\left(x\right) \in [-1;1]$ với $\forall x\in (0;2)$ Biết f(0) = f(2) = 1 Đặt $I = {\int }_0^{2}f\left(x\right)dx$ phát biểu dưới đây là ĐÚNG ?

Cho f(x)  là hàm số liên tục thỏa ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx = 7$ Tính ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\cos xf\left(\sin x\right)dx$

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một parabol và một đường thẳng tiếp xúc parabol đó tại điểm A(2;4) như hình vẽ bên. Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng (H) khi quay xung quanh trục Ox.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành và hai đường thẳng x=a; x=b (a<b). Diện tích hình phẳng D được tính bởi công thức.

Tích phân ${\int }_0^{1}x(x^2+3)dx$bằng:

Tích phân $I = {\int }_0^1{e}^{x+1}dx$ bằng

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] và có đồ thị hàm số như hình vẽ sau: Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^2-2x$ và đường thẳng y = x

Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (hình vẽ). Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ($-1\le x\le 1$) thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích V của vật thể đó

Cho hàm số $y = f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}3x^2 khi 0\le x\le 1\\ 4-x khi 1\le x\le 2\end{array}\right.$ Tính tích phân ${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx$

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đó và các đường thẳng x = a; x = b (a < b). Diện tích S của hình phẳng D được tính theo công thức

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$ và các đường thẳng y=0; x=1; x=4 Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình (H) quanh xung quanh trục Ox.