Lớp 10B có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 bạn tham gia vào đội thiện nguyện của trường trong mỗi trường hợp sau?

a) Ba học sinh được chọn là bất kì.

b) Ba học sinh được chọn gồm 1 nam và 2 nữ.

c) Có ít nhất một nam trong ba học sinh được chọn.

Hướng dẫn giải

a) Mỗi cách chọn 3 bạn bất kì trong 40 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 40 phần tử.

Vậy số cách chọn 3 học sinh tham gia đội thiện nguyện là: \(C_{40}^3\) = 9 880 (cách).

b) Việc chọn 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ là việc thực hiện liên tiếp 2 công đoạn:

+ Chọn 1 nam từ 25 nam, số cách chọn là: \(C_{25}^1\) = 25 cách.

+ Chọn 2 nữ từ 15 nữ, số cách chọn: \(C_{15}^2\) = 105 cách.

Vậy theo quy tắc nhân số cách chọn 1 nam, 2 nữ cho đội thiện nguyện là: 25 . 105 = 2 625 (cách).

c)

Cách 1: Việc chọn ít nhất 1 nam trong 3 học sinh thì các trường hợp xảy ra là:

+ Trường hợp 1: Chọn 1 nam, 2 nữ.

Theo câu b) có 2 625 cách chọn.

+ Trường hợp 2: Chọn 2 nam, 1 nữ. Tương tự câu b, có \(C_{25}^2.C_{15}^1 = 300.15 = 4500\)(cách chọn).

+ Trường hợp 3: Cả 3 học sinh được chọn đều là nam, có \(C_{25}^3 = 2300\) (cách chọn).

Vì các trường hợp là rời nhau, nên ta áp dụng quy tắc cộng.

Vậy có 2 625 + 4 500 + 2 300 = 9 425 cách chọn thỏa mãn yêu cầu.

Cách 2: Có thể sử dụng phương pháp gián tiếp.

Số cách chọn 3 HS đều là nữ là: $C_{15}^3=455$ (cách).

Vậy số cách chọn 3 bạn mà có ít nhất một nam là: 9 880 – 455 = 9 425 (cách).