Chứng minh với mọi n $\in$ ℕ^*, ${(1+\sqrt{2})}^n, {(1-\sqrt{2})}^n$ lần lượt viết được ở dạng $a_n+b_n\sqrt{2}, a_n-b_n\sqrt{2}$, trong đó a_n, b_n là các số nguyên dương.

Cho $S_n=\frac{1}{1.5}+\frac{1}{5.9}+\frac{1}{9.13}+\dots +\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$, với n $\in$ ℕ^*.

a) Tính S₁, S₂, S₃, S₄.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Chứng minh 16ⁿ – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n$\in$ℕ^*.

Quan sát Hình 6.

Cho S_n = 1 + 2 + 2² +... + 2ⁿ và T_n = 2^{n + 1} – 1, với n  ℕ^*.

a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.

Cho $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots +\frac{1}{2^n}$ và $T_n=2-\frac{1}{2^n}$, với n  ℕ^*.

a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Chứng minh nⁿ > (n + 1)^{n – 1} với n $\in$ ℕ^*, n ≥ 2.

Cho tam giác đều màu xanh (Hình thứ nhất).

a) Nêu quy luật chọn tam giác đều màu trắng ở Hình thứ hai.

b) Nêu quy luật chọn các tam giác đều màu trắng ở Hình thứ ba.

c) Nêu quy luật tiếp tục chọn các tam giác đều màu trắng từ Hình thứ tư và các tam giác đều màu trắng ở những hình sau đó.

d) Tinh số tam giác đều màu xanh lần lượt trong các Hình thứ nhất, Hình thú hai, Hình thứ ba.

e) Dự đoán số tam giác đều màu xanh trong Hình thứ n. Chứng minh kết quả đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/năm. Hết năm đầu tiên, cô Hạnh không rút tiền ra và gửi thêm A (đồng) nữa. Hết năm thứ hai, cô Hạnh cũng không rút tiền ra và lại gửi thêm A (đồng) nữa. Cứ tiếp tục như vậy cho những năm sau. Chứng minh số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là $T_n=\frac{A(100+r)}{r}\left[{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^n-1\right]$ (đồng), nếu trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi.

Xét mệnh đề chứa biến P(n) : "1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n²" với n là số nguyên dương.

a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng.

b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) bằng bao nhiêu.

c) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra k² + [2(k + 1) – 1] = (k+1)².

Chứng minh aⁿ – bⁿ = (a – b)(a^{n – 1} + a^{n – 2}b + ... + ab^{n –2} + b^{n – 1}) với n  ℕ^*.

Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng. Biểu lãi suất của ngân hàng như sau: Chia mỗi năm thành m kì hạn và lãi suất r%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thi cứ sau mỗi kì hạn, số tiển lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Chứng minh số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau n (năm) gửi là $S_n=A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^{m.n}$ (đồng), nếu trong khoảng thời gian này người gửi không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi.

Chứng minh rằng với mọi n $\in$ ℕ^* ta có:

a) $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-1.$

b) $\frac{2^3-1}{2^3+1}\cdot \frac{3^3-1}{3^3+1}\cdot \frac{4^3-1}{4^3+1}\cdots \frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{2\left(n^2+n+1\right)}{3n(n+1)}.$

Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: 1 + q + q² +... + q^{n – 1} = $\frac{1-q^n}{1-q},$ với n $\in$ ℕ^*.

Chứng minh với mọi n $\in$ ℕ^*, ta có:

a) 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9;

b) 13ⁿ – 1 chia hết cho 6.