Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là 20cm. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 10cm (Hình H1). Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên (Hình H2) thì chiều cao của cột nước trong phễu bằng $a-\sqrt[3]{b}$ (đơn vị (cm), với a,b là các số thực dương). Tìm a+b.

Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{x+c}$ có đồ thị như hình bên với $a,b,c\in ℝ$. Tính giá trị của biểu thức $T=a-3b+2c$.

Biết $\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=4$. Giá trị của $\underset{1}{\overset{5}{\int }}3f\left(x\right)\text{d}x$ bằng

Cho $x,y,z\in ℝ$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=2\\ x+y+z=2\end{array}\right.$ và hàm số $f\left(x\right)=\left(\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+x\right)\ln 2$.

Đặt hàm số $g\left(x\right)=2{022}^{f\left(x\right)+x-\left(x-1+\sqrt{3}\right)\ln \left(x-1+\sqrt{3}\right)}-2{023}^{\left(x-1+\sqrt{3}\right)\ln \left(x-1+\sqrt{3}\right)-f\left(x\right)-x}$. Số nghiệm thực của phương trình $g^{\text{'}}\left(x\right)=0$ là

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Khi đó phương trình $f\left(x\right)+1=m$ có ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A,AB =a, biết thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' là $V=\frac{4a^3}{3}$. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và B'C'.

Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\sqrt{x}.e^{x^2},$ trục hoành, đường thẳng x = 1. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh trục hoành.

Nghiệm của phương trình ${\log }_3\left(x-2\right)=1$ là

Hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật có kích thước $a;a\sqrt{3};2a$ là:

Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số $y=\frac{1}{x}$ trên $\left(-\infty ;0\right)$ thỏa mãn $F\left(-2\right)=0$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho ${\log }_{a}b=3$, ${\log }_{a}c=-2$. Khi đó ${\log }_a\left(a^3{b}^2\sqrt{c}\right)$ bằng bao nhiêu?

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=x{\left(1-x\right)}^2{\left(3-x\right)}^3{\left(x-2\right)}^4$ với mọi $x\in ℝ$. Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;0),B(0;0;1),C(2;1;1) Diện tích của tam giác ABC bằng

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn $0<y<2023$ và $3^x+3x-6=9y+{\log }_3{y}^3?$