Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, có thể tích bằng $24c{m}^3.$ Gọi E là trung điểm SC. Một mặt phẳng chứa AE cắt các cạnh SB và SD lần lượt tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMEN. 

Mặt đáy ABCD là hình bình hành $\Rightarrow \Delta ADC$ và $\Delta ABC$ có cùng diện tích

$\Rightarrow V_{S.ADC}=V_{S.ABC}$ (hai khối chóp có cùng chiều cao và có diện tích mặt đáy bằng nhau).

Mà $V_{S.ABCD}=V_{S.ADC}+V_{S.ABC}=24c{m}^3\Rightarrow V_{S.ADC}=V_{S.ABC}=\frac{V_{S.ABCD}}{2}=\frac{24}{2}=12\left(c{m}^3\right).$

Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của SO và $AE\Rightarrow I$ là trọng tâm của $\Delta SAC$ và I thuộc MN. Gọi $\frac{SM}{SB}=a$ và $\frac{SN}{SD}=b\left(a>0;b>0\right).$

Ta có: $\frac{V_{S.ANE}}{V_{S.ADC}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SN}{SD}.\frac{SE}{SC}=1.b.\frac{1}{2}=\frac{b}{2}$ và $\frac{V_{S.AME}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SM}{SB}.\frac{SE}{SC}=1.a.\frac{1}{2}=\frac{a}{2}$

$\Rightarrow \frac{V_{S.ANE}}{12}=\frac{b}{2}$ và $\frac{V_{S.AME}}{12}=\frac{a}{2}\Rightarrow V_{S.ANE}=6b\left(c{m}^3\right)$ và $V_{S.AME}=6a\left(c{m}^3\right).$

Do đó: $V_{S.AMEN}=V_{S.AME}+V_{S.ANE}=6a+6b=6\left(a+b\right)\left(c{m}^3\right).$

Mặt khác: $\Delta ISM$ và $\Delta ISB$ có chung chiều cao kẻ từ I và có đáy $\frac{SM}{SB}=a\Rightarrow a=\frac{S_{ISM}}{S_{ISB}}.$

Mà I là trọng tâm của $\Delta SAC\Rightarrow \frac{SI}{SO}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{S_{ISB}}{S_{SOB}}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{S_{ISM}}{S_{SOB}}=\frac{2a}{3}.$

Chứng minh tương tự ta có: $\frac{S_{ISN}}{S_{SOD}}=\frac{2b}{3}.$

O là trung điểm của $DB\Rightarrow S_{SOB}=S_{SOD}=\frac{S_{SDB}}{2}$ hay $S_{SDB}=2S_{SOB}=2S_{SOD}$

$\Rightarrow \frac{2a}{3}+\frac{2b}{3}=\frac{S_{ISM}}{S_{SOB}}+\frac{S_{ISN}}{S_{SOD}}=\frac{2S_{ISM}}{2S_{SOB}}+\frac{2S_{ISN}}{2S_{SOD}}=\frac{2\left(S_{ISM}+S_{ISN}\right)}{S_{SDB}}=\frac{2S_{SNM}}{S_{SDB}}$

$\Rightarrow a+b=\frac{3S_{SNM}}{S_{SDB}}=\frac{3SN.SM.\sin \widehat{MSN}}{SD.SB.\sin \widehat{BSD}}=3.\frac{SN}{SD}.\frac{SM}{SB}=3ab.$

 

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: $ab\le \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}\Rightarrow a+b=3ab\le \frac{3{\left(a+b\right)}^2}{4}$

$\Rightarrow 3\left(a+b\right)\ge 4$ (do $a+b>0)\Rightarrow a+b\ge \frac{4}{3}\Rightarrow 6\left(a+b\right)\ge 8$ hay $V_{S.AMEN}\ge 8\left(c{m}^3\right).$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\frac{2}{3}\iff \frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SD}=\frac{2}{3}\iff MN$ đi qua I và MN//BD.

Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMEN là $8c{m}^3.$

Chọn A.